非线性动态系统逆模型与辨识

则系统的输出 y(k ), k 0 ，由u(k) 与x0 惟一确定：
y(k) T x0, T
由 Y 到 U 的映射算子
，使之由 P 的输出{yd (k )} 作为其输入，
产生需加到 P 输入端的控制{ud (k )} ，
以驱动 P 产生希望的输出{yd (k )} 。 1
3-7 非线性动态系统逆模型与辨识
3-7-1 非线性系统的逆与可逆性
进一步阐述 SISO、BIBO 系统的逆与可逆性问题。
泛函分析：
系统相当于由输入空间 U 映射到输出空间 Y 的算子 T : U Y ；
反之，其逆相当于由 Y 映射到 U 的算子T : Y U 。
设u(k), y(k)是系统 P 的输入输出，系统有确定的初始条件或初始状态x0 ，
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2．系统—逆模型辨识
即节 3-3-1 所述逆模型特殊辨识结构，见图。
由神经逆模型辨识器 NNII 的期望输入 s 与系统 P
输出 y 之差来训练 NNII。因系统 P 未知，在辨识 （ NNII 权系训练）过程中，需知被辨识系统P
的模型，故该法难以实现。
y(k) gy(k 1), , y(k n), u(k d ), u(k (d m))
y 、u ：系统输入、输出。
已知初始条件：
y0 [ y(1), , y(n)] u0 [u(d ), ,u((d m))]
在满足系统具有稳定逆的条件下，
s(k) y(k)
z 1 y(k 1)
z 1 y(k n)
若在相同的条件下，式上是等式，称系统 P 是奇异的。
4. 可逆系统
非线性系统的可逆性一般与状态 x 位置有关。 故系统在 x0 点存在逆系统时，称系统在点是可逆的；
如存在某域 M Rn ，系统在每一 x M 均可逆，称其为可逆系统。
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3-7-2 非线性系统逆模型
讨论由节 3-5-1M1 描述的非线性 SISO、BIBO，d 阶时延可逆系统：
１．直接逆模型辨识
即节 3-3-1 所述逆模型的一般辨识结构。
神经逆模型辨识器输入是系统的输入 u、输出 y； 输出uˆ 与u 比较，优化准则函数：
E(V(k),k) 1 [u(k) uˆ(k)]2 2
训练其权系Ｖ。
Pd1 的神经逆模型辨识器Pˆd1 表达式：
uˆ(k d) Ng 1y(k), y(k 1) , y(k n), u(k (d 1)), ,u(k (d m)); V
u(k d ) g 1y(k), y(k 1) , y(k n), u(k (d 1)), ,u(k (d m))
逆系统需具有与系统相同的初始条件，设系统输入：
s(k) y(k)
则 Pd1 的差分方程（见图）：
u(k d ) g 1s(k), y(k 1), , y(k n), u(k (d 1)), ,u(k (d m)
Pd1 g 1[s(k), y(k 1), ,
y(k n),u(k (d 1)), ,u(k (d m))]
系统逆的输出应是有界的。
u(k (d m))
u(k (d 1))
z 1
z 1
u(k d)
图 3-7-1 d 阶时延逆系统
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上式描述的 d 阶时延非线性系统，其 d 阶时延逆系统Pd1 差分方程：
s(k) y(k)
z 1
y(k 1)
z 1
y(k n)
Pd1 g 1[s(k ), y(k 1), ,
y(k n), u(k (d 1)), , u(k (d m))]
u(k d)
u(k (d m))
u(k (d 1))
z 1
z 1
图 3-7-1 d 阶时延逆系统
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可用与上式等价的差分方程描述：
y(k) P
= s(k)
y(k d)
y(k) zd
(b)
图 3-7-2 d 阶时延逆系统与 d 阶时延系统串联(非线性)
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3-7-3 神经逆模型辨识
阐述 d 阶时延系统逆模型辨识的四种方法。 d 阶时延逆系统Pd1 差分方程：
u(k d ) g 1y(k), y(k 1) , y(k n), u(k (d 1)), ,u(k (d m))
u(k) g 1s(k), y(k d 1), , y(k d n), u(k 1), ,u(k m)
此时，系统输入：
s(k) y(k d)
可见，若 d 阶时延逆系统Pd1 与 d 阶时延系统 P 串联的系统（见图）有 Pd1 P z d
s(k) y(k d)
u(k) Pd1
(a)
Pˆd1 的结构见图，由非线性 DTNN 实现。
u(k)
y(k)
P
uˆ (k )
-
e(k )
Pˆd1(NNII ) 学习算法
图 3-7-3 直接逆模型辨识示意图
u(k d) P
u(k)
TDL
y(k d) TDL
多层前馈网络
- uˆ(k)
NNII (Pˆd 1)
e(k) 学习算法
图 3-7-4 d 阶时延系统直接逆模型辨识结构
若算子满足：
TTy(k d ) Tu(k) y(k) 称该系统为系统 P 的 d 阶时延逆系统 Pd 1 。
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3．系统的可逆性定义
设u1(•) 、u2 (•) 是任两个给予系统 P 的不同的输入， 若由此得到 P 的输出总能满足：
y1[k, x0 , u1(•)] y2[k, x0 , u2 (•)] 则系统 P 具有可逆性，称 P 为可逆的。
以下给出逆系统与系统的可逆性定义。 1. 逆系统定义
设系统初始状态为 x0 （由x0 确定），由输入到输出的算子T : y u ，
若算子满足：
TTy(k) Tu(k) y(k) 称该系统为系统 P 的逆系统 P 1 。
2. d 阶时延逆系统定义 设系统，初始状态为 x0 （由x0 确定），由输入到输出的算子T : y u ，
可用等价表达式：
uˆ(k) Ng 1y(k d), y(k d 1) , y(k d n), u(k 1), ,u(k m); V 7
直接逆模型辨识：
逆模型Pˆd1 表达式：
uˆ(k) Ng 1y(k d ), y(k d 1) , y(k d n), u(k 1), ,u(k m); V