【信息光学课件】第一章 基础-aa PDF版

f ( x) = + ∑ an cos 2 n =1 T + bn sin T
2 T /2 1 a0 = ∫ f ( x ) dx − T / 2 T 1 2π nx 2 T /2 ) dx an = ∫ f ( x)cos( − T T /2 T 1 2π nx 2 T /2 ) dx bn = ∫ f ( x)sin( − T / 2 T T
δ( x )
δ( x − x0 ) + δ ( x + x0 )
− x0
x0
表示高度集中的物理量，如质点、点电荷、点光源、瞬时电脉冲
（2）普通函数序列极限形式的定义
lim g n ( x) δ ( x) = n →∞ lim = g n ( x) 0 n →∞ ∞ g ( x)dx 1 = k ∫ −∞
δ
由此我们可以认为，今后涉及到的函数 都存在着相应的傅立叶变换，只有狭义 和广义之分罢了。
2. 极坐标系中的二维傅里叶变换
（1）定义式：
设 ( x, y ) 平面的极坐标为 (r ,θ ) ，频率平面 ( µ ,ν ) 的极坐标为 ( ρ , ϕ ) ， , dxdy rdrdθ x r= = cosθ , y rsinθ = 则有： , dµ dν ρ dρ dϕ = µ ρ = = cosϕ , ν ρ sinϕ 代入直角坐标系中的傅里叶变换定义式，并令
x ≤1 x >1
-1 1
tri(x)
或者
x 0 1
−1 ≤ x ≤ 0 0 ≤ x ≤1 其他
曲线下面积为1，表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数
（4）符号函数

记为：
sgn ( x )
1
sgn(x)
x

定义：
0
1 sgn( x) = 0 −1
x>0 x=0 x<0
-1
与某函数相乘使其极性翻转
π
3 2
普哇松积分
∫
∞
0
exp ( −a 2 x 2 )dx = 2a
= δ ( x) lim 所以可定义：
n
n2 = 20
n2 = 4
n →∞
π
exp(−n 2 x 2 )
-1 -0.5
1
0
0.5
1
3.广义函数的定义：
δ
函数是一个广义函数。 设一个检验函数 有：
+∞
φ（x, y）并在原点处连续
−∞
2π nx Tn + jbn ) exp − j + (a T 2
令
于是，傅里叶级数可以表示为复指数函数的形式： 频率的取值是离
n f ( x) = ∑ cn exp( j 2π x) T n = −∞
∞
a0 1 1 ∗ , cn = c0 = cn= ( an − jbn ) , c− n = ( an + jbn ) 2 2 2
x − x0 1 ≤ x − x0 1, )= rect ( 2 a a 0, 其它 x − x0 rect ( ) a
1
x
（2）sinc 函数

定义：
sinc( x)
sinπ x sinc ( x ) = πx
曲线下面积为1，中央主瓣宽度为2，旁瓣宽度为1 表示单缝夫琅和费衍射的复振幅
1.2.1. 一维δ函数 1. 2.2. 一维梳状函数 1. 2.3. 二维δ函数和梳状函数 1. 2.4. 贝塞尔函数

1.2.1 δ函数和梳状函数 1. 一维δ函数的定义
x≠0 0 δ ( x) = ∞ x= 0 (1)分段函数形式定义 ∞ （类似普通函数形式的定义） δ ( x)dx = 1 ∫−∞
第一章 线型系统分析
光学系统
输入信号
输出信号
线性
非线性

§1－1 常用非初等函数
在函数论中，将幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数和反三角函数称为基本初等函数。而初 等函数则是指在自变量的定义域内，能用单一解 析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运 算和复合所构成的函数。 非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单 一解析式表示的函数
n =-∞
∑ δ ( x - n)
+∞
comb( y ) =
n =-∞
∑ δ ( y - n)
+∞
§1.3 傅里叶变换的基本概念及运算
1.3.1 傅里叶级数及频谱的概念
1 傅里叶级数的定义
设 f（x）是周期为 T 的周期函数，满足狄里赫利条件， 于是 f（x）可展开为三角级数： a0 ∞ 2π nx 2π nx
2
2
（7）高斯函数 Gaus ( x )

定义：
2
1.0 0.8
Gaus (x)
( x) exp(−π x ) Gaus=
-2
-1
0.6 0.4 0.2
0.50
0.043
0.47
1.48
2
各阶导数连续，是平滑化函数，其傅里叶变换仍然是高斯 函数。描述激光器发出的高斯光束
§1.2 光学中常用特殊函数
∫ ∫ δ ( x, y)φ（x, y）dxdy = φ (0,0)
不同形式的函数，只要它在积分中的作用和上式相 同，就可认为它们与 δ ( x, y ) 相等。
1.2.2一维 δ 函数的性质
（1）积分性质
积分： 筛选性质： 推论：
∫ ∫
∫
∞
−∞ ∞
∞
δ ( x)dx = 1
−∞
δ ( x) f ( x)dx = f (0)
(n为正整数) x≠0 x∈ n k ∈n
以高斯函数序列为例
g n ( x) = 设： n
π
exp( − n 2 x 2 )
→∞
lim
n
π
0 exp(−n 2 x 2 ) =
2 2
x≠0
5 4
n2 =100
∫
∞
n
−∞
π
x exp(−n x )d=
2n
π
∫
∞
0
x 1 exp(− n 2 x 2 )d=
δ ( x − x0 ) f ( x) = δ ( x − x0 ) f ( x0 )
m = −∞
∑
∞
f (m)δ = ( x − m) f s ( x )
将连续分布的函数变为离散分布函数，实现了对函数的抽样
二维梳状函数
comb( x, y ) = comb( x)comb( y )
式中：
comb( x) =
−∞
∞
(2) 可分离变量函数的二维傅里叶变换：
有一类二元函数具有可分离变量性质，即
f ( x, y ) = f1 ( x) f 2 ( y )
其二维傅里叶变换可表示为两个一维傅里叶变换的乘积：
F ( µ ,ν ) = ∫ f1 ( x)exp(− j 2πµ x)dx ∫
−∞ ∞ ∞ −∞
f 2 ( y )exp(− j 2πν y )dy
左端：
右端：
1 a
1 δ ( x ) dx = ∫ a −∞
+∞
（3）可分离变量性质
δ（x, y） = δ ( x)δ ( y )
（4）与普通函数的乘法性质：

若f（x）在 x0 点连续，则：
δ ( x − x0 ) f ( x) = δ ( x − x0 ) f ( x0 )

推论：
0 δ ( x)δ ( x − x0 ) = 无定义

1 设a为实常数，则有： δ (ax) = δ ( x) a
证明：利用函数的积分性质比较上式左右两端 对g（x）的积分作用。 推论：


x δ = a δ ( x) a
δ (− x) = δ ( x)
∫
∞
−∞
δ ( x)dx = 1
1 +∞ 1 ax dax a = > （ ） , 当 0 时 δ ∫ +∞ a a -∞ ax dx = （ ） δ ∫ +∞ 1 -∞ − 1 δ（ax） − = − < , 当 0 时 d ax a ∫ a a -∞
δ ( x ± x0 )dx = 1
−∞
筛选性质：
若
∫
∞
−∞
∞
δ ( x ± x0 ) f ( x)dx = f ( x0 )
f ( x ) 定义在
区间
( a, b )
f ( x0 ) a < x0 < b ∫−∞ δ ( x − x0 ) f ( x)dx = 其他 0
（2）坐标缩放性质：
= F1 ( µ ) F2 (ν )
上式表明，二元可分离变量函数的傅里叶变换也是二元可分 离变量函数。应用这一性质可简化运算。
（3）存在条件： 从应用的角度指出以下两点：
1.傅立叶变换总是存在的。-------作为时间和 空间函数而实际存在的物理量，总具备保证 其傅立叶变换存在的基本条件。物理上的可 能性是保证傅立叶变换存在的充分条件。
−∞
∞
筛选性质：

∫
∞
−∞
comb( x) f ( x) dx =
1 a
m = −∞
∑
∞
f ( m)
m ) a
缩放性质： 平移性质： 乘法性质：
comb = (ax)
m = −∞
∑
1 a
∞
δ (x −
∞

comb(ax = − x0 )
m x0 δ (x − − ) ∑ a a m = −∞

f ( x)comb = ( x)
1.3.2 二维傅里叶变换 1. 直角坐标系中的二维傅里叶变换
满足狄离赫利条件 (1) 二维傅里叶变换的定义： 设 f ( x, y ) 是定义在 ( x, y ) 平面的空间函数，它的傅里叶变换 存在，并用空间频率平面的二维函数 F ( µ ,ν ) 表示，于是有：
= F( µ ,ν )
∫∫
∞
当x0 ≠ 0 当x0 = 0
1.2.3.一维梳状函数 comb ( x )

（1）定义:
comb = ( x)
∑δ ( x − m)
−∞
∞
comb( x)
1
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
… x
间隔为1的 δ 函数无穷序列，表示光栅常数d＝1的一 维细缝光栅的复振幅透射系数
= ( x) ∑δ ( x − m) （2）梳状函数的性质： comb
sinc 函数
sinc 2 ( x)
2

定义：
2 2
sin (π x) sinc ( x) = (π x) 2
表示单缝夫琅和费衍射的强度分布
（3）三角函数

1 − x tri ( x) = 0
1 + x tri ( x= ) 1 − x 0

表示为 定义：
tri ( x ) 或Λ(x)


1.1.1 标准形式的一维非初等函数
（1） 矩形函数 又称为门函数，表示为 rect x 或 Π x 定义： x < 1/ 2 1 x = 1/ 2 rect ( x) = 1/ 2 0 x > 1/ 2

( )
( )
-1/2
rect(x)
1
x O 1/2
曲线下面积为1，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率
f ( x, y )exp[− j 2π ( µ x + ν y )]dxdy
−∞
F ( µ ,ν ) 称为 f ( x, y ) 的空间频谱。通过对 F ( µ ,ν ) 的二维傅里叶逆
变换可恢复原函数 f ( x, y ) 。
= f ( x, y )
∫ ∫ F (µ ,ν )exp[ j 2π (µ x +ν y)]dµdν
（5）阶跃函数

定义：
1 step( x) = 1/ 2 0
x>0 x=0 x<0
step(x ) 1 x 0
表示刀口或直边衍射物体或开关信号等
（6）圆柱函数
1 circ(r ) = 1/ 2 0
Circ (r)
1 y
r <1 r =1 r >1
x O 1
描述均匀照明圆 2 2 x + y 1, x + y < a 形孔径的透射系 )= circ( 数 a 0, 其它
其中傅里叶系数：
应用欧拉公式,傅里叶级数可改写为： a0 ∞ 2π nx 2π nx a0 ∞ 1 sin 1 + ∑ an cos 2πnx + bn f ( x) =
f ( x) = + ∑ ( a jb T 2n −n = j 1 n ) exp T 2 n =1 2
2.在应用问题中也会遇到一些理想化的函数， 例如，余弦函数，阶跃函数以至最简单的函 数等。不满足傅立叶变换存在的充分条件； 它在物理上也是不可能严格实现的。对这类 函数难以讨论其经典意义下的傅立叶变换， 然而借助函数序列极限概念或 函数性质 可以得到这类函数的广义傅立叶变换。这种 广义傅立叶变换不仅在理论上自恰，而且在 应用上也能给出符合实际的结果。
散的，所以周期 函数只有离散谱
其中傅里叶系数：
1 1 T /2 n ( ) ( 2 cn = ( an − jbn ) = f x exp − j π x ) dx ∫ / 2 T − 2 T T
将周期 T 的倒数
µ=
1 1 称为函数 f（x）的基频，表示为 ∆µ = ，而 T T
n = n ∆µ 称为 f（x）的谐频，或简称为频率。 T