应用高等数学教案

应用高等数学教案
第一章函数、极限与与连续
本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则。

同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念――连续，和连续函数的若干重要性质。

具体的要求如下：
1．理解极限的概念。

2．掌握极限四则运算法则。

3．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

4．了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。

会用等价无穷小求极限。

5.理解函数在一点连续的概念。

6. 了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。

7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理、零点定理和最大、最小值定理）。

绪论
数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。

数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价：
华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。

恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。

张顺燕《数学与文化》——在北大数学文化节上的报告：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。

……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。

航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。

数学一下子到了前台。

数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了。

初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学工具解决实际问题常常只能在有限的范围
内孤立的来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。

高等数学用运动的观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。

用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。

学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。

第一节 函数、第二节 初等函数
1.掌握区间、邻域的概念。

2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。

5.掌握基本初等函数的性质及其图形。

一．邻域——开区间
(,)(,)U a a a δδδ⇔-+，以a 为中心的δ邻域
^
(,)(,)(,)U a a a a a δδδ⇔-+，以a 为中心的去心δ邻域
二．函数： 定义1（P3）
)(x f y =，)(x y ϕ=，)(x y y =，……
定义域，函数值，值域。

函数的两个要素：对应法则、定义域。

三．分段函数 1．⎩
⎨
⎧<-≥+==0,540
,3)(x x x x x f y 0=x 称为“分界点”。

2．符号函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>==0,10,00
,1sgn x x x x y
3．取整函数][x y =，[3.1]=3，[-3.1]=-4。

四．反函数的定义：设有函数),(x f y =其定义域为W ，如果对于W 中的每一个y 值，都
可以从关系式),(x f y =确定唯一的x 值（D x ∈）与之对应，这样所确定的以y 为自
变量的函数)()(1
y f x y x -==或ϕ叫做函数)(x f y =的反函数，它对定义域为W ，值
域为D 。

习惯上，函数的自变量都用x 表示，氢反函数通常表示为).(1
x f y -=
五．函数的几种特性
1．有界性：设)(x f y =，定义域为D ，∈∀x D ，0>∃M ，恒有M x f ≤)(。

则称函数在D 上有界。

否则称函数在D 上无界。

x
x f 1
)(=
，在[1，+∞)，有界；在(0,1)，无界。

2．单调性：设)(x f y =，定义域为D ，∈∀21,x x D ，
当21x x <时⇒)()(21x f x f <，单调递增 当21x x >时⇒)()(21x f x f <，单调递减 单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。

3． 奇偶性：)()(x f x f =- 偶函数
)()(x f x f -=- 奇函数
4．周期性：∈∀x D ，∈+T x D ，)()(x f T x f =+
例1．狄里克莱函数⎩
⎨⎧==为无理数为有理数
x x x D y ,0,1)(。

狄里克莱函数是周期函数，但它没有最
小正周期。

2．符号函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>==0,10,00
,1sgn x x x x y
3．取整函数][x y =，[3.1]=3，[-3.1]=-4。

六．复合函数
)(u f y =，)(x u ϕ=⇒)]([x f y ϕ=
例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数：
2sin x y =，x y 2sin =，x
e
y arctan =
七．基本初等函数与初等函数：
1、 常数函数 )(为常数C C y =
2、 幂函数 )(为实常数μμ
x y = 3、 指数函数 ),1,0(为常数a a a a y x
≠>= 4、 对数函数 ),1,0(log 为常数a a a x y a ≠>=
5、 三角函数x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======
6、 反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====
初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用 一个式子表示的函数叫做初等函数。

八．双曲函数与反双曲函数
2sinh x x e e x y --==，2
cosh x
x e e x y -+==，
作业P20~21 习题 2（3）、（4）、（6）；5；7。

第四节
数列的极限
数列极限的定义
数列的定义：数列实质上是整标函数)(n f x n =，∈n 正整数集N
（i ）n x n 1=
：1，21，31，…，n
1
，…→0 （ii ）n x n n 1)1(1+-+=：2，21，3
4
，…，1+n n 1)1(+-，…→1
确定n
x n 1
1=
-：要使1-n x <0.01，只要n >100； 要使1-n x <0.0001，只要n >10000；
要使1-n x <ε，只要n >[
ε
1]。

（iii ）1)1(--=n n x ：1，-1，1，…， 1
)1(--n ，…→不存在
数列极限描述性定义（P27）：如果当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一个确定的常数a ，那么a 就叫做数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记作
a x n n =∞
→lim 或 当.,a x n n →∞→时
数列极限定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N ，只要n>N ，绝对值不等式a x n -<ε恒成立，则称数列{n x }以常数a 为极限，记为n n x ∞
→lim =a （或a x n →，∞→n ）。

数列极限的分析（N -ε）定义：设R a ∈，0>∀ε，0>∃N ，当N n >时，ε<-a x n 恒成立，则将数列{n x }以常数a 为极限，记为n n x ∞
→lim =a （或a x n →，∞→n ）。

例1． 证明数列2，21，34，4
3
，…，n n n 1)1(+-+，…的极限是1。

证：[分析]令n x =n n n 1)1(+-+，记a =1，要使a x n -=
1)1(1
--++n
n n =n 1=n 1<ε，只要
n 1>ε，取N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ε1。

[证明]0>∀ε，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∃ε1N ，当n>N 时，恒有ε<--++1)1(1n n n ，故
n
n n n 1
)1(lim +∞→-+=1。

例2． 若21)
(n n
in +=
s x n ，证明：0lim =∞→n n x 。

证：[分析]a x n -=0)1(sin 2-+n n =2)1(sin +n n ≤
2)1(1+n <11+n <n
1
，要使a x n -<ε，只要ε1>
n ，取N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ε1，再放大
[证明]],1
[,0ε
ε=∃>∀N 当n>N 时，
ε<-+01)
(n n
sin 2恒成立，故01)(n n sin lim 2=+∞→n 。

例3． 设1<q ，证明数列：1，q ，2
q ，…，1
-n q
，…的极限是0。

证：[分析]令1
-=n n q x ，记a =0，由于01--n q =1-n q =1
-n q
，要使ε<-a x n ，只要
ε<-1
n q
，只要εln ln )1(<-q n ，只要q
ln ln 1-n ε
>
，只要1ln ln +>q n ε
，取N=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+1ln ln q ε。

[证明]0>∀ε ，1ln ln +⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡=∃q
N ε
，当n>N 时，恒有ε<--01
n q ，故1lim -∞
→n n q =0（当1
<q 时）。

例4． 数列{n x } 有界，又0lim
=∞
→n n y ，证明n n n y x ∞
→lim =0。

证：0>∃M ，对一切
n 均有
M x n ≤，又0>∀ε ，对于01>=
M
ε
ε，0>∃N ，当
n>N 时，恒有
ε<-0n n y x ，εε<<≤1M y M y x n n n ，所以n n n y x ∞
→lim =0。

收敛数列的性质
性质1（有界性）收敛数列一定有界。

注：有界数列不不一定收敛。

性质2（唯一性）如果数列收敛，那么它的极限是唯一的。

数列极限的运算法则 如果a x n n =∞
→lim
，b y n n =∞
→lim ，那么
（1）=+∞
→)(lim n n
n y x n n x ∞
→lim +b a y n n +=∞
→lim
（2）=⋅∞
→n n n y x lim
⋅∞
→n n x lim b a y n n ⋅=∞
→lim
（3）=∞→n
n
n y x lim )0(lim lim ≠=
∞
→∞
→b b
a
y x n
n n
n 特别地，如果C 为常数，那么由（2）得
=∞
→n n Cx lim C n ∞
→lim Ca x n n =⋅∞
→lim
无穷递缩等比数列的和（P30）
q
a q a q a q a a S n -=
++++=-11
112111 化循环小数为分数
例（P29例3）
作业P32第2题（1）、（3）、（6）、（8）；第3题（3）、（4）；第4题（2）
第五节 函数的极限
一、函数在当∞→x 时极限
函数极限的描述性定义：设函数)(x f 当|x |a >时有定义（a 为某个常数），如果当自变量x 的绝对值无限增大（记作∞→x ）时，函数)(x f 无限接近于某确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作
A x f n =∞
→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(
函数在当∞→x 时（X -ε）定义：0>∀ε，0>∃X ，当X x >时，ε<-a x f )(恒成立，A x f x =∞
→)(lim
注意：X x X x >⇔>或X x -<
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧=⇔=-∞→+∞
→-∞
→+∞→∞→)(lim )(lim .3)(lim .2)(lim .1)(lim x f x f x f x f a x f x x x x x 存在存在 二、函数在有限点处的极限
引例：1
1
)(2--=x x x f ，当1≠x 时，1)(+=x x f ，1→x 时，2)(→x f
⇒2)(lim 1
=→x f x
研究：)(x f 在点0x 的某个去心邻域内有定义，当0x x →时，a x f →)(
定义：如果存在常数a ，使得对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数δ，当δ<-<00x x 时，ε<-a x f )(恒成立，记a x f x x =→)(lim 0。

0>∀ε，0δ∃>，当δ<-<00x x 时，ε<-a x f )(恒成立。

例1． 证明下列极限：（1）C C x x =→0
lim ；（2）00
lim x x x x =→；（3）0sin lim 0
=→x x 。

证：（1）[分析]这里0)(=-=-C C a x f ，0>ε恒成立
[证明]0>∀ε，任取一个正数δ，当δ<-<00x x 时，ε<=-0C C 恒成立，证之。

（2）[分析]由于ε<-=-0)(x x a x f ，只要ε<-0x x ，取εδ=
[证明]0>∀ε，εδ=∃，当δ<-<00x x 时，ε<-0x x 恒成立，故00
lim x x x x =→
（3）[分析]由于x x a x f sin 0sin )(=-=-，要使ε<-0x x ，只要
εε<<-x sin ，只要εεarcsin arcsin <<-x ，即εarcsin 00<-<x ，取εδarcsin =
[证明] 0>∀ε，εδarcsin =∃，
当δ<<x 0，ε<-0sin x 恒成立，故0sin lim 0
=→x x 例2． 证明21241lim
2
2
1=+--
→x x x 。

证：[分析]21-
→x ，2
1
-≠x ，012≠+x 由于a x f -)(=1224412+---x x x =1
2)12(2
++-x x =12+x
要使ε<-a x f )(，只要ε<+12x ，即ε<--)21
(2x ，只要221ε<+
x ，取2
εδ= [证明]0>∀ε，2ε
δ=∃，当δ<--<)21(0x 时，
ε<-+-21
2412
x x 恒成立，证之。

例3． 证明1lim 0
=→x
x e 。

证：[分析]由于1)(-=-x e a x f ，要使ε<-1x
e ，只要εε+<<-11x
e ，只要
)1ln()1ln(εε+<<-x ，即)1ln(0)1ln(εε+<-<-x ，取{})1ln(,)1ln(min εεδ-+=
[证明]0>∀ε，{}
)1ln(,)1ln(min εεδ-+=∃，当δ<-<00x 时，ε<-1x e 恒成立，证之。

左极限)0()(lim )(lim 00
0-==-→-→x f x f x f x x x x
右极限)0()(lim )(lim 00
0+==+→+→x f x f x f x x x x
极限存在⇔⎪⎩
⎪
⎨⎧=右极限左极限右极限存在左极限存在.3.2.1
例4． 当2→x 时，讨论⎪⎩⎪⎨⎧<>=2
,2
,)(x e x x x f x 的极限
三、极限的性质
⎪⎪
⎭⎪
⎪⎬⎫
→∞
→∞
→)(lim )(lim lim 0x f x f x x x x n
n 具有四个性质，下面证其中一种极限性质，余可类似证明之。

性质1．极限的唯一性：如果)(lim 0
x f x x →存在，则极限唯一。

证：反证法。

设a x f x x =→)(lim 0
，b x f x x =→)(lim 0
，且a b ≠。

02
>-=
∀a b ε，01>∃δ，当100δ<-<x x 时，有2
)(a b a x f -<
-；
02>-=
∀a b ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有()2
b a
f x b --<。

取},m in{21δδδ=，上面两式均成立，由
[()][()]()()22
b a b a b a f x a f x b f x a f x b b a ---=---≤-+-<+=- 矛盾！
性质2．有极限函数的局部有界性：如果)(lim 0
x f x x →存在，则在点0x 的某个去心邻域内，函数)(x f 有界。

证：令)(lim 0
x f x x →=a ，由定义，0>∀ε，（对于ε=1），0>∃δ，当0(,)x U x δ∧
∈，ε<-a x f )(，⇒()()()f x f x a a f x a a a ε=-+≤-+<+。

推论：收敛数列必有界；无界数列必发散。

性质3．有极限函数的保号性：如果a x f x x =→)(lim 0且0>a （或0<a ），则在点0x 的某个去心邻域内，函数0)(>x f （或0)(<x f ）。

证：不妨令0>a ，取2
a =ε，0>∃δ，当0(,)x U x δ∧∈时，ε<-a x f )(，εε+<<-a x f a )(，⇒02
2)(>=-=->a a a a x f ε。

性质4．函数极限的归并性：设)(lim 0
x f x x →存在，又设{}n x 是函数)(x f 的定义域中的这样一个数列，它满足：0x x n ≠（n =1，2，…），且)(lim )(lim 0
x f x f x x n n →∞→=。

证：设a x f x x =→)(lim 0，0>∀ε，0>∃δ，当0(,)x U x δ∧
∈，恒有ε<-a x f )(，即()(,)f x U a ε∈。

由于0lim x x n n =∞
→，故知数列{}n x 只有有限多项在(,)U a ε之外，根据数列极限的定义得 )(lim )(lim 0
x f a x f x x n n →∞→==
例1． 数列})1{(1+-n 是发散的。

为什么？从概念可得出。

例2． 证明当0→x 时，x π
sin 没有极限。

证：取两个收敛于0的数列：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=→+==→=∞→∞→1'sin lim ,02121'0sin lim ,01n n n n n n x n x x n x ππ 极限不存在⎪⎩⎪⎨⎧∞=→→不存在)(lim )(lim 0
0x f x f x x x x 例3． 对于数列{}n x ，若)(12∞→→-k a x k ，
)(2∞→→k a x k ，证明)(∞→→n a x n
证：0>∀ε，01>∃N ，当12121->-N k 时，ε<--a x k 12
0>∀ε，02>∃N ，当222N k >时，ε<-a x k 2
⇒0>∀ε，}2,12m ax {21N N N -=∃，当N n >时，恒有ε<-a x n ，即
a x n n =∞
→lim 作业：P38 T1（1）、92）（3）、（7）、（8）。

T5。

第六节． 函数极限的运算法则 、两个重要极限
一、函数极限的四则运算法则
定理1：设A x f =)(lim ，B x g =)(lim 。

则
（1）)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±；
（2）)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ⋅=⋅=⋅；
（3）当0≠b 时，)
(lim )(lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。

推论1、常数因子可以提到极限符号外面去，即
).(lim )](lim[x f C x Cf =
推论2如果)(lim x f 存在，则
k k x f x f )]([lim )](lim [= )(为自然数k
注：上述法则对于∞→x 时的情形也是成立的。

例1．求下列极限：
（1）164lim 24-+-→x x x ； （2）4
532lim 21+--→x x x x 例2．求下列极限：
（1）1
37243lim 233++++-∞→x x x x x x （2）1
37243lim 232++++-∞→x x x x x x （3）1
37243lim 23+++-∞→x x x x x
例3．设0>a ，求333
lim a x a
x a x --→。

解：
)()())(()()()()(323323
2
323323332333233333
→++-=++--⋅-=--⋅-=--a ax x a x a ax x a x a x a x a x a x a x a x a x
二、极限存在准则
准则Ⅰ、如果数列{}n x 、{}n y 、{}n z 满足下列条件：
（1）、
（2）
那么数列{}n x 的极限存在，且.lim a x n n =∞→
准则Ⅱ、单调有界数列必有极限。

第一个重要极限：.1sin lim 0=→x x
x
例1． 求下列极限：
（1）x x
x tan lim 0→
（2）220202
sin 2lim cos 1lim x x
x x x x →→=-
（3）lx mx
x sin sin lim 0→
例2． 求x x
x arcsin lim 0→
第二个重要极限：e x x
x =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+∞→11lim
例3． 求下列极限：
（1）x
x x tan lim 0→ （2）220202sin 2lim cos 1lim x x x x x x →→=-
（3）lx
mx x sin sin lim 0→ 例4． 求x
x x arcsin lim 0→
作业：P43 T1（1）、（3）、（5）、（7）。

T2（2）（4）、（6）。

T （1）、（2）。

第七节、 无穷小与无穷大
一、无穷小
1、无穷小的定义
定义：以0为极限的函数（变量），称为无穷小量。

定理：在自变量同一变化过程中，函数f (x)有极限A 的充分必要条件是)()(x A x f α+=，其中()x α是无穷小量。

2、无穷小的性质
性质1、有限个无穷小量之和是无穷小量；
证：（1）设0lim ()0x x x α→=，0)(lim 0=→x x x β
0>∀ε，01>∃δ，当100δ<-<x x 时，()2x ε
α<
0>∀ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，2)(ε
β<x
{}120min ,,()()22x x x x εεδδδδαβε=-<+≤
+=取当0<时， 性质2、有限个无穷小的乘积仍为无穷小。

性质3、有界函数与无穷小量之积是无穷小量。

推论：常数与无穷小量之积是无穷小量。

例1．求x
x x 1sin lim 0→。

二、无穷大
1、无穷大的定义
定义2、如果当)(0∞→→x x x 时，函数)(x f 的绝对值无限增大，那么称)(x f 为当)(0∞→→x x x 时的无穷大量，简称无穷大，记为
))(lim ()(lim 0∞=∞=∞
→→x f x f x x x 定义2`、0>∀M （不论它多么大），0>∃δ，当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，认为∞=→)(lim 0
x f x x 2、无穷大与无穷小的关系
定理：在自变量的同一变化过程中，（1）若)(x f 是无穷大量，则)
(1x f 是无穷小量；反之（2）若)(x f 是无穷小量，则)
(1x f 是无穷大量。

三、无穷小的比较
引入02lim 20=→x x x ，∞=→2302lim x x x ，3232lim 220=→x x x ，1sin lim 0=→x
x x 定义：在自变量同一变化过程中，如果α，β均为无穷小量，若
1．0lim =α
β，称β是比α高阶的无穷小量，记为)(αοβ=； 2．∞=α
βlim ，称β是比α低阶的无穷小量； 3．C =αβlim
（0≠C ），称β与α是同阶无穷小量； 4．特别地当C=1时，即1lim =α
β，称β与α是等价无穷小量，记为β~α 例1．21)cos 1tan (lim )cos 1(tan lim sin tan lim 203030=-⋅=-=-→→→x
x x x x x x x x x x x x 21cos 1lim 20=-→x
x x ，称x cos 1-是x 的二阶无穷小。

四、等价无穷小量的性质
性质1、βα与是等价无穷小的充分必要条件为).(ααβ +=
性质2、设α，α，β，β是无穷小量，且α~α，β~β，如果a =α
βlim ，则a =αβlim 证：α
βαβαααβββαβlim 1lim 11
lim lim =⋅⋅=⋅⋅=。

例2．求下列极限
（1）)
3tan(5sin lim 0x x x -→
（2）x
x x x arcsin sin )1(lim 0+→ （3）1ln )1ln(lim )1ln(lim 100==+=+→→e x x
x x x x （4）x
e x x 1lim 0-→ （5）x
x x 55
0sin sin lim → （6）x
x x x x /sin /arcsin lim 0→ 常见的等价无穷小有：当0→x 时，（1）;sin ~x x （2）;tan ~x x
（3）;arctan ~x x （4）221~cos 1x x -；（5）x n
x n 1~1+。

作业：P51 T2（1）、（2）、（5）、（8）。

T3
第八节 函数的连续性
一、函数的连续性
1、函数的改变
定义1、如果变量u 从初值1u 谈到2u ，那么终值与初值的差12u u -叫做变量u 的改变量（或增量），记作u ∆，即
u ∆=12u u -。

改变量u ∆可以是正的，也可以是负的。

2、 函数的连续性
定义2：设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，若)(lim 0
x f x x →存在，且其极限值等于)(0x f ，即)()(lim 00
x f x f x x =→，称函数)(x f 在点0x 处连续，点0x 是)(x f 的连续点。

即：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-0x x 时，恒有ε<-)()(0x f x f 。

记x x x x x x ∆+=-+=000)(，)()(00x f x x f y -∆+=∆
定义3：0lim 0
=∆→∆y x ，函数)(x f 在点0x 处连续， )()(lim 00x f x f x x =→⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==→函数值
极限值存在有意义处有定义在.3)(lim .2)(.100；x f ）；（x x x f x x 连续⇔⎪⎩
⎪⎨⎧==+-→→)()(lim .2)()(lim .10000x f x f x f x f x x x x 右连续
左连续 如果函数在区间上的每一点处连续，则称为区间上的连续函数，基本初等函数在定义区间内连续。

3、函数的间断点
如果函数)(x f 在点0x 处不连续，则称0x 是)(x f 的不连续点或间断点。

如果函数)(x f 有下列三种情形之一：
（1）在点0x 处无定义，即)(0x f 不存在；
（2）)(lim 0
x f x x →不存在； （3）)(lim 0x f x x →及)(0x f 都存在，但=→)(lim 0
x f x x )(0x f
则0x 就是)(x f 的间断点。

例1．研究下列函数在指定点的连续性：
（1）x
x y sin =，点x=0； （2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=1,2
11,)(x x x x f 当当；点x=1； （3）⎪⎩
⎪⎨⎧>-=<+=0,10,00,1)(2x x x x x x f ，点x=0。

例2．x y tan =，点2π
=x 。

例3．x
y 1sin =，点x=0。

例4、证明函数)(x f =x sin 在),(+∞-∞内是连续的。

证明：∈∀x ),(+∞-∞，当x 有增量x ∆时，对应的函数的增量为 )2
cos(2sin 2sin )sin(x x x x x x y ∆+∆=-∆+=∆， 注意到 |)2
(cos x x x ∆+|1≤。

得 |2sin
|2|sin )sin(|||x x x x y ∆≤-∆+=∆ 因为对于任意的角度α，当0≠α时有，|||sin |αα<，所以有 |||2sin |2|sin )sin(|||0x x x x x y ∆<∆≤-∆+=∆≤
因此，当0→∆x 时，由夹逼准则得.0||→∆y 这就证明了)(x f =x sin 对于∈∀x ),(+∞-∞是连续的。

⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧≠≠=振荡间断点无穷间断点第二类间断点右左跳跃间断点右左可去间断点左右极限均存在一类间断点第间断点，x f ，）（)( 二、初等函数的连续性
定理1、如果函数)(x f 与)(x g 在点0x 处连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）也都在点0x 处连续。

定理2、如果函数)(x u φ=在点0x x =处连续，且)(00x u φ=，函数)(u f y =在点0u u =处连续，那么复合函数)]([x f y φ=在点0x x =处连续。

定理3、一切初等函数在其定义区间都是连续的。

三、闭区间上连续函数的性质
定理4：（有界性及最大值最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界，且一定有最大值和最小值。

],[,],[b a b a C f ∈∃⇒∈ηξ，使得)()}({max ],[ξf x f b a x =∈，)()}({min ]
,[ηf x f b a x =∈ 定理2：（零点定理）若函数)(x f 在闭区间[a,b]上连续，且f (a), f (b)异号，则f (x)在开区间(a,b)内至少有一个零点。

],[b a C f ∈，且),(0)()(0b a x b f a f ∈∃⇒<⋅，使得0)(0=x f 。

定理3：（介值定理）设函数)(x f 在闭区间[a,b]上连续，且)()(b f a f ≠，则对介于)(a f 与)(b f 之间的任何实数μ，在区间(a,b)内至少存在一点0x ，使得μ=)(0x f 。

证明：作辅助函数μ-=)()(x f x F ，满足定理2的条件：在[a,b]上连续，且0)(0])([])([)()(0=⇒<-⋅-=⋅x F b f a f b F a F μμ，即0)(0=-μx f ，μ=)(0x f 。

推论1：闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

推论2：闭区间上不为常数的连续函数把该区间映为闭区间。

切记：若不是闭区间，或不是连续函数，上述性质均不成立！
例1．证明方程0=+x e x 在区间(-1,1)内有唯一的根。

证：讨论函数x
e x x
f +=)(，闭区间[-1,1]。

先证明存在性；再证明唯一性——指出x
e x x
f +=)(为单调函数 例2．证明方程
03
12111=-+-+-x x x 有分别包含于（1，2），（2，3），内的两个实根。

证：由方程可知1≠x ，2≠x ，3≠x ，故原方程之同解方程为
0)2)(1()3)(1()3)(2(=--+--+--x x x x x x
引入辅助函数)2)(1()3)(1()3)(2()(--+--+--=x x x x x x x F
易知F(x)在),(∞-∞上连续，故可分别在闭区间[1，2]，[2，3]上讨论之。

作业：P60 T1；T2；T3（1）、（3）；T4（2）。

第一章 习题课
一、内容小结
1、函数的定义，反函数、复合函数的定义，函数的几种特性，基本初等函数，基本初等函数。

2、数列极限的定义、性质。

3、函数极限的定义：
,)(lim 0A x f x s =→,)(lim 0A x f x s =-→,)(lim 0A x f x s =+→,)(lim A x f x =∞→,)(lim A x f x =∞
→=
,)(lim A x f x =+∞→
函数极限的性质：（1）如果函数,)(lim 0A x f x s =→则)(x f 在点0x 的去心邻域内是有界的。

（2）如果)(lim 0
x f x s →存在，那么这极限是唯一的。

4、无穷小、无穷大：
无穷小：0)(lim =x f ；无穷大：∞=)(lim x f ；无穷小的运算性质，无穷小与无穷大的关系；无穷小阶的比较。

等价无穷小的性质与其在极限计算中的应用。

5、极限存在准则、两个重要极限：.1sin lim 0=→x x x e x x x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→11lim .()e x x x =+→101lim 6、函数的连续性与性质
①设函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义，如果
)()(lim 00x f x f x x =→
εδδε<-<->∃>∀⇔|)()(|,||,0,000x f x f x x 有时当
②如果0)]()([lim lim 00
0=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ，那么就称函数)(x f 在点0x 下连续。

左连续` )()(00x f x f =-；右连续 )()(00x f x f =+。

区间上连续函数：在区间上每一点都连续的函数称为该区间上的连续函数。

③间断点：有下列三种情形之一（1）在0x 处)(x f 无定义；（2）在0x 有定义，但)(lim 0x f x x →不存在；（3）在0x 有定义，)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00
x f x f x x ≠→。

则函数)(x f 在点0x 处间断。

间断点分类：)(x f 在0x 间断，)(0-x f 与)(0+x f 分别存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点，
否则称为第二类间断点。

④重要结论：基本初等函数在其定义域内是连续的。

一切初等函数在其定义区间都是连续的。

⑤闭区间上连续函数的性质
（1） 最大值、最小值及有界性定理。

（2） 零点定理
（3） 介值定理
7、 运算法则
（1） 无穷小的运算性质①有限个无穷小的和仍为无穷小；②有限个无穷小的积仍为无穷
小；③有界函数与无穷小的积为无穷小。

（2） 极限的四则运算法则。

（3） 复合函数的极限运算法则：设函数)]([x g f y =是由函数)(u f y =与)(x g u =复合
而成的，)]([x g f 在点0x 的某去心邻域内有定义，若0)(lim 0u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0。

且存在),(0000δδx U
∈>当时，有0)(u x g ≠，则A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 00。

（4） 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数。

（5） 若)(u f y =在点0u 处连续，)(x g u =在点0x 连续，
g f D x U ⋅⊂)(0 ，且00)(u x g =，则复合函数)]([x g f y =在点0x 连续，且
)]([)()(lim )]([lim 000
0x g f u f u f x g f u u x x ===→→。

关于极限计算的几点说明
1． 极限的计算，首先区分谁是变量，谁是常量，同时搞清变量的变化过程；
2． 区分极限是定型的还是未定型的。

定型的极限直接进行计算；未定型的极限，则要研究如何将其转化为定型的极限；
3． 未定型的极限转化为定型的极限方法，最基本的有四种：
（a ） 利用初等变形的方法：消去零因子，根式有理化，分离为无穷小，
变量代换，恒等变换等进行转化。

（b ） 利用两个重要极限进行转化。

（c ） 利用等价无穷小量代换
利用洛必达法则，以后讲。

例1、)1
311(lim 31+-+-→x x x 例2、若3)
1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ,b 的值。

解：当1→x 时，1~)1sin(2
2--x x ，且0)(lim 21
=++→b ax x x 10, =(1)
a b b a ++=-+
222(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)x ax b x ax a x x a x x x x x +++-+-++==--+-+
2212lim 312
4, 5
x x ax b a x a b ->+++==-==- 例3、函数),(cos +∞-∞=在x x y 内是否有界？这个函数的是否为+∞→x 时的无穷大？为什么？
解：函数),(cos +∞-∞=在x x y 内无界，但不是+∞→x 时的无穷大。

理由如下： 取数列 )3,2,1(2 ==n n x n π，当+∞→n 时，+∞→n x ，
这时 )(22cos 2)(+∞→+∞→==n n n n x f n πππ，所以这个函数无界。

取数列 )3,2,1(22 =+=n n t n π
π，当+∞→n 时，+∞→n t ，
这时 )(00)22cos()22()(+∞→→=++
=n n n t f n ππππ，
所以这个函数不是无穷大. 例4、求极限 .sin tan lim
30x
x x x -→ 解： 3030sin cos sin lim sin tan lim x x x
x x x x x x -=-→→ 220302sin 2cos 1sin lim cos )cos 1(sin lim x x x
x x x x x x x x ⋅⋅=-=→→ 2122sin lim cos 1lim sin lim 212000=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=→→→x x x x x x x x . 例5、设
⎪⎩
⎪⎨⎧≤+>=.0;0,1sin )(2x x a x x x x x f 要使函数)(x f 在内连续，应当怎样选择?a
解：因为函数)(x f 在]0,(-∞与),0(+∞内均为初等函数，所以函数)(x f 在]0,(-∞与蒙古
),0(+∞内均为连续函数。

a f x
x f a x a f x x ====+=--→+→-)0(,11sin lim )0(,)(lim )0(020
要函数在0=x 处连续，则.1),0()0()0(=∴==+-a f f f 故当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续；
从而当1=a 时，函数)(x f 在),(+∞-∞内连续。

补充作业：
1、 证明：函数x x x f sin 1)(=
在区间]1,0(上无界，但不是+→0x 是时的无穷大。

2、 )1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x
x x 。