数列的单调性与周期性及应用

数列的周期性和单调性及应用

【复习目标】

1． 熟悉数列周期性和单调性的定义；

2． 掌握探究单调性的方法，能灵活应用数列单调性解决以下几类问题：

①求数列中的最大最小项；

②数列通项中参数取值范围的确定；

③数列通项之间的大小比较。

【重点难点】

数列单调性的应用意识需加强。

【典型例题】

例1（1）函数()f x 由下表定义：

若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,

n =，则2007a = ． （2）已知数列{n a }满足56*11),(1

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,0a N n a a a a n n n 则∈+-==+= （3）已知数列{}n a 满足a n+2+ a n = a n+1（n ∈N *），a 2=1，且数列{}n a 的前2005项之和为2007，则前2006

项的和=

例2（1）已知数列}{n a 是递增数列，且对于任意的自然数n ，n n a n λ+=2恒成立，则实数λ的取值范围是

（2）若不等式

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131312111a n n n n >++⋅⋅⋅++++++对一切自然数1≥n 恒成立，求自然数a 的最大值。

x 2 5 3 1 4 ()f x 1 2 3 4 5

（3）设函数)(x f y =定义域为),0(+∞，且对任意的正实数y x ,，)()()(y f x f y x f +=⋅恒成立，已知1)2(=f ，且当1>x 时，0)(>x f 。 ①求证：1)21(-=f

②一个各项均为正数的数列}{n a 满足)(1)1()()(*∈-++=N n a f a f S f n n n ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和。问是否存在正数M ，使)12()12()12(1222121-⋅⋅⋅-⋅-⋅+⋅≥⋅⋅⋅⋅⋅n n n a a a n M a a a 对一切*∈N n 均成立？若存在，求出M 的范围；若不存在，请说明理由！

（4）设数列}{n a ，}{n b 满足611==b a ，422==b a ，333==b a ，且数列)}({1*+∈-N n a a n n 是等差数列，}2{-n b 是等比数列。

①求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

②是否存在*∈N k ，使)2

1

,0(∈-k k b a ，若存在，求出k ，若不存在，说明理由。