机械振动与噪声学 赵玫 课后习题答案(部分)

衰减为4F /k 。( F 是摩擦力 ) 3－9 求图3－9所示系统的固有频率和主振型。( 杆为刚性，不计质量。) 3－10 选图3－10所示均质杆的质心C 点向下移动的位移 x 及杆顺时针方向转角 为广义 坐标，求系统的固有圆频率和主振型。
图 3－ 9
图3－10 求系统的固有频率
3－11 图3-11所示扭转振动系统中， k1 = k2 = k ，J1 = 2 J2 = 2 J。 (a)
图2－1
图2－2
图2－3
2－4 如图2－4所示，质量为 m、半径为 R 的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距 离为 a 处用两根刚度为 k 的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。 2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
图2－4 图2－5 2－6 图2－6所示系统垂直放置，L2 杆处于铅垂位置时系统静平衡，求系统作微振动的微 1
3－12 求图3-10所示系统的振型矩阵 [u]、正则化振型矩阵u 和主坐标。
(0) (0) 0 ，求系统对 和主振型；(b) 设： 1 (0) = 1 rad， 2 (0) = 2 rad， 1 2 初始条件的响应。
3－13 求图3－13所示系统的振型矩阵 [u]、正则化振型矩阵u 和主坐标。 3－14 设图3-14所示系统中， 轴的抗弯刚度为 EI，它的惯性矩不计，圆盘的转动惯量 J 2 = mR /4，R = L/4，静平衡时轴在水平位置。求系统的固有频率。
图2－13
图2－14
图2－15
图2－16
2－17 如图2－17所示，系统中 k 1 = k2 = k3 = k ，m1 = m2 = m，r1 = r2 = r ，J1 = J2 = J。求 2
系统的振动微分方程。 2－18 图2－18为行车载重小车运动的力学模型，小车质量 m1 ，受到两根刚度为 k 弹簧 的约束，悬挂物品质量为 m2 ，悬挂长度为 L，摆角 很小，求系统的振动微分方 程。
机械振动与噪声学 赵玫 课后习题答案（部分）
1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。 (a) 振动； (b) 周期振动和周期； (c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。 1－2 一简谐运动，振幅为 0.20 cm，周期为 0.15 s ，求最大的速度和加速度。 1－3 一加速度计指示结构谐振在 82 Hz 时具有最大加速度 50 g，求其振动的振幅。 1－4 一简谐振动频率为 10 Hz，最大速度为 4.57 m/s ，求其振幅、周期和最大加速度。 1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即： Acos n t + Bcos (n t + ) = Ccos (n t + ' )，并讨论 ＝0、 /2 和 三种特例。 1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面 的最大振幅可有多大？ 1－7 计算两简谐运动 x1 = X1 cos t 和 x2 = X 2 cos ( + ) t 之和。其中 << 。如发生 拍的现象，求其振幅和拍频。 i 1－8 将下列复数写成指数A e 形式： (a) 1 + i 3 (b) 2 (c) 3 / ( (f) (
图3－11
图3－13
图3－14
3－15 用 Rayleigh 法和 Dunkerley 公式估算图 2－16 所示系统中质点在铅垂平面中作垂 直于绳索微振动时的基频，并与精确解相比较。 4－1 如图4－1所示，一质量为 m 的油缸与刚度为 k 的弹簧相连，通过阻尼系数为 c 的 粘性阻尼器以运动规律 y = A sin t 的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相 对于活塞的相位。 4－2 试导出图4－2所示系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。 4－3 求图4－3所示弹簧－质量系统在库仑阻尼和简谐激励力 F 0 sin t 作用下的振幅。 在什么条件下运动能继续？

图4－9
图4－10
图4－11
4－12 一弹簧－质量系统，从t = 0时，突加一个F 0 力，以后该力保持不变。试用Duhamel 积分求系统的响应，并概略图示之。（图4－12） 4－13 一弹簧－质量系统，从t = 0开始作用一不变的F 0 力，作用时间为t0 (图4－13)。求 系统在t t0 和 t t0 两种情况下的响应，并找出 t t0 时最大位移与 t0 / 的关系。如 果 t0 与系统自振周期 相比很小，最大位移为多少? 请与脉冲响应函数比较。 4－14 一单自由度无阻尼弹簧－质量系统，受到图4 －14所示力的激励，请用Duhamel积 分求系统在 t < t1 和 t > t1 两种情况下的响应，并概略图示之。 4－15 求弹簧－质量系统在图4－15所示激励下的响应。
图3－2
图 3－ 3
图3－4
图3－5
3 － 6 弹簧－质量－粘性阻尼器系统中，质量 m = 10 kg· s2 /m ，弹簧刚度 k = 1000 0 = 0。求：系统的阻尼比分别为 ＝0、0.2和1.0三 kg/m，初始条件为 x0 = 0.01 m, x 种情况下系统对初始条件的响应，并给出概略简图。 3－7 图3－7所示带有库仑阻尼的系统中，质量 m = 9 kg，弹簧 刚度 k = 7 kN/m ，摩擦 系数 = 0.15 ，初 始条 件是 0 0 。 求： (a) 位移振幅每周衰 x0 25 mm, x 减； (b) 最大速度；(c) 速度振幅每周衰减；(d) 图3－7 物体 m 停止的位置。 3－8 对只有库仑阻尼的弹簧－质量系统，用能量观点证明：对于自由振动，每周期振幅 3
图4－1
图4－2
图4－
4－4 一重物悬挂在刚度 k = 3 kN/m 的弹簧下，测得系统振动的准周期为 1 s ，系统阻尼 4
比为 0.2，当外力F = 20 cos 3t (N) 作用于系统上时，求系统稳态振动的振幅和相 位。 4－5 带结构阻尼的单自由度系统，若刚度用复数形式 k = k0 e i 2 表示。求系统在简谐 激励下的响应。 4－6 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。求加速度幅值达到最 大值时的频率比、放大因子和Q因子。 4－7 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。求速度幅值达到最大 值时的频率比、放大因子和Q因子。 4－8 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统在简谐力作用下作强迫振动。求位移幅值达到最大 值时的频率比、放大因子和Q因子。 4－9 如图4－9所示，弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行。试求出车辆振幅与运行速 度v 之间的关系，并确定最不利的运行速度。 4－10 图4－10所示系统中，集中质量 m = 20 kg，弹簧刚度 k = 3.5 kN/m，阻尼器的粘性 阻尼系数为 c = 0.2 kN s /m，凸轮的转速为 60 rpm，行程为 0.01 m。试求系统的 稳态响应 x (t)。 4－11 如图4－11所示，一个弹簧－质量系统从倾斜角为30 的光滑斜面下滑。求弹簧从开 始接触挡板到脱开挡板的时间。
3
3
-i)
(d) 5 i
(e) 3 / (
2
3
- i)2
+ i ) (3 + 4 i )
(g) (
3
- i ) (3 - 4 i )
(h) ( 2 i ) + 3 i + 8
2－1 钢结构桌子的周期 ＝0.4 s ，今在桌子上放 W = 30 N 的重物，如图2－1所示。已知 周期的变化 ＝0.1 s 。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。 2－2 如图2－2所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆由两根刚度为 k 的弹簧系住， 求杆绕O点微幅振动的微分方程。 2－3 如图2－3所示，质量为 m、半径为 r 的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为 k 的弹簧相连，求系统的振动微分方程。
图4－19
图4－20
图4－21
5－1 具有粘性阻尼的弹簧－质量系统，使质量偏离平衡位置然后释放。如果每一循环振 幅减小 5 ，那么系统所具有的等效粘性阻尼系数占临界阻尼系数的百分之几？ 5－2 一振动系统具有下列参数：质量 m = 175 kg，弹簧刚度 k = 70.0 N/cm，粘性阻尼系 数 c = 0.70 N s/cm。求：(a) 阻尼比 ；(b) 有阻尼固有频率；(c) 对数衰减 率；(d) 任意二相临振幅比值。 5－3 某单自由度系统中，等效质量 m = 1 kg, 等效 k = 5 kN/m, 在振动 5 周后振幅降为 初始振幅的25。求系统的等效粘性阻尼系数 c。 5－4 带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量 m = 5 kg，等效刚度 k = 10 kN/m，其任意两 相邻振幅比为 1 0.98， 求： a 系统的有阻尼固有频率； b 对数衰减率； c 阻尼系数 c；(d) 阻尼比 ． 5－5 机器质量为 453.4 kg，安装时使支承弹簧产生的静变形为 5.08 mm，若机器的旋转 失衡为 0.2308 kg m。求：(a) 在 1200 rpm 时传给地面的力；(b) 在同一速度 下的动振幅(假定阻尼可以忽略)。 5－6 如果题5－5的机器安装在质量为1136 kg的大混凝土基础上，增加基础下面弹簧的刚 度使弹簧静变形为5.08 mm，则动振幅将是多少？ 5－7 质量为 113 kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为 20 Hz、振幅 为 15.24 cm/s2 加速度激励，设橡皮衬垫具有如下参数：k = 2802 N/cm， = 0.10， 问：传给精密仪器的加速度是多少？ 5－8 图5－8所示的惯性激振器用来测定一重180 N结构振动特性。当激振器的转速为 900 rpm 时，闪光测频仪显示激振器的偏心质量在正上方，而结构正好通过静平衡位置 向上移动，此时振幅为0.01 m，若每个激振器的偏心质量矩为 0.01 kg m (共2个)， 求： (a) 结构的固有频率； (b) 结构的阻尼比； (c) 当转速为 1200 rpm 时的振 幅。 5－9 如图5－9所示，机器重 2500 kN，弹簧刚度 k = 800 kN/m，阻尼比 = 0.1，干扰力 频率与发动机转速相等。试问：(a)在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力 6
图2－17
图2－18
图3－1
3－1 如图3－1所示，杆 a 与弹簧 k1 和 k2 相连，弹簧 k 3 置于杆 a 的中央，杆 b 与 弹簧 k3 和 k4 相连，质量 m 置于杆 b 的中央。设杆 a 和杆 b 为质量和转动惯 矩可忽略的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量 m 上、下振动的 固有频率。 3－2 如图3－2所示，一薄长板条被弯成半圆形，在水平面上摇摆。用能量法求它摇摆的 周期。 3－3 如图3－3所示，一长度为 L、质量为 m 的均匀刚性杆铰接在O点，并以弹簧和粘性 阻尼器支承。求： (a) 系统作微振动的微分方程； (b) 系统的无阻尼固有频率；(c) 系统的临界阻尼。 3－4 系统参数和几何尺寸如图3－4所示，刚性杆质量可忽略。求：(a) 系统作微振动的微 分方程；(b) 临界阻尼系数；(c) 有阻尼固有频率。 3－5 如图3－5所示，质量为 m1 的重物悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，质 量为 m2 的重物从高度为 h 处自由降落到 m1 上而无弹跳，求系统的运动规律。
图4－12 图4－13 图4－14 图4－15 4－16 对弹簧－质量系统，从t = 0开始施加按直线变化的力，即 f (t) = a t ( a = const ) 。请 5
用Duhamel积分求系统的响应，并概略图示之。 试用拉普拉斯变换方法解题4－12。 试用拉普拉斯变换方法解题4－13。 求图4－19所示系统的稳态响应。 转动惯量为J的飞轮通过四个刚度为k的弹簧与转动惯量为 Jd并能在轴上自由转动的 扭转减振器相联，见图4－20。试建立系统作扭转振动的微分方程。若在飞轮上作用 一简谐变化的扭矩T sin t，求：(a)系统的稳态响应；(b)飞轮不动时J d 的固有频 率；(c)J d / J 的比值，使联接减振器后系统的固有频率为激振频率 的 1.2 倍。 4－21 求图4－21所示系统的稳态响应。 4－17 4－18 4－19 4－20
分方程。 2－7 求图2－7所示系统的振动微分方程。 2－8 试用能量法确定图2－8所示系统的振动微分方程。(假定 m 系统的静平衡位置。)
2
>
m 1 ，图示位置是
图2－6
图2－7
图2－8
2－9 试确定图2－9所示弹簧系统的等效刚度。 2－10 求跨度为 L 的均匀简支梁在离支承点 L 3 处的等效刚度系数。 2－11 求图2－11所示系统对于广义坐标 x 的等效刚度。 2－12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距左端 O为 n L 处设一支承点，如图2 －12所示。求杆对O点的等效质量。
图2－9
图2－11
图2－12
2－13 如图 2－13 所示，悬臂梁长度为 L，弯曲刚度为EI，质量不计。求系统的等效刚度 和等效质量。 2 － 14 图2 － 14 是固定滑车力学模型。起吊物品质量为 m，滑轮绕中心 O 的转动惯量为 J0 ，假定绳索与滑轮间无滑动，求系统的振动微分方程。 2－15 用视察法建立图2－15所示链式系统的振动微分方程。 2－16 如图2－16所示，绳索上有两个质量 m1 和 m2 ( m1 = 2 m2 )，各段绳索中的张力均 为T ，用柔度法建立系统作微振动的微分方程。