实验七多元函数微分数学实验课件习题答案

ContourShading False，Frame False， Axes Automatic，ContourStyle Dashing[{0.01}] ， AxesOrigin {0 ，0} ， DisplayFunction Identity] ；
Show[g1， cp1，cp2，AspectRatio 1，DisplayFunction $DisplayFunction] 4．梯度场
【实验小结】（收获体会） 通过本节的学习 ， 基本掌握了求 f ( x, y, z) 对 x 的偏导数，求 f (x, y, z) 对 y 的偏导数，求
f ( x, y, z) 对 x 的二阶偏导数，求 f (x, y, z) 对 x, y 的混合偏导数的方法，求二元函数 f (x, y) 的全微分 ， 以及在 Oxy 平面上作二元函数 f ( x, y) 的等高线的问题，在上机做实验的过程中加深了对此类问题的理
2．微分学的几何应用
例 7.5 求曲面 k( x, y)
x2
4 y2
在点
(
1
,
1
,
64 )
处的切平面方程，并把曲面和它的切平面作在
1
4 2 21
同一图形里．
Clear[k，z]； k[x_ ， y_]=4/(x^2+y^2+1) ； kx=D[k[x ，y] ， x]/.{x 1/4，y 1/2} ； ky=D[k[x ，y] ， y]/.{x 1/4，y 1/2} ； z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k[1/4 ，1/2]； qm=Plot3D[k[x ， y] ，{x ，-2，2} ，{y ，-2， 2} ，PlotRange->{0，4} ，BoxRatios 1，1} ，PlotPoints 30，DisplayFunction Identity] ； qpm=Plot3D[z，{x ， -2，2} ， {y ， -2， 2} ，DisplayFunction Identity] ； Show[qm，qpm， DisplayFunction $DisplayFunction] 3．多元函数的极值
例 7.8 设 f ( x, y) xe ( x2 y2 ) ，作出 f ( x, y) 的图形和等高线，再作出它的梯度向量 grad
的图形．把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起，观察它们之间的关系． <<Graphics\PlotField.m Clear[f] ； f[x_ ，y_]=x*Exp[-x^2-y^2] ； dgx=ContourPlot[f[x ，y] ， {x ，-2， 2} ，{y ，-2，2} ，PlotPoints 60，Contours
Dt[z]
第2题 eq1=D[x E^u+u*Sin[v],y,NonConstants {u,v}] eq2=D[y E^u-u*Cos[v],y,NonConstants {u,v}] Solve[{eq1,eq2},{D[u,y,NonConstants {u,v}],D[v,y,NonConstants
{1 ，
例 7.6 求 f ( x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值
Clear[f] ； f[x_ ，y_]=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x ； fx=D[f[x ，y] ，x] fy=D[f[x ，y] ，y] critpts=Solve[{fx 0，fy 0} ，{x ，y}] fxx=D[f[x ， y] ，{x ， 2}] ； fyy=D[f[x ， y] ，{y ， 2}] ； fxy=D[f[x ， y] ，x，y] ； disc=fxx*fyy-fxy^2 data={x， y，fxx ，disc，f[x ， y]}/.critpts ； TableForm[data，TableHeadings {None，{"x" ，"y" ， "disc"， ""f}}] d2={x ， y}/.critpts ； g4=ListPlot[d2 ，PlotStyle PointSize[0.02]， DisplayFunction Identity] ； g5=ContourPlot[f[x ， y] ，{x ， -5，3} ， {y ， -3， 5} ，Contours 40，PlotPoints ContourShading False，Frame False， Axes Automatic，AxesOrigin {0 ， 0} ， DisplayFunction Identity] ； Show[g4， g5，DisplayFunction $DisplayFunction] FindMinimum[f[x ， y]，{x ， -1} ， {y ，1}]
GhostXP_SP3电脑公司快速装机版 Intel （ R） Core （TM） i3 CPU 550 3.20GHz 3.19GHz,1.74GB 的存 Mathematica 5.2 二、实验容：
V2011.07
【实验方案】
1．求多元函数的偏导数与全微分
2．微分学的几何应用
3．多元函数的极值 4．梯度场
ContourShading False，Frame False， Axes Automatic，AxesOrigin {0 ， 0} ， DisplayFunction Identity] ；
cp2=ContourPlot[g[x，y] ，{x ，-2， 2} ，{y ，-2，2} ，Contours {0} ，PlotPoints 60，
师学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期
实验七 多元函数微分 数学实验
微积分实验 2013-4-26
班级 学号 姓名 成绩
10 数应（ 2）班 291010836
吴保石
一、实验概述：
【实验目的】
1.掌握用 Mathematica 计算多元函数偏导数和全微分的方法， 2.理解和掌握曲面的切平面的作法； 3.通过作图和观察，理解方向导数、梯度和等高线的概念．
例 7.2
设z
(1 xy) y ，求
z ,
Leabharlann Baidu
z 和全微分 dz
xy
Clear[z]； z=(1+x*y)^y ； D[z ，x] D[z ，y] Dt[z]
例 7.3 设 z (a xy) y ，其中 a 是常数，求 dz
Clear[z，a]； z=(a+x*y)^y ； wf=Dt[z ，Constants {a}]//Simplify wf/.{ Dt[x ，Constants {a}] dx，Dt[y ， Constants {a}] dy}
若求 f (x, y, z) 对 x 的二阶偏导数，输入 D[f[x,y,z],{x,2}]
若求 f (x, y, z) 对 x, y 的混合偏导数，输入 D[f[x,y,z],x,y]
其余类推． 2．求全微分命令 Dt
该命令只用于求二元函数
f ( x, y) 的全微分时，其形式为
Dt[f[x,y]] 其输出的表达式中含有 Dt[x] ，Dt[y] ，它们分别表示自变量的微分
并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法；
【实验原理】
1．求偏导数命令 D 既可以用于求一元函数的导数，也可以用于求多元函数的偏导数．用于求偏导数时，
若求 f (x, y, z) 对 x 的偏导数，输入 D[f[x,y,z],x]
若求 f (x, y, z) 对 y 的偏导数，输入 D[f[x,y,z],y]
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）
1．求多元函数的偏导数与全微分
例7.1
设z
sin( xy)
cos2( xy) ，求
z ,
x
z ,
y
2z x2 ,
2z xy
Clear[z]； z=Sin[x*y]+Cos[x*y]^2 ； D[z ，x] D[z ，y] D[z ，{x ， 2}] D[z ，x， y]
命令 ContourPlot 的基本形式是 ContourPlot[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]
例如输入 ContourPlot[x^2-y^2 ， {x ，-2， 2} ，{y ，-2，2}]
【实验环境】
系统 Microsoft Windows XP
Professional 版本 2002 Service Pack 3
u, v u, v
Cos v ,
1 u Cos v u Sin v
解。
三、指导教师评语及成绩：
评语
1. 实验报告按时完成 , 字迹清楚 ,文字叙述流畅 ,逻辑性强 2. 实验方案设计合理 3. 实验过程（实验步骤详细 ,记录完整 ,数据合理 , 分析透彻） 4 实验结论正确 .
评语等级
及 优良 中
格
不及格
成 绩：
附录 1：源 程 序
第1题
指导教师签名： 批阅日期：
{u,v}]}]//Simplify
0 u D u, y, NonConstants u, v u Cos v D v, y, NonConstants u, v
D u, y, NonConstants u, v Sin v
1 u D u, y, NonConstants u, v Cos v D u, y, NonConstants u, v
dx， dy．若函数 f ( x, y) 的表达
式中还含有其他用字符表示的常数，例如
a，则 Dt[f[x ， y]] 的输出中还会有
一>{ a} ，就可以得到正确结果，即只要输入
Dt[f[ ｘ，ｙ ] ， Constants 一 >{a}]
Dt[a] ．若采用选项
Constants
3．在 Oxy 平面上作二元函数 f ( x, y) 的等高线命令 ContourPlot
60，
例 7.7 求函数 z x2 y 2 在条件 x2 y2 x y 1 0 下的极值．
Clear[f ，g，la] ； f[x_ ，y_]=x^2+y^2 ； g[x_， y_]=x^2+y^2+x+y-1 ； la[x_ ，y_， r_]=f[x ， y]+r*g[x ， y] ； extpts=Solve[{D[la[x ，y，r] ，x] 0，D[la[x ， y， r] ，y] 0，D[la[x ，y，r] ，r] 0}] f[x ， y]/.extpts//Simplify dian={x ， y}/.Table[extpts[[s ， j]] ，{s， 1， 2} ，{j ， 2， 3}] g1=ListPlot[dian ，PlotStyle PointSize[0.03]， DisplayFunction Identity] cp1=ContourPlot[f[x ，y] ， {x ，-2， 2} ，{y ， -2，2} ， Contours 20，PlotPoints 60，
u D v, y, NonConstants u, v Sin v
D u, y, NonConstants
D v, y, NonConstants
第3题 Clear[z]; z[x_,y_]=f[x*y,y] D[z[x,y],{x,2}] D[z[x,y],{y,2}] D[z[x,y],x,y] f[x y,y]
ContourShading False，Axes Automatic， AxesOrigin {0 ， 0}] td=PlotGradientField[f[x ，y] ， {x ，-2， 2} ，{y ，-2，2} ，Frame False] Show[dgx，td]
25，
【实验结论】（结果）
通过用 mathematica5.2 在计算机上输入相应的命令程序，解决以下问题： 1．求多元函数的偏导数与全微分 2．微分学的几何应用 3．多元函数的极值求解 4．梯度场的画法
例 7.4
设
x
eu
u sinv
，求
u, u, v, v
y eu u cosv
x y xy
eq1=D[x E^u+u*Sin[v] ， x， NonConstants {u ，v}] eq2=D[y E^u-u*Cos[v] ， x， NonConstants {u ，v}] Solve[{eq1 ，eq2}， {D[u ， x， NonConstants {u ，v}] ，D[v ，x，NonConstants {u ， v}]}]//Simplify