材料物理读书笔记

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第四章 晶格振动Ⅱ—热学性质
晶态固体的热学性质来源于固体中原子的振动（晶格振动）和电子运动两方面的贡献，本章主要讨论与晶格振动密切相关的热学性质（热容、热导及热膨胀等），或者说晶格振动对热学性质的贡献。

4.1固体的热容
4.1.1 晶体热容的基本物理意义
热容是物体温度升高1K 所需要增加的能量。

热容是分子热运动的能量随温度而变化的一个物理量。

单位是J/K 。

不同温度下，物体的热容不一定相同，所以在温度T 时物体的热容为T
T Q C ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=。

物体的热容还与它的热过程有关，假如加热过程是恒压条件下进行的，所测定的热容称为恒压热容，常用字母C P 表示。

假如加热过程保持物体容积不变，所测定的热容称为恒容热容。

常用字母C V 表示。

即
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T H T Q C P P ，⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T H T Q C P P 由于恒压加热过程中，物体除温度升高外，还要对外界做功，所以温度每提高1K 需要吸收更多的热量，即C P ＞C V 。

C P 的测定比较简单，但C V 更有理论意义，因为它可以直接从系统的能量增量计算。

根据热力学第二定律可以导出C P 和C V 的关系，即
κβT V C C V P 02=- 式中VdT
dV =β 是体膨胀系数，1-=K κ是压缩系数，m2/N ；V 0是摩尔容积，m 3/mol 。

4.1.2 固体的热容理论
固态晶体的热容理论是依据固体中原子热振动的特点，从理论上阐明热容的物理本质，并建立热容随温度变化的定量关系。

由于固体的内能一般包括晶格振动能量和电子运动的能量，因此固体的热容主要有两部分贡献：一是来源于晶格振动，称为晶格热容；一是来源于电子运动，称为电子热容。

晶格热容理论的发展过程经历了经典的杜隆-珀替（Dulong-Petit ）定律和量子热容理论（包括爱因斯坦（Einstein ）热容理论和德拜（Debye ）热容理论）。

一、 杜隆-珀替（Dulong-Petit ）定律
经典的热容理论是把固体中的原子看成是彼此孤立地作热振动，并认为原子振动的能量是连续的。

这样根据经典统计理论的能量均分定理，每一个简谐振动的平均能量是T k B ， 其中T k B 21是平均动能，T k B 2
1是平均势能，B k 是玻耳兹曼常数。

一个谐振子的能量为T k T k T k B B B =+=2
121ε，可得单个谐振子对热容的贡献为B V
V k T c =⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ε，则固体的摩尔原子比热（定容摩尔热容）为 K mol J 9.2433⋅===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=R Nk T E C B V
V 这就是杜隆-珀替定律，固体的摩尔热容是一个固定不变的常数，且与温度无关。

实验证明杜隆-珀替定律只适用于部分金属，且其适用温度范围较窄。

二、晶格热容的量子理论
为了解决杜隆-珀替定律与实验的矛盾，爱因斯坦（Einstein ）发展了普朗克的量子假说，建立了晶格的量子热容理论。

1．爱因斯坦模型
爱因斯坦认为晶格中每个原子（离子）都在其格点作简谐振动，各个原子的振动是独立而互不依赖的；每个原子都有相同的周围环境，其振动的角频率都为ωω=i ；原子振动的能量是不连续的、量子化的。

因此可以把原子的振动看成是谐振子的振动。

爱因斯坦模型时间位移：()
()2200221exp exp 31max ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰T k T k T k k N d g e e T k k T E C B B B B T k T k B B V V B B ωωωωωωωωω 221exp exp 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛Θ⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=T T T R T Rf E E E E E 式中⎪⎭
⎫ ⎝⎛ΘT f E
E 称为爱因斯坦比热函数；B E k ω =Θ为爱因斯坦特征温度，E Θ对于大多数固体材料，在100~300K 范围内。

当温度很高时，E T Θ>>，则1<<ΘT
E ，此时
T T T T T E E E E E Θ+≈+⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ+⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ+Θ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ1!31!211exp 3
2 R Nk T T T NT C B E E E V 33exp 322=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛Θ⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ= 此即经典的杜隆-珀替公式。

也就是说，量子理论所导出的热容值如按爱因斯坦的简化模型计算，在高温时与经典公式一致，并和热容曲线符合得较好。

E Θ值一般在100K~300K 范
围。

在低温时，E T Θ<<，则1>>ΘT E ，式（4.1-23）可化为⎪⎭
⎫ ⎝⎛Θ-⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ=T T R C E
E V exp 32，上式表明：CV 值在低温时随温度的变化规律，不是从实验中得出的按T 3变化的规律。

从上式可以看出，在低温区域，按爱因斯坦模型计算出的CV 值与实验值相比下降太多。

即随着温度的降低，爱因斯坦热容理论值比实验值要更快地下降而趋近于零。

爱因斯坦热容理论在低温下不能很好地反映热容随温度的变化规律，这是由于爱因斯坦模型的基本假设存有不足。

2． 德拜模型
德拜热容理论认为晶体中各原子间存在着相互作用，这种原子间的热振动相互牵连而达到相邻原子间的协调地振动。

这种晶格振动的波长较长，属于声频波的范围（相当于弹性振动波），并且还假设纵的和横的弹性波的波速相等，都等于p v 。

p m v V N 3
126⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅=πω，考虑到声频波的波长远大于晶体的晶格常数，就可以把晶体近似地看作连续介质，所以声频支的振动也近似地看作是连续的，具有从0到 w max 的谱带。

由于晶格中对热容的主要贡献是弹性波的振动，也就是波长较长的声频支在低温下的振动占主导地位。

高于不在声频支而在光频支范围，对热容贡献很小，可以略而不计。

原子振动模频率的分布因受温度的影响而不同。

在低温条件下，参与低频振动的原子数较多；随着温度的升高，参与高频振动的原子数越来越多，当高于某一特征温度后，几乎所有的原子都按最高频率振动。

德拜理论并认为弹性波振动的能量符合量子化的不连续性。

4.2 晶格的状态方程与晶体的热膨胀
4.2.1 晶格的状态方程
4.2.2 由热力学知道，自由能F 、压强P 、熵S 和定容比热V C 之间的关系为：
V
V V
T T S T C T F S V F P SdT
PdV dF TS
E F ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=--=-= 因此，要想计算这些物理量和T 、V 的关系，应该首先计算晶格的自由能。

如果已知晶体的自由能函数()V T F , ，就可以根据()T V F P ∂-=写出晶格的状态方程。

经推导计算得到晶格的状态方程：V E dV dU P γ+-
=。

4.2.2 晶体的热膨胀
一、固体热膨胀的基本物理意义
热膨胀系数是固体材料的重要物理参数。

通常分为线膨胀系数和体膨胀系数。

线膨胀系数是表示固体试样在加热时，温度每升高一度的相对伸长量。

当温度从T 1升高到T 2时，试样长度相应由L 1变化到L 2，其伸长量与温度的关系为()12112T T L L L l -=-α，式中l α 为T 1到T 2温度区间内固体试样的平均线膨胀系数，其单位为℃-1或K-1。

体膨胀系数表示温度升高1度时体积的相对变化量。

平均体膨胀系数和真实体膨胀系数分别为121121T T V V V V -⋅-=
β，式中V 1、V 2分别为T 1、T 2温度下试样的体积。

二、 晶体热膨胀的物理本质
热膨胀是在不施加压力的情况下，体积随温度的变化。

所以令0=P ，则得：V E dV dU γ=，势能曲线对原子的平衡位置是对称的，则当原子振动后，其平衡位置将和振幅的大小无关，如果这种振动是热振动，那么两原子间的距离将和温度无关，故不产生热膨胀。

如果保留 项，图形不再是对称的，如图实线所示。

平衡位置的左边较陡，右边较平滑，因此，随着温度的升高，振幅加大（或能量增加），平衡位置将向右边移动，且平衡间距增大，显示了热膨胀。

4.3晶体的热传导
4.3.1固体热传导的基本物理意义
当固体材料中温度分布不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，这种现象称为热传导。

设热能从温度高的一端（T1）传到温度低的一端（T2），试样长度为L ，截面积为S 。

则从T1流向T2的总的热能为：τλL
T T S
Q 21-=， 式中τ为热能从T1传递到T2所需的时间；L T T 21-为固体试样中的温度梯度；λ为热导率，又称导热系数或热导系数，单位是J/m·K ，它是决定于材料性质的常数。

4.3.2晶格的热传导
按照前面讨论的晶格振动理论可以研究声子的导热机制。

设晶体的单位体积热容量为c ，晶体的一端温度为T1，另一端温度为T2，温度高的那一端，晶体的晶格振动将具有较多的振动模式和较大的振动幅度，也即较多的声子被激发，具有较多的声子数。

当这些格波传至晶体的另一端时，将使那里的晶格振动趋于具有同样多的振动模式和幅度，这样一来就把热量从晶体的一端传导到另一端。

如果晶体没有缺陷，且晶格振动间也即声子间不存在相互作用，则热传率 将为无限大，在晶体间不能存在温度梯度。

实际上，声子间存在相互作用（碰撞），声子与晶体中的缺陷也会发生碰撞，因此声子在晶体中移动时，存在一个自由程L （即两次碰撞之间声子所走过的路程）。

假设晶体内存在温度梯度dx dT ，则在晶体中距离相差L 的两个区域间的温度差T ∆可写成l dx
dT T -=∆， 第五章 固体电子论基础
5.1特鲁德-洛仑兹的经典自由电子理论
5.1.1特鲁德-洛仑兹电子
在固体的研究中，金属处于相当特殊的地位。

大约在1900年左右，特鲁德(Drude)首先认为金属固体中的价电子，好比气体分子那样，组成电子气体，在温度为T 的晶体内，它们的行为宛如理想气体中的粒子（故得“自由电子模型”之名）。

1904年，洛伦兹(Lorentz)对特鲁德的自由电子模型作了改进。

认为电子气服从麦克斯韦-玻耳兹曼统计分布规律，据此就可用经典力学定律对金属自由电子气体模型作出定量计算。

这样就构成了特鲁德-洛仑兹自由电子气理论，又称为经典自由电子理论。

特鲁德-洛仑兹自由电子在固体中构成传导电子。

根据金属的原子价和密度，可以算出单位体积中自由电子数。

设金属密度为γ，原子价为z ，原子量为M ，则其电子密度n
M N z
n 0γ=
式中N 0为阿佛加德罗常数。

也可将每个电子平均占据的体积等效成球，用球的半径s r 来表示电子密度的大小，即由3413s r n N V π==得到3143⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n r s π。

经典自由电子理论的基本内容是：金属中存在着大量能够自由运动的电子，这些自由电子的行为象理想气体一样；正离子所形成的电场是均匀的，电子气体除了在同离子实发生不断碰撞的瞬间外，其余时间在离子实之间的运动被认为是自由的；电子和电子之间的相互作用（碰撞）忽略不计，电子和离子之间的碰撞过程可以用一个电子与离子实相继作用两次碰撞之间所间隔的平均时间τ来描述，τ1表示电子和离子实之间的碰撞几率）；电子气体是通过和离子实组成的晶格的热碰撞达到热平衡，自由电子运动速度的热平衡分布遵循麦克斯韦-玻耳兹曼统计规律。

5.1.2 经典自由电子理论的成功与失败
一、维德曼-夫兰兹定律
人们在研究纯金属的导热系数时发现一个引人注意的事实，这就是金属的电导率越高，则其热导率也越高。

维德曼（Widemann ）和弗朗兹（Franz ）首先发现，在不太低的温度下，金属的导热系数对电导率之比正比于温度，其中比例常数的值不依赖于具体的金属。

洛伦兹（Lorentz ）研究在不同温度下维德曼和弗朗兹关系时，发现在各温度下λ与σ 的比值被相应的绝对温度除以后，得到的数值对各金属和各温度都是常数。

即L T
=σλ。

式
中L 为洛伦兹（Lorentz number ）常数。

式子称为洛伦兹关系，又称为维德曼-弗朗兹-洛伦兹定律。

三、 经典自由电子理论遇到的困难
经典自由电子理论虽然成功地说明了导电的欧姆定律，导电与导热的关系等问题。

但它在说明以下几个问题上遇到了困难。

如实际测量的电子平均自由程比经典理论估计值大许多；电子比热容测量值只是经典理论值的百分之一；霍尔系数按经典自由电子理论只能为负值，但在某些金属中发现有正值；无法解释半导体、绝缘体导电性与金属的巨大差异等等。

5.2索末菲的量子自由电子理论
5.2.1索末菲电子
在讨论自由电子的运动时，应从量子力学的基本观点出发，根据海森堡(Heisenberg)测不准原理，对于电子的运动是不可能同时测准其位置和动量的，只能用电子出现的几率来表示电子的位置；根据波粒二象性原理，对自由电子的运动既可以用质量、速度、动能来描述，又可以用波长、频率等参数来描述；自由电子的能量必须符合量子化的不连续性。

索末菲计算的结果消除了经典理论所遭到的种种困难，如上述的电子气对热容的贡献及电子的自旋顺磁性等等与实验不相符合的问题。

通常把这种在量子力学基础上的自由电子模型称为索末菲电子模型，也称为固体的量子自由电子理论。

用此模型描述的自由电子被称为索末菲电子。

5.2.2索末菲电子气的能量状态
一、一维金属晶体中自由电子的能级
量子电子理论认为金属晶体内正离子所形成的势场是均匀的，电子的势能不是位置的函数，所以可取自由电子的势能Ep (x )=0；由于电子不能逸出金属丝外，则在金属的边界处，可取自由电子的势能Ep (0)=Ep (L )=∞。

这样就可以把自由电子在金属内的运动看成是一维无限深的势阱中的运动，由于我们要讨论的是自由电子的稳态运动的情况，所以在势阱中的电子的运动状态应满足一维定态薛定谔方程式()082222=+∂∂x E h m x ψπψ，令E h
m k 228π=，由边界和归一化条件，得到自由电子的能量22
2
22288n mL h k m h E ==π，式中n =1，2，3，…一系列正整数，这正好表明金属丝中自由电子的能量不是连续的，而是量子化的。

需要指出的是，这里的n 不要和单个原子中的主量子数n 相混淆，此处的n 仅代表自由电子可取的能级。

每个能级可容纳两个自旋方向相反的电子。

二、三维金属晶体中自由电子的能级
根据类似分析，同样可算出自由电子在三维空间稳态运动的波函数。

得自由电子在三维空间运动的能量为()
22222
8z y x z y x n n n n mL h E E E E ++=++=，金属晶体中自由电子的能量是量子化的，其各分立能级组成不连续的能谱，而且由于能级间能量差很小，故又称为准连续的能谱。

另一值得注意的现象是，某些三个不同量子数组成的不同波函数，却对应同一能级。

三、固体中自由电子的能级密度
能级密度即单位能量范围内所能容纳的电子数。

为了找到电子数与能量的关系，
5.3 费密统计与电子气的费密能量
5.3.1 费密分布函数
特鲁德所描述的电子气体好比理想气体，不受泡利原理的制约，根据最小能量作用原理，所有电子都将排列在基态附近。

而索末菲电子气体则受泡利原理的制约，即每个能级只能容纳自旋取向相反的两个电子。

和特鲁德电子气体相比，索末菲电子气体不具有连续的能量，且每个电子的能态不能具有完全相同的量子数nx ，ny ，nz ，S 。

因此，自由电子的能量分布不再服从经典力学的麦克斯韦-玻耳兹曼分布规律，而是遵循量子统计规律，即服从费密-狄拉克（Fermi-Dirac ）分布规律。

若以f (E )表示热平衡时能量为E 的能级被电子占有的几率，则由费米-狄拉克分布函数为：()()[]1
ex p 1+-=T k E E E f B F ，式中EF 为费密能或化学势，它表示电子由低到高填满能级时其最高能级的能量，eV ，如果把电子系统看作一个热力学系统，费密能就是电子的化学位，EF 等于把一个电子（不论什么能量）加入系统所引起系统自由能的改变；kB 为玻耳兹曼常数；T 为热力学温度。

5.3.2 电子气的费密能量
已知能量E 的能级密度为G (E )，则可利用费密分布函数，求出在能量E+dE 和E 之间分布的电子数dN 为()()()()[]1
exp +-=
==T k E E dE E C dE E G E f dZ E f dN B F 。

一、当T =0K 时，也就是电子气体处于基态时的情形 ()()⎰⎰=== F F E F E E C dE E C dE E N 02300320,σ
()322
2322323283223ππn m n m h C N E F =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
0K 时自由电子气体系统中每个电子具有的平均能量（平均动能）为：
0005
30F E E N dE
E CE N EdN E
F ===⎰⎰ 二、在T ＞0K ，但F B E T k <<时的情形
经推导得T ≠0K 时，N 个电子气体系统中每个电子的平均能量为：
()N dE
E E f C N EdN E T ⎰⎰∞==023
5.4 金属电导率与电子气的热容量
5.4.1 金属电导率
前面用经典自由电子理论导出了金属电导率。

这里不妨讨论用量子自由电子理论来推导金属电导率，以便和经典自由电子理论作一比较。

在三维金属晶体中，自由电子处在以不同速度（包括方向）的热运动状态。

为了描述自由电子运动情况，我们引入速度空间的概念。

所谓速度空间（亦称动量空间）即以速度的三个坐标分量vx ，vy ，vz 构成的直角坐标系。

这个坐标系中任一点代表了在一定方向上运动的电子速度；同时在所研究的金属晶体中，自由电子的运动速度皆可在此坐标系中找到对应点那么，可以想象，所研究系统中速度大小相等的自由电子，在速度空间中必然处在以坐标原点为中心，速度大小为半径的同一球面上。

5.4.2 电子气的热容
根据热力学，可得电子气中每个电子对热容量的贡献为：
()
0202202202265F B F B B F B V V T T k E T k k E T k E T E c πππ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= 由于 0F B E T k <<（或0
F T T <<），所以电子的热容量很小。

也就是说，金属中虽然有大量的自由电子，但只有费密面附近约T k B 范围的电子因受热激发才能跃迁到较高的能级。

换言之，在温度变化时，只有这一部分电子能够参与体系的吸放热过程。

在温度很低（比德拜温度和费米温度低得多）时，固体的摩尔热容量是晶格振动和电子两部分的贡献之和，即3,,bT T C C C a V e V V +=+=γ。

必须指出的是，过渡族元素由于d 层或f 层的电子也参与对热容量的贡献，例如在低于5K 时，金属镍的热容量基本上已由电子热容量决定。

此外当固体温度在极高温度下（例如
几万度），电子热容量也不可忽略，但实际上这种情形已没有意义，因为一般固体已不再是固态了。

5.5 功函数、接触势差与自由电子的顺磁性
5.5.1
功函数与接触势差 一、 功函数
我们知道在正常情况下，金属中的自由电子受正离子实的吸引不会离开金属，所以金属自由电子模型把自由电子看成在一个无限深的势阱中运动。

但实际情况是，当金属被加热或有光照射时，电子可以从金属表面逸出，所以较真实的模型，其势垒应该是有限的。

设电子在深度为0E 的势阱内，那么电子要离开金属，即跑到势阱外部至少需要从外界得到的能量应为F E E -=0φ，式中F E 为费密能级。

也就是说，费密能级上的电子则至少需要有一定的阈值能量φ才能克服势垒而从金属中逃逸出去，通常称这个能量阈值φ为金属的功函数。

二、 接触电势差
两块不同的金属Ⅰ和Ⅱ相接触，或者用导线联结起来，两块金属就会彼此带电产生不同的电势V Ⅰ和V Ⅱ，这称为接触电势。

设两块金属的温度都是T ，当它们相接触时，每秒内
从金属Ⅰ的单位表面积所逸出的电子数为()()[]T k B I B e x h T k m I I --=φγπ1432
；从金属Ⅱ逸出的电子数为()()[]T k B II B II
e x h T k m I φγπ--=1432；接触电势差为()I II II e V φφ-=-1V I 。

这个关系式说明接触电势差是来源于两块金属的逸出功不同，而逸出功表示真空能级和金属费密能级之差，所以接触电势差来源于两块金属的费密能级不同。

电子从费密能级较高的金属Ⅰ流到费密能级较低的金属Ⅱ，接触电势差正好补偿了II I F F E E -，达到平衡时，两
块金属的费密能级就达到同一高度。

5.5.2 自由电子的顺磁性
实验得到所有的金属都显示出与温度无关的微弱的顺磁性，并且用经典的自由电子理论无法解释。

按量子自由电子理论，电子的自旋磁矩在外加磁场H 作用下它们只能按两个方向中的任意一个排列。

能够把磁矩方向反转过来的电子数约为在原曲线费密能级处 H 量级的能量层内的电子，即()H E G B F μ21，式中出现因子21，是因为我们把能量分布分成了两部分，因而两组
电子占据数之差将为()H E G B F μ。

所以净磁矩为()H E G M B F 2
μ=，从而得到自由电子的顺磁磁化率为： ()2B F E G H
M μχ== 第六章 固体能带理论
6.1 布洛赫电子和布洛赫定理
6.1.1 布洛赫电子
()()r k k r r ⋅=i e u ψ，()()n u u R r r k k +=，具有上式形式的波函数称为布洛赫函数，这个论断被称为布洛赫定理。

把用布洛赫函数来描述其运动状态的电子称为布洛赫电子。

6.1.2 布洛赫定理
晶体电子的波函数就可以写为()()r r k r k k u e i ⋅=ψ，且()()r R r k k u u n =+，描述晶体电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶体相同的周期性。

晶体电子波函数（布洛赫波）所表示的布洛赫函数的形式可以作如下直观的解释。

由于晶体中原子间的相互作用，晶体中的电子不再束缚于某个固定原子的周围而能在全部晶体中运动，即电子属于整个晶体。

晶体中运动的电子在原子之间运动时，势场起伏不大，其波函数应类似于平面波，反映在式中即为平面波因子r k ⋅i e 。

但是如果电子运动到原子实的附近，无疑将受到该原子的较强的作用，使其行为接近于原子中的电子，而晶体正是原子作周期性排列而成的，可见周期函数()r k u 应当明显地带有原子波函数的成分。

6.1.3 波矢的取值与物理意义
波矢k 的范围是：2b k 2b j
j
≤<-，式中3,2,1=j ，通常把满足上式的波矢空间或倒格
子空间称为简约布里渊区。

更一般地，在倒格子中，以某一倒格点为原点，从原点出发作所有倒格点的位置矢量的垂直平分面，这些平面把倒格子空间分割成很多部分。

从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集合称为第一布里渊区；从原点出发只跨过一个垂直平分面所达到的所有点的集合称为第二布里渊区；…；从原点出发跨过个()1-n 垂直平分面达到的所有点的集合称为第n 个布里渊区。

6.2 周期性势场中的近自由电子近似
6.2.1 一维周期性势场中电子运动的近自由电子近似
对于一维晶体，薛定谔方程为：
ψψE x V dx d m 2h 222=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⋅-）（ 电子的总能量为：
n n V E V V a n m h E ±=±+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=00222 一维情形的E(k)-k 图和能带如图所示：
周期场的变化愈激烈，各傅立叶系数也愈大，能量间隔也将更宽。

各能带之间的间隔称为“带隙”，在“带隙”中不存在能级。

周期场中运动的电子的能级形成能带是能带理论最基本的结果之一。

要知道一个能带中有多少个量子态，须要求出一个布里渊区中有多少允许的波矢的取值。

无论是一维，还是三维情形，都可以使波矢量与它所代表的状态一一对应。

这时可将的取值范围限制在空间的一个区域内，这个区域是一个最小的周期性重复单元，区域内的全部波矢代表了晶体中所有波矢量为实数的电子态。

区域外的波矢都可以通过平移一个倒格矢而在该区域内找到它的等价状态，这个区域就是上面提到的简约布里渊区。

上图分别为简单立方晶格、体心立方晶格及面心立方晶格的布里渊区结构图。

倒格矢：
()()()[]k j i 2b b b K 321321321332211n n n n n n n n n a
n n n n -+++-+++-=++=π 简约布里渊区代表K 空间中标志全部电子波矢的区域。

在这个区域，每一个K 与一个电子态相对应。

在任意布里渊区内的等价点来标志。

每一个能带包含N 个状态，每一个状态与布里渊区中的一个状态点K 相对应。

因此如将能带图象约化到简约布里渊区内时，E （k ）是K 的多值函数，一一对应的关系。

3.2 紧束缚近似—原子轨道线性组合法
为了更深刻地理解能带的形成，我们还可以用相反的思维过程，即从原子能级量子理论出发，即先考虑电子在晶体中受每个原子的束缚比较紧，而原子间的作用比较小，即电子的运动情况与孤立原子中的很近似，当形成晶体时，由于原子相互靠拢，电子还可以从一个原子运动到另一个原子处，这种因周期性势场的影响导致原子外电子层能级分裂扩展而形成能带，即外层电子从紧束缚到准自由。

因此这种理论称为紧束缚近似。

该方法便于了解原子能级与固体能带间的联系。

能带宽度由两个因素决定：即配位数（最近邻原子数）和交迭积分J 。

交迭积分J 的数值同波函数的交迭程度有关，交迭程度越大，J 值也越大，能带越宽。

对于内层电子，波函数交迭程度小，J 值也小，能带比较窄。

如果是复式格子（例如锗、硅晶体等），则可以把能带中的电子运动的波函数看成这些布洛赫和的线性组合。

也可以认为原胞中各原子之间先形成分子轨道，再以分子轨道为基组成布洛赫和，而认为能带与分子轨道之间有相互对应的关系。

第七章 固体电导理论
7.1 晶体中电子的准经典运动
晶体中的电子波是被周期性势场所调幅的平面波，即布洛赫波，不是真正的平面波，因而不是严格意义上的自由电子。

在量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果一个态的经典描述近似地成立，则在量子力学中这个态就可由经典力学中的一个波包代表。

布洛赫波函数可写成：
()()()r ,r k k r k k u e
t E i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅= ϕ
描写波包的函数：。