压杆

压杆稳定

1．图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E ＝200Gpa ，试用欧拉公式计算其临

界载荷。 (1) 圆形截面，d=25mm,l =1.0m ；

(2) 矩形截面，h ＝2b ＝40mm ，l ＝1.0m ；

(3) No16工字钢，l ＝2.0m 。

解：求各杆的临界压力Pcr

(1)圆形截面杆：

∵两端球铰 μ=1，

()()

KN l EI P d I cr 8.3711109.110200 m 101.9 642

8

922214

8-4

=⨯⨯⨯⨯==∴⨯==-πμππ (2)矩形截面杆：

∵两端球铰 μ=1， 又∵Iy

()()

KN l EI P h I y cr y 8.3711106.210200 m 106.212 b 2

8922214

8-3=⨯⨯⨯⨯==∴⨯==∴-πμπ(3) No16工字钢杆：

∵两端球铰 μ=1， 又∵Iy

()

()

KN l EI P y

cr 45921101.9310200 2

8

922

21=⨯⨯⨯⨯=

=

∴-πμπ

2．图示桁架，由两根弯曲刚度EI 相同的等截面细长压杆组成。，设载荷F 与杆AB 的轴线的夹角为θ，且0<θ<π/2，试求载荷F 的极限值。

解：由铰B 的平衡可得

θtg P P 12=

由已知条件可知，

z

1

60212

121012=====μμI I E E tg l l

AB 和BC 皆为细长压杆

2

2

222

1

21 l EI

P l EI

P cr cr ππ=

=

欲使F 为最大值，则两杆需同时达到临界值，即

3

1

31

60)(022211212arctg

ctg l l tg P P tg P P cr cr cr cr =∴=====θθθ

由铰B 的平衡得

2222111

3104310)2

(310cos cos a EI a EI P P F P F cr cr cr ππθθ=

⋅===∴=

3. 三根圆截面压杆，直径均为d =160 mm 材料为Q235钢，E =200 GPa ，σp =200 MPa ，σs =240

MPa 。三杆均为两端铰支，长度分别为l 1、l 2和l 3，且l 1=2l 2=4l 3=5m 。试求各杆的临

界压力P cr 。 解：(1) 求柔度极限值

查表得Q235钢：a = 304MPa, b

= 1.12MPa

12

30424099.3 571.12

S a b σλλ--====== (2) 求各杆的临界压力P cr

1杆：

()()

1

(1)1

44

54

2295

(1)22

15

1250.16/40.16 3.2210 6464

20010 3.22102542 15cr l i d I m EI P kN l μλλππππμ--⨯=

=

=⨯===⨯⨯⨯⨯⨯===⨯ 2杆：

2

2

(2)(1)1

2

(2)1

(2)62(2)62.5304 1.1262.5234 1

234100.164705 4

cr cr cr l l i

l a b MPa P A kN

μλλλλλσλσπ==⨯

=∴=-=-⨯===⨯⨯⨯⨯=

3杆：

3

3

(3)(1)2

1

62(3)31.251

240100.164825 4

cr s

cr S l l i

l P A kN

μλλλσσσπ=

=⨯

=∴=∴==⨯⨯⨯⨯=

5． 图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l ＝300mm ，截面宽度b ＝20mm ，

高度h ＝12mm ，弹性模量E ＝70Gpa ，λp ＝50,λo ＝50，中柔度杆的临界应力公式为

σcr ＝382MPa – (2.18 MPa)λ

试计算它们的临界载荷，并进行比较。

解：(a)

(1)计算压杆易弯曲平面的柔度：

∵i y < i z ∴求λy

由支持方式： μ=2

2.173012

.03

.02121212

1213

=⨯⨯==

=

===

h l i

l

h bh bh

A I i y μμλ

(2)判别压杆的性质并计算临界力

p y λλ

(b) (c)

(a) A –A

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr a cr 53.5012.002.02.17310702

9

222)

(=⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅=πλπσ

(b)

(1)计算压杆易弯曲平面的柔度： ∵i y < i z ∴求λy

由支持方式： μ=1

6.86012

.03

.011212=⨯⨯==

=

h l i

l

y μμλ (2)判别压杆的性质并计算临界力

p y λλ

压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

kN A E A P cr b cr 1.22012.002.06.8610702

9

222)

(=⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅=πλπσ

(c)

(1)计算压杆易弯曲平面的柔度： ∵i y < i z ∴求λy

由支持方式： μ=0.5

3.43012

.03

.05.01212=⨯⨯==

=

h l i

l

y μμλ (2)判别压杆的性质并计算临界力

p o λλλ

压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力

()kN A b a A P cr c cr 0.6912.002.010)3.4318.2382(6)(=⨯⨯⨯⨯-=-=⋅=λσ

)()()(c cr b cr a cr P P P <<∴

6． 图示压杆，截面有四种形式。但其面积均为A ＝3.2×10mm 2， 试计算它们

的临界载荷，并进行比较。材料的力学性质见上题。

(a)

(b)

(c)