运筹学课件第八章 图与网络分析

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1
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2 3
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四、一笔划问题
1、次：图中的点V，以V为端点的边的个数，称为V的 次，记为d(V)。 2、定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数的两 倍，即设q边数，则Σd(vi)=2q ，其中viV 3、奇点：次为奇数的点。否则称为偶点。 4、任一图中，奇点的个数为偶数。 5、一笔划： 可以一笔划：没有或仅有两个奇次点的图形 如没有奇次点：任取一点，它既是起点又是终点。 两个奇次点：分别选为起点和终点。
二、连通图
1、链：给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列 (vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足 eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k-1)，则称为一条联结vi1和 vik的链，称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。 2、圈：链(vi1,vi2,…,vik)中，若vi1=vik,，则称之为一 个圈。 3、简单链：若链(vi1,vi2,…,vik)中，点 vi1,vi2,…,vik都是不同的，则称之为简单链。 4、连通图：图G中，若任何两个点之间，至少有一 条链。
定理1 可行流f*是最大流的充要条件是不存 在关于f*的最大流。 若f*是最大流，则网络中必存在一个截集 (V1*,V1*)，使得 v(f*)= C(V1*,V1*) 定理2 任一网络D中，从vs到vt的最大流的流 量等于分离vs，vt的最小截集的截量。
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3）求最小树的方法：
方法一(避圈法) 开始选一条最小权的边，以后每一步中， 总从未被选取的边中选一条权最小的边，并使之与已选取 的边不构成圈。 方法二(破圈法) 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。 在余下的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为 止，这时的图便是最小树。 例 用破圈法求下图的最小树 4 3 2 1 2
v2
2 v1 -3
4
v6 -3 2 4
v5
3 v8
-2 v 3 5 6 4
v4
-1
v7
7
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wij
v1 0 2 5 v2 0 -2 v3 0 v4 4
v5 v6 -3 4 6 0 0 7 -3 0 2 3
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d(t)(v1,vj)
0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 2
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五、有向图
1、无向图：G（V，E）点集+边集
2、弧：点与点之间有方向的边，叫做弧。 弧集：A={a1,a1,…,am} 3、有向图：由点及弧所构成的图，记为D=(V,A)，V,A 分别是D的点集合和弧集合。
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所 有弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
式中v(f)称为这个可行流的流量，即发点的净输出量 （或收点的净输入量）。
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最大流问题：求一流{fij}满足 0 fijcij v(f) fij–fji= 0 –v(f) i=s i s， t i=t
且使v(f)达到最大。
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3、增广链
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第二节 最短路问题
一、引例：
如下图中V1：油田，V9：原油加工厂
求使从V1到V9总铺路设管道最短方案。
V7 6 4 V8 2 V9 4
6
V4 4 2 V5 3 V2
2
V6 4 V3
4
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V1
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二、最短路算法
1、情况一： wij≥0(E.W.Eijkstra算法) 原理：Bellman最优性定理 方法：图上作业法（标号法） 标号：对于点,若已求出到Vi的最短值，标号（αi,βi) αi ：表示到的最短路值 βi:表示最短路中最后经过的点 标号法步骤： 1）给V1标号(0, Vs) 2）把所有顶点分成两部分,X：已标号的点；X’未标号的点 考虑与已标号点相邻的弧是存在这样的弧（ Vi ，Vj ）, Vi ∈ X, Vj ∈ X’若不存在，此问题无解，否则转3） 3）选取未标号中所有入线的起点与未标号的点Vj进行计 算:min{αi + wij}= αj 并对其进行标号(αj, Vi)，重复2）
第1年 购买费 使用年数 维修费 13 0-1 8 第2年 14 1-2 10 第3年 16 2-3 13 第4年 19 3-4 18 第5年 24 4-5 27
[解]设以vi(i=1,2,3,4,5)表示“第i年初购进一台 新设备”这种状态，以v6表示“第5年末”这种状态； 以弧(vi, vj)表示“第i年初购置的一台设备一直使用到 第j年初”这一方案，以wij表示这一方案所需购置费 和维护费之和。
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6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中 的一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图 G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个点 弧交错序列是D的一条链。
7、路：如果(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D 中的一条链，并且对t=1,2,…,k-1，均有 ait=(vit,vit+1)，称之为从vi1到vik的一条路。
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(0，V1) v2
32 63
(44, v4 27
37 (78,V3)
21 (0，Vs) v1 31
22
44 45
89
62 24 47 v3 (31, V1) 34 32 v5 (62,V1)
v6
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第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧 上的容量，问：该网络的最大流量是多少？ v1 3 1 v3
4 vs 3
v2
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3
2 2 2 vt
4 v4
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一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条 弧(vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。 这样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。 网络的流：定义在弧集合A上的一个函数f={f(vi,vj)}， 称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量，简记fij 。
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三、树
1、定义：一个无圈的连通图称为树。 2、树的性质： 1）图G是树的充分必要条件是任意两个顶点 之间恰有一条链。 2）在树中去掉任意一条边则构成一个不连通 图，不再是树；在树中不相邻的两点之间 添加一条边，恰好形成了一个圈，也就不 再是树。 3）树中顶点的个数为P，则其边数必为P-1。
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3、支撑树：设图T=(V,E’) 是图G（V，E）的 支撑子图，如果图T=(V, E’) 是一个树，则 称T是G的一个支撑树。 4、寻找支撑树的方法 1）破圈法：在图中任取一个圈，从圈中去掉 任一边，对余下的图重复上述操作，即可 得到一个支撑树。 2）避圈法：每一步选取与已选的边构不成圈 的边，直到不能继续为止。
给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧， 使fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0的弧称为非零流弧。 若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定 义链的方向是从vs到vt，则链上的弧被分成两类：
前向弧：弧的方向与链的方向一致
后向弧：弧的方向与链的方向相反
…….
V1到Vj中间最多经过t-2个点 终止原则： 1）当P1j（k）= P1j（k+1）可停止，最短路P1j*= P1j（k） 2）当P1j（t-1）= P1j（t-2）时，再多迭代一次P1j（t） ，若P1j（t） = P1j（t-1） ，则原问题无解，存在负回路。
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例： 求下图所示有向图中从v1到各点的 最短路。
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=6
2
2
5 0 0 -3 -3 -3
0 -3 -3 -3
6 11 6 0 2 0
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6
3 6
3
6
3
6
v7
v8
14 9 9 15 10 10 10
说明：表中空格处为+。
例 设备更新问题
制订一设备更新问题，使得总费用最小
§1.图的基本知识
一、图
1、图：由一些点及一些点的连线所组成的图形。 若V={V1,V2,…, Vn}是空间n个点的集合 E= { e1,e2,…, em}是空间m个点的集合 满足1)V非空 2)E中每一条线ei是以V中两个点Vs,Vt为端点 3)E中任意两条线之间除端点之外无公共点. 则由V、E构成的二元组合G=(V， E)就是图。 2、子图：已知图G1（V1，E1）若V1 V， E1 E 则称图G1（V1，E1）是图G=(V， E)的子图 3、若在图G中，某个边的两个端点相同，则称e是环。 4、多重边：图中某两点之间有多余一条的边，称之为多重 边。 多重图：含有多重边的图。 5、简单图：无环、无多重边的图。 2018/10/22 运筹学
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5、最小支撑树
1）赋权图：给图G=(V,E) ，对G中的每一条边 [vi,vj]，相应地有一个数wij，则称这样的图G为赋 权图，wij称为边[vi,vj]上的权。 2）最小支撑树：如果T=(V,E’) 是G的一个支撑树， 称E’中所有边的权之和为支撑树T的权，记为 w(T)，即 w(T)=Σ wij (vi,vj)∈T 如果支撑树T*的权w(T*)是G的所有支撑树的权中最 小者，则称T*是G的最小支撑树(简称最小树) w(T*)=min w(T) T
8、回路：若路的第一个点和最后一点相同，则称 之为回路。
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六、图的矩阵表示
1、网络（赋权图）G=（V，E），其边（vi,vj）有权wij, 构 造矩阵A=（aij）n×n,其中： wij（vi,vj）∈E 0 其他 称矩阵A为网络G的权矩阵。 2、对于图G=（V，E）， ∣V ∣=n,构造一个矩阵A= （aij）n×n,其中： wij（vi,vj）∈E 0 其他 称矩阵A为网络G的权。
截集是从vs到vt的必经之路。 定义5 给定一截集(V1,V1)，把截集(V1,V1) 中所有弧的容量之和称为这个截集的容量(截量), 记为C(V1,V1)。 v(f) C(V1,V1)
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若对于一可行流f*，网络中有一截集 (V1*,V1*)，使得v(f*)= C(V1*,V1*)，则f必是最大 流，而(V1*,V1*)，必定是容量最小的截集，即最 小截集。
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这样，可建立本例的网络模型。于是，该问题就 可归结为从图中找出一条从v1到v6的最短路问题。
用Dijkstra标号法，求得最短路为 v 1 v 3 v 6 即第一年初购置的设备使用到第三年初予以更新， 然后一直使用到第五年末。这样五年的总费用最 少，为78。
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2、情况二： wij≤0
设从V1到Vj(j=1,2,…,t)的最短路长为P1j V1到Vj无任何中间点 P1j（1）= wij V1到Vj中间最多经过一个点 V1到Vj中间最多经过两个点 P1j（2）= min{ P1j（1）+wij} P1j（3）= min{ P1j（2）+wij} P1j（t-1）= min{ P1j（t-2）+wij}
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2、可行流与最大流
定义2 满足下列条件的流称为可行流：
1) 0 fijcij
2)平衡条件：中间点 发点vs
fij = fji (vi,vj)A (vj,vi)A
fsj – fjs=v(f) (vs,vj)A (vj,vs)A
收点vt， ftj– fjt= –v(f) (vt,vj)A (vj,vt)A
全体+
全体—
定义3 设f是一可行流，是从vs到vt的一条链， 若满足下列条件，则称之为（关于流f的）一条 增广链： 在弧(vi,vj)+上，0fij<cij 0<fijcij 2018/10/22 在弧(vi,vj)—上， 运筹学
4、截集与截量
定义4 给定网络D=(V,A,C)，若点集V被 剖分为两个非空集合V1和V1，使vsV1， vtV1，则把弧集(V1,V1)称为是（分离vs和vt的） 截集。