福州固体物理第五章
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5.1 经典电子气体模型——特鲁德模型
特鲁德模型的基本假设
特鲁德对金属结构的描述：离子实和价电子 金属原子可分为原子核、内层电子和价电 子，把原子核和内层电子看成离子实，即我们常 说的金属离子，其价电子与金属离子分离并可在 固体中自由移动，形成一种电子云或者电子气。 这些可移动电子在外加电场的作用下产生一定的 电流，这些作为电子气的价电子称为导带电子。
忽略了电子与离子实之间的相互作用，认 为电子气系统的总能量为电子的动能，势能被 忽略。因此，特鲁德模型虽然可以成功说明金 属的某些输运过程，却在处理比热和磁化率等 问题上遇到了不可克服的障碍。
特鲁德模型应用实例:
(1) 电导
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子气中的导带电子在金属 中以平均速率u随机运动，并 因原子的热振动而频繁的发 生随机散射。在没有外加电 场的情况下，在任何方向上 没有净漂移
单电子本征态和本征能量
索末菲模型将问题转化为平均势场中运动的 单电子问题，每个电子所具有的状态就是一定深 度势阱中运动的粒子所具有能态，称为单电子本 征态。 取平均势能为能量零点, 电子逸出体外相当 于在一定深度的势阱中运动的粒子所具有的能量。 其运动方程类似于三维无限深势阱中运动的粒子 :
通过确定Ψ(x)描述电子的行为的基本方程称为定 态薛定谔方程。
vdx eE 1 [v x1 v x 2 v xN ] x (t t i ) N me
me
(t t i )
e v dx E x 其中τ是平均自由时间 me
vdx d Ex
式中可看出漂移速率随所加电场线性增加，其比 例常数eτ/me称为迁移率μd。这就将电子的迁移 率与它们的平均自由时间联系起来了。
传导电子在金属中自由运动，电子与电子之 间有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的 吸引力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实 的电荷抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不 存在了) 好象“凝胶”一样。这种“凝胶”的作 用纯粹是为了补偿传导电子之间的排斥作用，以 至于使得这些传导电子不至于因为彼此之间很强 的排斥作用而从金属晶体中飞溅出去，这就相当 于“凝胶”模型。
特鲁德的经典理论将自由电子看作是 经典离子气体，服从波尔兹曼分布(速度分 布)，与中性稀薄气体一样去处理，认为电 子之间无相互作用，同时也不考虑离子实 势场的作用，这样一个简单的物理模型处 理金属的许多动力学问题是很成功的。
特鲁德模型，即经典的自由电子气模型， 是建立在金属电子气体假设基础上的，利用经 典的分子运动学理论处理问题，主要包括四层 基本含意： （1）自由电子近似
忽略掉电子和离子之间相互作用的近似
（2）独立电子近似
忽略电子与电子之间的库仑排斥相互作用
（3）碰撞假设
忽略电子之间的碰撞，仅考虑电子与离子实之间的碰撞。 假设电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的， 碰撞前后电子的速度毫无关联。
（4）驰豫时间近似
设驰豫时间与电子位置和速度无关
假
特鲁德模型的缺陷：
特鲁德模型应用实例:
(2) 热导
特鲁德模型把金属电子看成经典理想气体。因 此其遵循玻尔兹曼统计规律：每个电子有3个自由 度，每个自由度对应kBT/2的平均能量。
3 u nk B T 2
CV , m u T
CV ,m 3 nk B 2
这一结论，与实验结果不相符（实际值较高温 度时3NkB，极低温度下，与T3成比例）；此外， 特鲁德模型在处理磁化率等问题上也遇到了根本性 的困难。
J x end Ex
J x Ex
end
能计算出金属的直流电导率，成功的解释了欧姆定律；
能估算出金属电子的平均自由时间（驰豫时间） 和平均自由程：
驰豫时间：
e 2 n end J x Ex me 平均自由程：
l vdx
e v dx Ex me
由此算出平均自由程约在0.1-1nm范围内，与实验相符。
在外加电场Ex的作用下，沿 x方向有一净漂移，该沿电 场力方向的净漂移加在电子 的随机运动上。经过多次散 射后，电子从其初始位置向 正端呈现一净位移△x
若uxi是x方向上第i个电子刚碰撞后的速率，由于 eEx/me是电子的加速度，其在x方向上时刻t的速 率vxi为： eEx
v xi u xi
将电子的势能和边界条件代入，求解薛定谔方 程，就能得到在稳定条件下电子的能量和概率分布。
解此方程的边界条件有两种选法： <1>固定边界条件 n (0) n ( L) 0 即电子不能跑到晶体外边去。
在固定边界条件下，薛定锷方程的解具有驻波形式， 而能量的本征值：
5.2 自由电子气体模型——索末菲模型
索末菲模型是建立在量子理论与费米统计规 律的基础上的。 索末菲模型认为传导电子不应看作经典粒子气体， 而应当看作自由电子费米气体。忽略传导电子与 离子实之间的相互作用，忽略传导电子之间的相 互作用，这种自由电子气体服从费米—狄喇克统 计规律。
索末菲模型与特鲁德模型的区别： 在特鲁德模型中，认为金属电子气体类似于 理想气体，是玻色子（如原子，离子等），遵循 玻尔兹曼统计规律。 在索末菲模型中，引入了泡利不相容原理， 认为金属电子气体是费米子（如电子、质子、中 子等），遵循费米统计规律。
一维薛定谔方程：
2 d 2 V (r ) (r ) E (r ) 2 2me dx
三维薛定谔方程：
2 d 2 d 2 d 2 ( 2 2 2 ) V (r ) (r ) E (r ) dy dz 2me dx
索末菲对金属结构的描述：平均势场中运动 的单电子问题。即忽略电子和离子实之间的相互 作用以及电子与电子之间的相互作用，忽略晶格 周期场的影响，只考虑一个电子在晶格平均场和 其它电子的的平均场中的运动。 将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在 平均势场中运动的单电子问题。在首先求得单电 子的能级的基础上，利用泡利不相容原理，将N 个电子填充到这些能级中，获得N个电子的基态。
特鲁德模型的基本假设
特鲁德对金属结构的描述：离子实和价电子 金属原子可分为原子核、内层电子和价电 子，把原子核和内层电子看成离子实，即我们常 说的金属离子，其价电子与金属离子分离并可在 固体中自由移动，形成一种电子云或者电子气。 这些可移动电子在外加电场的作用下产生一定的 电流，这些作为电子气的价电子称为导带电子。
忽略了电子与离子实之间的相互作用，认 为电子气系统的总能量为电子的动能，势能被 忽略。因此，特鲁德模型虽然可以成功说明金 属的某些输运过程，却在处理比热和磁化率等 问题上遇到了不可克服的障碍。
特鲁德模型应用实例:
(1) 电导
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子气中的导带电子在金属 中以平均速率u随机运动，并 因原子的热振动而频繁的发 生随机散射。在没有外加电 场的情况下，在任何方向上 没有净漂移
单电子本征态和本征能量
索末菲模型将问题转化为平均势场中运动的 单电子问题，每个电子所具有的状态就是一定深 度势阱中运动的粒子所具有能态，称为单电子本 征态。 取平均势能为能量零点, 电子逸出体外相当 于在一定深度的势阱中运动的粒子所具有的能量。 其运动方程类似于三维无限深势阱中运动的粒子 :
通过确定Ψ(x)描述电子的行为的基本方程称为定 态薛定谔方程。
vdx eE 1 [v x1 v x 2 v xN ] x (t t i ) N me
me
(t t i )
e v dx E x 其中τ是平均自由时间 me
vdx d Ex
式中可看出漂移速率随所加电场线性增加，其比 例常数eτ/me称为迁移率μd。这就将电子的迁移 率与它们的平均自由时间联系起来了。
传导电子在金属中自由运动，电子与电子之 间有很强的排斥力，电子与离子实之间有很强的 吸引力。Sommerfeld自由电子理论认为把离子实 的电荷抹散成一个正电荷背景(这样周期势场就不 存在了) 好象“凝胶”一样。这种“凝胶”的作 用纯粹是为了补偿传导电子之间的排斥作用，以 至于使得这些传导电子不至于因为彼此之间很强 的排斥作用而从金属晶体中飞溅出去，这就相当 于“凝胶”模型。
特鲁德的经典理论将自由电子看作是 经典离子气体，服从波尔兹曼分布(速度分 布)，与中性稀薄气体一样去处理，认为电 子之间无相互作用，同时也不考虑离子实 势场的作用，这样一个简单的物理模型处 理金属的许多动力学问题是很成功的。
特鲁德模型，即经典的自由电子气模型， 是建立在金属电子气体假设基础上的，利用经 典的分子运动学理论处理问题，主要包括四层 基本含意： （1）自由电子近似
忽略掉电子和离子之间相互作用的近似
（2）独立电子近似
忽略电子与电子之间的库仑排斥相互作用
（3）碰撞假设
忽略电子之间的碰撞，仅考虑电子与离子实之间的碰撞。 假设电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰撞实现的， 碰撞前后电子的速度毫无关联。
（4）驰豫时间近似
设驰豫时间与电子位置和速度无关
假
特鲁德模型的缺陷：
特鲁德模型应用实例:
(2) 热导
特鲁德模型把金属电子看成经典理想气体。因 此其遵循玻尔兹曼统计规律：每个电子有3个自由 度，每个自由度对应kBT/2的平均能量。
3 u nk B T 2
CV , m u T
CV ,m 3 nk B 2
这一结论，与实验结果不相符（实际值较高温 度时3NkB，极低温度下，与T3成比例）；此外， 特鲁德模型在处理磁化率等问题上也遇到了根本性 的困难。
J x end Ex
J x Ex
end
能计算出金属的直流电导率，成功的解释了欧姆定律；
能估算出金属电子的平均自由时间（驰豫时间） 和平均自由程：
驰豫时间：
e 2 n end J x Ex me 平均自由程：
l vdx
e v dx Ex me
由此算出平均自由程约在0.1-1nm范围内，与实验相符。
在外加电场Ex的作用下，沿 x方向有一净漂移，该沿电 场力方向的净漂移加在电子 的随机运动上。经过多次散 射后，电子从其初始位置向 正端呈现一净位移△x
若uxi是x方向上第i个电子刚碰撞后的速率，由于 eEx/me是电子的加速度，其在x方向上时刻t的速 率vxi为： eEx
v xi u xi
将电子的势能和边界条件代入，求解薛定谔方 程，就能得到在稳定条件下电子的能量和概率分布。
解此方程的边界条件有两种选法： <1>固定边界条件 n (0) n ( L) 0 即电子不能跑到晶体外边去。
在固定边界条件下，薛定锷方程的解具有驻波形式， 而能量的本征值：
5.2 自由电子气体模型——索末菲模型
索末菲模型是建立在量子理论与费米统计规 律的基础上的。 索末菲模型认为传导电子不应看作经典粒子气体， 而应当看作自由电子费米气体。忽略传导电子与 离子实之间的相互作用，忽略传导电子之间的相 互作用，这种自由电子气体服从费米—狄喇克统 计规律。
索末菲模型与特鲁德模型的区别： 在特鲁德模型中，认为金属电子气体类似于 理想气体，是玻色子（如原子，离子等），遵循 玻尔兹曼统计规律。 在索末菲模型中，引入了泡利不相容原理， 认为金属电子气体是费米子（如电子、质子、中 子等），遵循费米统计规律。
一维薛定谔方程：
2 d 2 V (r ) (r ) E (r ) 2 2me dx
三维薛定谔方程：
2 d 2 d 2 d 2 ( 2 2 2 ) V (r ) (r ) E (r ) dy dz 2me dx
索末菲对金属结构的描述：平均势场中运动 的单电子问题。即忽略电子和离子实之间的相互 作用以及电子与电子之间的相互作用，忽略晶格 周期场的影响，只考虑一个电子在晶格平均场和 其它电子的的平均场中的运动。 将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在 平均势场中运动的单电子问题。在首先求得单电 子的能级的基础上，利用泡利不相容原理，将N 个电子填充到这些能级中，获得N个电子的基态。