数学建模层次分析法

数学建模层次分析法 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

实验报告课程名称：数学模型与实验

课题名称：层次分析法

专业：信息与计算科学

姓名：

班级：

完成日期：2016年6月22日

实验报告

一、实验名称

层次分析法

二、实验目的

人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。

在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一是：就n个不同事物所共有的某一性质而言，应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地反映不同事物之间在该性质上的差异

层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。它把复杂问题分解成组成因素，并按支配关系形成层次结构，然后用两两比较的方法确定决策方案的相对重要性。

三、实验原理

运用层次分析法解决问题，大体可以分为四个步骤：

1.建立问题的递阶层次结构；

（1）将决策问题分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则

层或指标层；

（2）通过相互比较确定各准则对于目标的权重，及各方案对于每一准则的权重；

（3）将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重。

2.构造成对比较矩阵；

3.层次单排序及一致性检验；

判断矩阵一致性检验的步骤如下：

(1)计算一致性指标.：

(2)查找平均随机一致性指标.；

(3)计算一致性比例.：

当.<时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。

4.层次总排序及其一致性检验。

当CR＜时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据

最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。

四、实验题目

一、旅游问题

（1）建模

A 1,A 2,A 3,A 4,A 5分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。

B 1,B 2,B 3分别表示苏杭、北戴河、桂林。

（2）构造成对比较矩阵

A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1 1 3 1/5 1/31 1 2 1/5 1/31/3 1/2 1 1/7 1/45 5 7 1 23 3 4 1/2

1B 1=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡11/21/5211/2

521

B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1383/1138/13/11B 3=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡13/13/1311311

B 4=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡114/1113/1431B 5=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡1444/1114/111 (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验

成对比矩阵A 的最大特征值

5.073

=λ

该特征值对应的归一化特征向量 表明A 通过了一致性检验。

对成对比较矩阵可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：

计算CR k 可知B 1，B 2，B 3，B 4，B 5通过一致性检验。 （4）计算层次总排序权值和一致性检验 B 1对总目标的权值为；

同理得B 2，B 3对总目标的权值分别为；决策层对总目标的权向量为；{}0.4560.246

0.3

故，层次总排序通过一致性检验。{}0.4560.246

0.3

可作为最后的决策依据。即各方案的权重排序为B 3>B 2>B 1

又B1，B2，B3分别表示去苏杭、北戴河、桂林，故最后的决策应为去桂林。

题目二：

现有一学校某系的三位助教（甲乙丙），参加评选中级职称，评委由两位专家组成，请你给出一种排序。

影响评审的因素有教龄、教学效果和科研成果。专家一认为，教龄的重要性比科研成果稍微高一些，教学效果的重要性比教龄高一些。专家二认为，教龄与教学效果同样重要，但都比科研成果高一些。

三位助教各因素的评估如下：

教龄：专家一二一致认为甲比乙、丙高一些，乙、丙一样。

教学效果：专家一认为乙比甲突出，丙比甲明显高而比乙稍高；专家二认为乙比甲明显高一些，比丙稍高，丙比甲明显高一点。

科研成果：专家一认为甲与丙一样，比乙稍高一些；专家二认为甲比乙稍高，比丙稍低一点，丙比乙明显高一些。

（1）建立层次结构模型

（2）根据题意针对两个专家构造不同的成对比较矩阵：

专家1：

A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛17

131715

3511B1=⎪⎪

⎪

⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛11311131

331B2=⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛13

731197191

1B3=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛131******** 专家2；

A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

15

15

1511511B1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛11311131331B2=⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛13

163176171

1B3=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛153311313131 （3）计算层次单排序的权向量和一致性检验

分别对专家一、专家二讨论：

专家一：

在MATLAB中输入命令：

得到成对比较矩阵A的最大特征值λ= 在MATLAB中输入

>>ω=x(:,1)/sum(x(:,1))

得ω=

得到ω={}

0810

.0,

7306

.0,

1884

.0

则CI=

1

33

0649

.3

-

-=，RI=，则

CR=056

.0

58

.0/

0326

.0=

=

RI

CI＜通过一致性检验

对成对比较矩阵B1,B2,B3可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验.

在MATLAB中输入

B2，B3方法同上，结果如下：

由上表可知B2不通过一致性检验，调整矩阵为：