简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用

简析曲线系在高中圆锥曲线的几个应用

摘要：在解圆锥曲线题，尤其是在比较复杂的、涉及多条曲线时，求交点、求方程往往成为令人头疼的事情，本文介绍高中数学竞赛常用的一种工具——曲线系来解题，

并借几道

习题来探究其实用性。

关键词：圆锥曲线，曲线系

一、介绍曲线系（本文只讨论二次曲线系）

首先，方程Ax 2+By 2

+Cxy+Dx+Ey+F=0

表示的是一条二次曲线，包括高中涉及的圆、椭圆、双曲线、抛物线，另补充一种情况：两条直线

我们知道方程A 1x+B 1y+C 1=0 和A 2x+B 2y+C 2=0 表示的是两条直线那么方程（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0 将表示这两条直线并且方程展开后为一个二次式。原因很简单，所有满足上述两条直线的点的坐标都满足这个方程，故它表示的是这两条直线，特别的，当121

2

A A

B B 时，表示的是两条

平行线。

我们设两个二次曲线方程C 1=0 C 2=0

有方程

1

C 1+2

C 2=0

表示所有经过C 1与C 2交点的二次曲线

同样，不难解释，首先这是一个二次的方程，表示一条二次曲线，其次所有同时满足C 1=0 C 2=0的点都符合上式。

利用这一个关系，当我们已知该曲线方程为S=0时我们可以得到

1

C 1+

2

C 2=S 利用左右的系数对比便可以解出问题。

二、例题分析

首先我们先以一道竞赛题来感受曲线系的威力：

（1993年全国高中数学联赛）设0

直线l 与m ，与抛物线y 2

=x 有四个不同交点，当这四个点共圆时，求l 与m 交点P 的轨迹。

6

4

2

2

4

6

8

10

5

101520

l

m

B (b ,0)

A(a,0)

P

分析：以常规思路，先设出点P 坐标P （x 0,y 0）然后找出“四点公园”的等价条件，用含有x 0、y 0的方程表示，便能解出P 点轨迹。但是，其中不可避免的要不断进行求直线方程、求交点坐标的过程，并且要把“四点共圆”应用出来，其中运算量较大。我们考虑用系来避开这些麻烦。

解：设P （x 0，y 0）由A （a ，0）B （b ，0）写出直线PA 、PB 方程PA

00

(a)

y y

x x a

PB

00

()

y y

x b x b

则二次曲线PA ·PB

[00

()y y

x

a x a

]·[00

()y y

x

b x b

]=0

又由抛物线方程y 2

-x=0 得过四个点的二次曲线系方程为

[00

()y y

x

a x a ]·[00

()y y

x b x b

]+

（y 2

-x ）=0

又由已知，四点共圆，其四点必满足方程S ：（x-x 1）2+(y-y 1)2-r 2

=0 (x 1、y 1、

r 为常数) 则我们得到

[00

()y y

x a x a

]·[00

()y y

x b x b

]+（y 2-x ）=（x-x 1）2+(y-y 1)2-r

2

对比两侧xy 项的系数可得

（

000

y y x a

x b

）=0

得

x 0=

2

a b （）

即为点P 轨迹

我们成功避开了求交点的繁杂过程，巧妙应用了“四点共圆”的已知条件。需要注意的是，在对比系数是，有x2、y2、xy 、x 、y ，以及常数项六项的系数可以对比，但我们只要找出其中最有用的即可。本例中，由于圆方程的特点：没有xy 项，故用之。

下面来看一下2014年石家庄市高三一模的圆锥曲线试题，椭圆C ：

222

2

1x y a

b

，e=

32

，过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为1，

1）求椭圆方程 C

2）设C 的左右顶点A ，B ，点P 为直线x=1上一动点，PA 、PB 交C 于M 、N ，证明：直线MN 过一定点。

5

4

3

2

1

1

2

3

4

4

22

468

N

B

M

A

P

解：1）

2

2

14

x

y

，过程略

2）设P （1，a ）PA 0(x 2)

(x

2)

1(2)3a

a y

PB

(x

2)

y a 则PA ·PB （3y-ax-2a ）（y+ax-2a ）=0 则过A 、B 、M 、N 四点的二次曲线系方程为

222

2

321)2(

y ax a ax

a x y a

b

（）(y

）+观察M 、N 、A 、B 四点，我们发现，它们也是另一条二次曲线上的点：AB ·MN ，即x 轴与直线MN! 注意x 轴的直线方程为y=0！！故，我们只需设出MN 方程y=kx+b 由上述曲线系方程我们得到

2

2

2

2322(1)

y ax a ax a y y kx b x

y a

b

（）(y

）+（）