定子线圈端部的曲线方程的推导以及计算方法

为 了 方 便 导 出 平 面 坐 标 系 和 立 体 坐 标 系 的 对应 关 系 ， 们 选取 极 坐标 系为平 面 坐标 系 ， 我 选
取 圆柱 坐 标 系 为 立 体 坐 标 系 。并 且 规 定 ， 面 极 平
的距 离相 等 ， 间隙均 匀 ， 而达 到 了渐 伸线 端部上 每 从 点 的切线 与线棒 间的 电动 力 垂 直 ， 机 械 强度 好 的 其
曲成 锥 面后 的立 体 坐 标 系 的对 应 关 系 ， 出线 圈端 导 部 曲线 的参 数方 程 。
一
图 １ 柱坐标系下 的锥面
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定子线圈端部 的曲线方程的推导 以及计算 方法
在 图 １中 ， 点 的 坐 标 为 （ ， ， ） 即 ： Ｏ。＝ｚ Ａ Ｐ ０ｚ任一 点坐标 为 （ ０ ） 弯 曲成锥 Ｐ ， ， 面后 的圆柱坐 标为 （ ， ，） 该 锥 面 的锥 角为 ‘ ， Ｐ０ ｚ ， Ｐ 如 。
图 １ 所示 。
维 的平 面 上 画 出渐 开 线 已经 有 了 比较 成 熟 的计 算 方 法 ， 是 在 锥 面 上 画 出 渐 开 线 就 比较 困难 了 。 但
ｏ
图 ３ 平 面极 坐标 系 下的 圆
？ ＝ １ｓ （ｏ ０ ０／ｉ ） ｎ
【 Ｊ ×ＣＳ ０ Ｄ Ｏ（ ） ｌ
（） １
我 们定 ／Ａ ／为该 圆的变 参 ， 围为 ０— 盯， Ｏ Ｂ＝３ 范 ２ 则 对 于该 圆上 任 一点 Ａ， 根据 余 弦定 理 ， 我们 有 ：
Ｐ＝ ＋ ２ ｒｏ （ ） ｒ 一 ｐｃ ｓ 仃一
在直 角 △Ａ Ｏ 中 ， Ｂ 有
ｔ （ ａ ／ＡＯ ｎ Ｂ）＝Ａ ／ Ｏ １ ｌ ） 即 Ｂ （ Ｏ ＋Ｏ Ｂ ，
ｔ０）Ｐ ｓ ａ －＝＋ ｎ ｓ寿ｒｏ． （ Ｘ （ ｃ ／ ４ ） ＝ 一｛×Ｓ ） ｔ ＋ ， ａ （ Ｃ ｎ＼ ｒＯ ＋ Ｐ — ｓ
到三维锥 面上 时， 其二维坐标与三维坐标 间的对应关 系。根据这些关 系， 可以计算 出三维渐伸线上 任一 点的坐标 ， 并可以在三维建模软件内可以直接导入 坐标 以形成路径 曲线 ， 并利用扫描的方法直接 生成定 子线 圈的三维模 型。该方法为定子线 圈的设计计算及线 圈的模具设 计提供 了更精 确的参考 依据 ， 同时 为定 子线 圈的建模提供 了更为通用和简单 的方法 。 关键 词 ：定子线 圈； 渐伸线 ； 曲线方程 ； 三维模 型
由此 ， 只要 有 平面极 坐标 的数 据 ， 就可 以直 接生 成 三
维柱 坐标 系 的数据 ， 进 一 步 转 化 成 三 维笛 卡尔 坐 在 标 即可 。
Ｐ＝ ３ 平 面极 坐标 系下的 渐开 线 以及 圆的 参数 方程
＋ ２ ｒｏ （ ） ｒ ＋ ｐｃｓ ｆ １
（） ３
目的 。
坐标 系 弯 曲成 锥 面时 ， 轴 的投影 位置 不 变 ， 极 即
立 体 坐 标 系 的 极 轴 与 原 平 面 坐 标 系 的 极 轴 方 向
一
随 着 三维 Ｃ Ｄ技术 和 Ｃ Ｅ技 术 的发 展 ， 伸 Ａ Ａ 渐 线 式线 圈 的建 模 问题 一 直 困扰 着 设 计 人 员 。在 二
本 文在 平 面 渐 开 线 画 法 原 理 的 基 础 上 ， 出 了 把 提
平 面 图形 弯 曲成 锥 面 后 彼 此 间 的对 应 关 系 ， 进 并
一
步 总结 出了锥 面渐 开线 的参 数 方 程 。利 用 该 方
程 ， 以直 接 得 到 整 个 线 圈 端 部 的 三 维 坐 标 点 数 可 据 。 目前 大 部分 的三 维 建 模 软 件 都 可 以 导 人 坐 标 点 数据 生 成 曲线 ， 因此 该 方 法 不 受 建 模 软 件 的 限
制 ， 以方 便 的利 用 自己熟 悉 的 建 模 软 件 建 立 定 可
子 线 圈 的三 维模 型 。 定 子线 圈的端部 曲线 在平 面展 开后 由一段 渐开
线 以及两 段 圆弧 相切 连 接 而 成 。 因此 ， 文从 渐 开 本
线 以及 圆弧 的参 数 方程 入 手 ， 合 平 面 坐标 系于 弯 结
／Ａ １ Ｏ Ｂ＝０ Ｏ Ａ ＝Ｐ 锥 角 （ ，１ ， ｐ ０＝Ｏ Ｂ＝ Ｏ Ｏ 显 １ Ｏ ｌ Ａ，
下 面 我 们 要 推 导 平 面 极 坐 标 系下 圆 的 参 数 方
程 。如 图 ３所示 的圆 ， 平 面极 坐 标 系下 的 圆心 Ｏ 在 的坐标 为 （ Ｓ ， Ｐ，） 圆的半 径 为 ｒ 具体 见 图 ３ ， 。
上海 大中型电机
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定 子 线 圈端 部 的 曲线方 程 的推 导 以及 计 算 方 法
李 亭， 彭 攀
（ 上海 交通 大 学机 械 与动力 工程 学院 ， 上海 电机厂 有 限公 司， 上海 ２０４ ） ０２０
摘
要 ：对渐伸线线 圈的端部轨迹 的三维坐标计算方法进行 了研究。提出了二维平面上 的渐开线 缠绕
１ 前 言
．
２ 平面 坐标 系与 弯 曲成 锥 面 后 的 立体 坐 标 系 的对
应关 系分 析
采用 渐伸线 式端 部 的定 子线 圈广 泛用 于各类 汽 轮 发 电机 及高速 同步 电动 机 中。它利 用 了不 同起 始 角 的渐 开线 间距 一 致 的特 性 ， 得 每 个 线 圈边 之 间 使
Ａ
然 ， Ｂ间 的 弧 长 在 弯 曲 成 锥 面 后 没 有 变 化 。 所 Ａ
以有 ：
Ｐ１× ０ ｌ＝ｐ × ０
另外 ， 在三 角形 Ｏ Ｏ Ａ中 ， 有
Ｐ＝ １ ｉ（ ） ｐ ×ｓ ０ ｎ
２ Ｊｌ Ｏ （ ） Ｄ ＸＣ Ｓ ｏ
由上述 三式 即可 导 出 ： 维 坐 标 系 转 换 到 三 维 坐 标 二 系 的对应 关 系为 ： ｒ ｐ ×ｓ （ ） ｐ ｌ ｉ 。 ｎ