概率统计和随机过程课件1.4 条件概率和乘法公式

P ( AB) P ( B ) P A B ( P ( B) 0)
推广
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P A2 A1 P An A1 A2 An1 ( P ( A1 A2 An1 ) 0)
10
例1 已知某厂生产的灯泡能用到1000小时的概 率为0.8, 能用到1500小时的概率为0.4 , 求已用 到1000小时的灯泡能用到1500小时的概率
解 设原发信号为“ • ”为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 B2 收到信号“不清”为事件 A
24
已知： A B1 B2 , B1 B2
P( B1 ) 0.6, P( B2 ) 0.4
i 1 i 1
n
n
意 义 ： 事 件 组 Bn一 般 是 导 致 A 发 生 的 所 有 可 能 的 “ 原 因 ”
P ( Bk A)
P ( ABk ) P ( A)

P ( Bk ) P ( A Bk )
P( Bi ) P( A Bi )
i 1
n
Bayes公式
意 义 ： A 发 生 时 ， 其 原 因 是 B k的 概 率 . 统 计 中 有 B a y e s 学 派 。 核 心 思 想 类 似 于 B a y e s公 式 。 A 对 B有 修 正 作 用 。
n AB n AB nA
A
7 nA ,
P( AB) P( A)
P ( AB ) P ( A)
PB A
4 7
n nA n
定义 设A、B为两事件, P ( A ) > 0, 则称
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率， 记为 P B A 条件概率的计算方法
若 B A
P B A P ( AB ) P ( A) P( B) P ( A) P( B)
15
例4 为了防止意外，矿井内同时装有两种报警 设备 A 与 B , 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92 , 设备 B 单独使用时有效的 概率为0.93，在设备 A 失效的条件下，设 备B 有效的概率为0.85, 求发生意外时至少 有一个报警设备有效的概率。 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 已知 求
P( B1 B2 A) P( B1 A) P( B2 A) P( B1B2 A) P( B A) 1 P( B A)
P( B1 B2 A) P( B1 A) P( B1 B2 A)
9
乘法公式
利用条件概率求积事件的概率就是乘法公式
P ( AB ) P ( A) PB A ( P ( A) 0)
A ( BC ) ( A B)( A C )
反演律 A B A B
n n
AB A B
n n
Ai
i 1
Ai
i 1
Ai
i 1
wk.baidu.com
Ai
i 1
3
概率的性质

P () 0
P Ai i 1
n n
有限可加性: 设 A1 , A2 , An 为两两互斥事件，
i 0
P ( A) P ( Bi )P ( A Bi ) 0.814
P ( Bi A) P ( Bi ) P ( A Bi ) P ( A)
22
, i 0,1,2,3,4
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经验 得到的，它是事件 A 的原因 称 P( Bi A) i 0,1,2,3,4 为后验概率，它是 得到了信息 — A 发生，再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正 本例中， i 较小时， P( Bi A) P( Bi ) i 较大时，P( Bi A) P( Bi )
§1.3， 1.4 主要内容
条件概率和乘法公式 全概率公式 Bayes公式
1
相
运算律
关
内
容
复
习
事件的关系与运算完全对应着集合的关系 和运算，有着下列的运算律： 吸收律
A A A A ( AB ) A A A A A ( A B) A
重余律 幂等律
P( AB) 0.862
解法二
0.92 0.93 0.862 0.988
P A B P( A B ) P( A ) P( B A )


P ( A ) 1 P ( B A ) 0.08 1 0.85 0.012
P( A B) 0.988
P( Ai )
i 1
P( A ) 1 P( A)
P( A) 1
若 A B P( B A) P( B) P( A)
P ( A) P( B)
一 般 地 ，P ( A - B ) P ( A - A B ) P ( A ) - P ( A B )
（1） 等可能概型可用缩减样本空间法 （2） 其他概型用定义与有关公式
8
条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有 概率的性质：
非负性 规范性
P ( B A) 0 P ( A) 1
P Bi A PBi A i 1 i 1

可列可加性
20
解 设一批产品中有 i 件次品为事件Bi , i = 0,1,…,4 A 为一批产品通过检验
n
则
A Bi ,
i 1
Bi B j , i j , i, j 0,1,2,3,4
已知P( Bi )如表中所示，且
P( A Bi )
C100i C100
10 10
, i 0,1, 2, 3, 4
解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时
所求概率为
P B A P ( AB ) P ( A) P( B) P ( A) 0.4 0.8 1 2
11
B A
例2 一盒中装有5个产品，其中有3个一等品， 2个二等品，从中不放回地取产品，每次 1个，求 （1）取两次，两次都取得一等品的概率 （2）取两次，第二次取得一等品的概率 （3）取三次，第三次才取得一等品的概率 （4）取两次，已知第二次取得一等品，求 第一次取得的是二等品的概率 解 令 Ai 为第 i 次取到一等品 （1） P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) 3 2 3
A A
A A A
A A A
2
差化积
A B AB A ( AB)
交换律 A B B A
( AB)C A( BC )
AB BA
结合律 ( A B) C A ( B C ) 分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
17
§1.4 全概率公式与Bayes 公式
n
Bi
B1 Bn AB1 AB2
i 1

A
ABn
Bi B j
n

B2
n i 1
A ABi
i 1
( ABi )( AB j )
n i 1
注意：A=A A Bi）= ABi （
18
P ( A) P ( ABi ) P ( Bi ) P ( A Bi ) 全概率公式
5 4 10
（2） P( A2 ) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )
2 5 3 4 3 5 2 4 3 5
12
（2）直接解更简单
P ( A2 )
3 5
（为什么？）
提问：第三次才取得一等品的概率，是
P ( A3 A1 A2 ) 还是 P ( A1 A2 A3 ) ?
P A 0.92
PB A 0.85
P B 0.93
P A B
16
解
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
由
0.85
PB A
P ( B ) P ( AB ) 1 P ( A)
即
0.93 P( AB)
故
0.08 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
(3)
P( A A2 A3 ) P A P A2 A P A3 A A2 1 1 1 1



2 1 3 1 5 4 3 10
(4)
P A1

A2

P( A1 A2 ) P( A2 )

P ( A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 )
1
3 10 3 5
由全概率公式与Bayes 公式可计算P( A )与
P ( Bi A), i 0,1,2,3,4
21
结果如下表所示 i 0 1 2 3 4
P( Bi )
P ( A Bi ) P ( Bi A)
4
0.1
1.0
0.2
0.9
0.4
0.2
0.1
0.809 0.727 0.652
0.123 0.221 0.397 0.179 0.080
4
加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A B) P( A) P( B)
推广：P( A B C ) P( A) P( B) P(C )
P ( AB ) P ( AC ) P ( BC ) P ( ABC )
说明什么问题？ 产品通过检验，支持了结论：产品中含次品 的数目应该比较少。次品数目比较多的结论 证据不足。
23
6例 已知由于随机干扰，在无线电通讯中
发出信号“ • ”，收到信号“• ”,“不清”， “ — ”的概率分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“— ”，收到信号“• ”,“不清”， “— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中,“ • ”和“ — ”出现 的概率分别为0.6 和 0.4 ，试分析，当收到信号 “不清”时，原发信号为“ • ”还是“ — ” 的概率大？
P( A1 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 )
0.6 0.1 0.6

5 6
P ( A2 ) 0.7
14
一般地，条件概率与无条件概率之间的大小 无确定的关系 上例中
P ( A2 A1 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) 0.1 0.6 1 6 P ( A2 )
一般：P( Ai ) P( Ai ) P( Ai A j )
i 1 n i 1 1i j n n 1
n
n


P( Ai A j Ak ) (1)
1i j k n
P ( A1 A2 An )
5
§1.3 条件概率
条件概率与乘法公式 引例 袋中有7只白球，3只红球；白球中 有4只木球，3只塑料球；红球中有2只木球， 1只塑料球. 现从袋中任取1球，假设每个球被取到 的可能性相同. 若已知取到的球是白球，问 它是木球的概率是多少？

1 2
13
例3 某人外出旅游两天，需要知道两天的天气 情况，据天气预报，第一天下雨的概率为 0.6, 第二天下雨的概率为0.3, 两天都下雨 的概率为0.1. 求 第一天下雨时，第二天不 下雨的概率
解 设A1, A2 分别表示第一天下雨与第二天下雨
P( A2 A1 )

P ( A1 A2 ) P ( A1 )
19
例5 每100件产品为一批，已知每批产品中的 次品数不超过4件，每批产品中有 i 件次品 的概率为 i P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
从每批产品中不放回地取10件进行检验，若 发现有不合格产品，则认为这批产品不合格， 否则就认为这批产品合格。求 （1）一批产品通过检验的概率 （2）通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率
等可能概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球
6
所求的概率称为在事件A 发生的条件下 事件B 发生的条件概率。记为 P B A
问题：条件概率中样本空间
| A 是什么？
解 列表
白球 红球 小计
木球 塑料球
小计
4 3
7
2 1
3
6 4
10
7
P B A
4 7
nB A 4 n AB , n