2760-动态经济学01

〖数理经济学〗
董志勇
经济学院
第10讲 动态经济学（1） 动态分析：其目的是探寻和研究变量的具体时间路径，或者是确定在给定的充分
长的时间内，这些变量是否会趋向收敛于某一（均衡）值。

动态分析的一个显著特征是确定．．变量的时间．．，这就把时间．．
因素明确纳入分析范围。

有两种方式可以做到这一点：我们可以将时间视为连续．．
变量，也可以将其视为离散．．变量。

在前一种情况下，变量在每一时点．．
都要发生某些变化（如在连续计算复利时那样）；而在后一种情况下，变量仅在某一时段内．．．
才发生某些变化（如仅在每六个月末才计入利息）。

这两个不同的时间概念在不同的内容中各具优势。

第一节 动态学与积分
一般而言，静态模型中的问题是要求满足某些特定均衡条件的内生变量的值。

把静态学应用于最优化模型时，任务变成求使目标函数最大化（或最小化）的选择变量的值――而一阶条件充当均衡条件。

与此相对照的是，动态模型涉及的问题是，在已知变化模式的基础上（比如，给定瞬时变化率），描述某些变量的变化时间路径。

例：假设已知人口规模H 随时间以速率 1/2dH t dt
-= （10.1） 变化。

则我们要求的是：人口()H H t =的何种时间路径可以产生（10.1）的变化率？
我们现在面临的问题是要从已知的导数．．求出原函数．．．。

在数学上，我们现在需要与微分学完全相反的方法，这种方法称作积分法．．．或积分学．．．。

下面我们将对其进行研究。

我们知道:1/2()2H t t =确实有形式（10.1）的导数，因此显然可以作为问题的解。

但还存在类似的函数，如1/2()2H t t =+10或1/2()2H t t =+90，更一般地，
1/2()2H t t =+c (c=任意常数) （10.2）
他们均与（10.1）有完全相同的导数。

这样就不能确定唯一的时间路径，除非常数值c 能以某种方式确定下来。

为此，模型必须以所谓初始条件．．．．或边界条件．．．．的形式，引入额外的信息。

如果我们知道初始人口(0)H （即H 在0t =）时的值，假设(0)H ＝500，则常数c 的值就可以确定了。

令（10.2）中的0t =，得到
则500c =
更一般地，对于任意给定初始人口(0)H ，时间路径将为
人口问题的例子虽然简单，但却揭示了动态经济学问题的实质：给定变量随时间变化的行为模式，设法求出描述变量时间路径的函数。

在此过程中，我们将遇到一个或多个任意常数，但我们若有充分的形式为初始条件．．．．
的额外信息，就有可能确定那些任意常数的值。

相对简单的问题，比如上面给出的例子，解可用积分方法求出。

积分时一种由已知导函数反求原函数的方法。

在更复杂的情况中，我们可以借助于微分方程．．．．的方法。

第二节 不定积分、定积分和广义积分
2.1 不定积分
我们讲一元函数的微分运算，就是由给定的函数求出它的导数或微分。

但在研究许多问题的时候，往往需要解决和微分运算正好相反的问题，就是函数的导数已知，而要求这个函数，这种运算就叫做求原函数，也就是求不定积分。

我们把函数()f x 的原函数的一般表达式称为()f x 的不定积分．．．．
，记为⎰()f x dx ⎰。

这里，()f x 称为被积函数．．．．
，“⎰”称为积分号．．．。

于是我们便可以写出
()()()()d F x f x f x dx F x c dx
=⇒=+⎰ 其中c 为任意常数。

2.2 定积分
在实践中我们经常要计算这样或那样的量。

例如，要计算一个由曲线围成的图形的面积，要计算一个几何体的体积，要计算一个密度不均匀的物体的质量等等。

以计算曲边梯形面积为例，所要计算的图形可以实很不规则的，怎么办？退一步，先求近似值。

例如，若我们试图度量由曲线()y f x =和横坐标轴围成的，位于定义域中a
和b 两点的面积S （图10-1）.首先，还是求近似值，将区间n [],a b 划分为n 个子区间（长度可以不相等。

在下图中每个矩形的高度等于函数在该矩形中可达到的最大值，第i 个矩形块的高度为()i f x ，宽为i x V 。

我们记这组矩形的总面积为S *，则
它显然不是我们要求的曲线下面的面积，只是曲线下面积的一个近似而已。

S 的真实值与S *的差别在于矩形块中未加阴影的部分；这部分使S *大于S 。

但是如果n 趋于无限大时，i x V 无限缩小，这样就可以缩减矩形块的面积S *并使其趋于S 。

在极限的情况下就是1lim ()lim n
i i n n i f x x S S *→∞→∞===∑V
2.3 广义积分
某些积分被称作“广义积分”。

我们将简要讨论其中的两种类型。

无穷极限积分
当我们有形如()a f x dx ∞
⎰和()b f x dx -∞⎰的定积分，其中有一个积分限是无
穷大时，则我们称此积分为广义积分．．．．。

在这种情况下，不能象如下方式分别计算积分()()F F a ∞-和()()F b F --∞，因为∞不是一个数，因此，它不能替代函数()F x 中的x 。

所以，我们必须再一次借助于极限的概念。

图10-1
上面列出的第一个积分可以定义为另一个积分当其积分上限趋于无穷大时
的极限，即()lim ()b
a a
b f x dx f x dx ∞→∞≡⎰⎰ 若此极限存在，则称此广义积分收敛，且此取极值的过程会产生积分值。

若极限不存在，则称此广义积分发散，因而是无意义的。

同理，我们可以定义 它也有同样的收敛与发散的判别标准。

无穷被积函数
即使具有确定的积分限，如果被积函数在积分区间[],a b [],a b 中的某处变得无穷大，那么，这个积分仍是广义积分。

要计算这样的积分，我们仍需要依靠极限的概念。

被积函数在积分上限．．
为无穷大的情形也完全类似。

但是，被积函数在开区间(),a b 而非在a 点或b 点达到无穷大，则是完全不同的命题。

在这种意外情况下，必须利用定积分的可加性，并先把给定区间分割成子区间。

假设当x p →时()f x →∞，其中p 是区间(),a b 中的点，则由可加性，我们有
当且仅当每个子区间有极限时，上式左边的给定区间才可以视为收敛的。

第三节 积分的经济应用
从边际函数到总函数
例1. 如果厂商的边际成本（MC ）是产出的下述函数：0.2'()2Q C Q e =,若固定成本C F =90,求总成本函数()C Q 。

将'()C Q 对Q 积分，我们求得
此结果可以视为所求的()C Q 函数。

当Q=0时，总成本01090F C e c =+=，所以901080c =-=。

因此，总成本函数为0.2()1080Q C Q e =+.
例2 .如果边际储蓄倾向（MRS ）是收入的如下函数：1/2'()0.30.1S Y Y -=-, 若收入81Y =时，总储蓄0S =，求储蓄函数()S Y . 因为MPS 是S 函数的导数，现
在的问题是求'()S Y 的积分：1/21/2()(0.30.1
)0.30.1S Y Y dY Y c --=-=-+⎰ 根据当81Y =时，0S =，可以求出任意常数c 的具体值。

因为
00.3(81)0.2(9)22.5c c =-+⇒=-
所求的储蓄函数为：1/2()0.30.122.5S Y Y -=--
投资与资本形成
资本形成是增加给定资本存量的过程。

在此过程视为一个连续过程，我们可
以将资本存量表示成时间的函数()K t ，并以导数dK dt
表示资本形成率。

但是，在时间t 的资本形成率与以()I t 表示的净投资．．．
（流量）率相等。

因此，资本存量K 和净投资I 通过如下两个方程联系起来：
()dK I t dt
≡ 和()()dK K t I t dt dt dK dt ===⎰⎰⎰ 上面第一个方程是一个恒等式，它说明净投资与资本增加意义相同。

有时总投资的概念也与净投资一起在模型中使用。

我们以g I 表示总投资，I 表示净投资，二者可通过方程：g I I K δ=+
联系起来。

其中δ表示资本折旧率，K δ表示重置投资率．．．．．。

例3．假设净投资流量以方程1/2()3I t t =表示，在时间0t =时的初始资本存量是(0)K .何谓资本K 的时间路径？
将()I t 对t 积分，我们得到1/23/2()()32K t I t dt t dt t c ===+⎰⎰
其次，令最左边和最右边表达式中的0t =，求得(0)K c =。

因此，K 的时间路径为
当要求某一时间区间的资本形成数量（而非资本K 的时间路径）时，就需要使用定积分的概念。

以为()()I t dt K t =⎰，我们可以写出定积分
()()()b
a I t dt K
b K a =-⎰来表示时间区间[,]a b 的总资本积累。

为了更充分地理解()K t 与()I t 之间的不同，我们强调资本K 是一个存量．．的概念，而投资I 是一个流量．．
的概念。

因而，()K t 表示在每个时点存在的K 的数量，而()I t 则给出每年或某一时期的净投资率，该投资率在该时期内是一致的。

因此，为计算所进行的净投资数量（资本积累），我们必须首先设定所涉及的时期的长度。

当我们将恒等式/()dK dt I t ≡重写为()dK I t dt ≡时，也可以看到这一事实。

()dK I t dt ≡表明，K 的增量dK 不仅以流量变化率()I t 为基础，而且以逝去的时间dt 为基础。

正是由于设定表达式()I t dt 中的时期的需要，才要进行定积分，并以它来表示()I t 曲线（与()K t 曲线相对）下的面积。

资金流量的现值
我们前面对贴现和现值问题的讨论，仅局限于单一．．
的未来值V 的情况，得到
的贴现公式是 (1)t A V i -=+ [离散的情况]
和 rt A Ve -= [连续的情况]
现在我们假设有一个未来值的流――在未来各个时间可获得的一系列收益，或在各个时间要支付的成本。

那么，我们如何计算整个现金流的现值呢？
在离散的情况下，若我们假设有三个在t 年末可获得的收益数字
(1,2,3)Rt t =，每年的利息率为i ，那么，Rt 的现值分别为
由此得总现值为和3
1(1)t t t R i -==+∑∏ （∏表示现在）
此式与单一值公式的差别仅在与以Rt 代替了V ，并加入了∑符号。

和的思想很容易引入到连续现金流的情况，但在后一种情况下，∑符号必定为定积分符号所代替。

考察收益率为()R t 美元的连续收入流。

这意味着在1t t =，收益率为每年1()R t 美元，但在另一个时点2t t =，收益率为每年2()R t 美元――视t 为连续变量。

如果在任意时点t ，我们允许有无穷小时间dt 变化，在时期[,]t t dt +的收益量可以写成()R t dt 。

当按年比率r 连续贴现时，其现值应为()rt R t e dt -。

若我们要求的是三年收入流的总现值，那么，可以通过如下定积分获得答案：3
0()rt R t e dt -=∏⎰。

例4．连续收入流按每年按D 美元不变收益率持续y 年，将其按年利息率r 贴现，其现值为多少？
0000
1(1)(1)y t y y y rt rt rt rt ry ry t D D D De dt D e dt D e e e e r r r r =------=---⎡⎤⎤=====-=-⎢⎥⎥⎣⎦⎦∏⎰⎰因此， ∏取决于D 、r 和y 。

若3000D =美元，0.06r =，2y =，我们有 ∏值自然总为正；这是由D 、r 和(1)ry e --为正推出来的。

例5．在酒的窖藏问题中，我们曾假定窖藏成本为零。

现在，我们释放这一条件，允许酒商发生窖藏成本。

持久流量的现值
如果资金流量永远持续――比如从持久债券获得的利息或从如土地等恒久资产获得的收益――资金流的现值将来
第四节 多马增长模型
多马增长模型
多马模型的基本假设前提如下：
1. 年投资（流量）比率()I t 的任意变化会产生双重效果：它将影响总需求及该经济体的生产能力。

2. ()I t 变化的需求效应通过乘数过程立即发挥作用。

因此，()I t 的提高会通过()I t 增量的乘数作用增加年收入流量比率()Y t 。

乘数是1/k s =，其中s 表示已知的边际储蓄倾向，假设()I t 是唯一的影响收入流量比率的支出流量，则我们可以写出
1dY dI dt dt s = （10.3）
3. 投资的生产能力效应通过该经济能够生产的潜在产出能力的变化来度量。

假设能力－资本比率不变，我们可以写出： K κ
ρ≡ （常数）
其中κ（希腊字母kappa ）表示生产能力或每年的潜在产出流量，ρ（希腊字母rho ）表示已知资本－能力比率。

当然，这意味着资本存量()K t 的经济体每年能够生产的产出或收入，等于K κρ≡美元。

主意，由d d K κρ≡（生产函数），可得d dK κρ≡，和
d dK I dr dt κρρ== （10.4）
在多马模型中，均衡被定义为生产能力得到充分利用的状态。

因此，为达到均衡，要求总需求恰好等于该年度能够生产的潜在产出，即Y κ=。

但是，若我们从均衡状态出发，则要求生产能力变化与总需求变化相等，即
dY d dt dt
κ= （10.5）
何种投资()I t 的时间路径能够时时满足这一均衡条件？
求 解
刃 锋
第五节 连续时间：一阶微分方程
具有常系数和常数项的一阶线性微分方程
一阶导数/dy dt 是在一阶微分方程中出现的唯一导数，但它可能以不同的幂数出现：/dy dt ， 2(/)dy dt 或3(/)dy dt 。

方程中导数所达到的最高幂数称为微分方程的次．。

在导数/dy dt 仅为一次，因变量y 也是一次，而且没有积(/)y dy dt g 等形式出现的情况下，此方程便称为线性的．．．。

因此，一阶线性微分方程的一般形式为:()()dy u t y w t dt
+= （10.8） 其中u 和w 同y 一样，都是t 的函数。

但是，与/dy dt 和y 相反，对自变量t 没有任何限制。

因此，函数u 和w 可以非常好地表示诸如2t 、t e 或t 的更复杂的函数。

另一方面，u 和w 也可以表示常数。

齐次方程
若u 和w 为常函数，且如果w 恰好恒为零，（10.8）将变成
0dy ay dt
+= （10.9）
其中a 为了常数。

考虑到常数项为零，此微分方程被称作齐次．．
方程。

更确切地讲，此方程是齐次方程的原因在于其中的y 和/dy dt 项均是一次的。

特别地，有别于其他项的常数项零，可以视为y 的一次幂，因为00y =。

图（10-2）
方程（10.9）还可以写成
1dy a y dt
=- （10.9’） 因此，类似地，我们可以立即将（10.9）和（10.9’）的解写出如下：
()at y t Ae -= [通解] （10.10）
或 ()(0)at y t y e -= [特解] （10.10’）
在（10.10）中出现一次任意常数A ；因此，它是一个通解．．。

当A 为任意具体值代替时，此通解便成为（10.9）的特解。

此特解有无数个，对于每个可能的A 值，包括(0)y ，都有一个特解。

但是最后一个值具有特殊意义: (0)y 是使解满足初始条件的唯一值。

因为它表示使任意常数确定化的结果，所以，我们将（10.10’）称作微分方程（10.9）或（10.9’）的定解．．。

关于微分方程的解，读者应观测到两点：⑴解不是一个数值，而是一个函数()y t ――若t 表示时间，那么，它表示时间路径。

⑵解()y t 不含有任何导数或微分表达式，所以只要将t 的具体值代入此解，就可以直接算出相应的y 值。

非齐次函数
当（10.9）中的零为非零常数所取代，我们便得到非齐次．．．
线性微分方程：
dy ay b dt
+= （10.11）
此方程的解将有两项之和构成，其中一项称作余函数．．．
，以c y 表示；另一项称作特别积分．．．．
，以p y 表示。

后面将要表明，这两项具有重要的经济意义。

尽管我们的目标是解非齐次方程（10.11），但我们要常常将其视为如（10.9）所示的齐次形式。

为便于表述，我们将其称作（10.11）的简化方程．．．．。

相应地，（10.11）本身被称作完备方程．．．．
，由此可知，余函数c y 只不过是简化方程的通解，而特别积分p y 只是完备方程的任意特解。

前面对齐次方程情况已经给出了简化方程的通解，因而我们可以给出 at c y Ae -= [由（10.10）]
那么，特别积分又如何呢？因为特别积分是完备方程的任意特解，所以我们首先
试求最简单的可能的解，即y 为某常述时的解。

若y 是常数，则由此得/0dy dt =，且（10.11）成为ay b =，有解/y b a =。

因此，只要0a ≠，常数解便成立。

在此情况下，我们有
则余函数和特别积分的和构成了完备函数（10.11）的通解： ()at c p b y t y y Ae a
-=+=+
[通解，0a ≠的情况] （10.12）
上式成为通解是由于任意常数A 的存在。

当然，我们可以利用初始条件确定这个常数。

当0t =时，令y 的值为(0)y 。

则令（10.12）中的0t =，可求得 (0)b y A a =+ 和 (0)b A y a =- 因此，可将（10.12）重写成()(0)at b b y t y e a a -⎡⎤=-+⎢⎥⎣
⎦ [特解，0a ≠的情况] （10.12’）
应注意，利用初始条件确定任意常数是――而且应当是在求得完备方程的通解后的最后一个步骤。

因为c y 和p y 的值均与(0)y 的值相联系，所以，在确定常数A 时，必须将二者都考虑进去。

解的检验
如果要对（10.12’）进行检验，我们可以得到导数： (0)at dy b a y e dt a -⎡⎤=--⎢⎥⎣
⎦ 如果将此/dy dt 表达式和（10.12’）中所示的()y t 表达式代入微分方程（10.11）的左边，如果此方程的解正确，则代入上述表达式的左边应当恰好等于（10.11）右边的常数项b 。

进行上述替代后，我们的确得到
因此，如果此解也满足初始条件，那么，它便是正确的。

为对它是否满足初始条
件，我们令（10.12’）中的0t =。

因为 (0)(0)(0)b b y y y a a ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣
⎦ 是一个恒等式，所以确定满足初始条件。

应注意，作为解微分方程的最后一个步骤，读者应通过如下习惯检验答案的正确性：⑴保证时间路径()y t 的导数与已知微分方程相一致。

⑵确保定解满足初始条件。

第六节 市场价格的动态学
在（宏观）多马增长模型中，我们认识了一阶线性齐次微分方程的一个应用。

为了介绍非齐次方程的应用，我们给出一个（微观）动态市场模型。

框 架
对某一特定商品，假设其需求与供给函数如下：
s Q P γδ=-+ (,0)γδ> （10.13）
则均衡价格应为： P αγβδ-+=
+ （某一确定常数） （10.14）
如果初始价格(0)P 恰好在P -水平，市场虽然处于早已达到的均衡状态，勿需进行动态分析。

但是，在(0)P P -≠的更重要的情况下，P -仅在经过适当的调整过程之后才能达到；在调整过程中，不仅价格随时间变化，而且，作为价格P 的函数，d Q 和s Q 也必然随时间的变化而变化。

从这个角度看，价格和数量变量都可以视为时间的函数．．．．．。

我们的动态问题是：给定调整过程所需要的充分时间，能够将价格调整至均衡水平P -吗？亦即，当t →∞时，时间路径()P t 趋向收敛于P -
吗？
时间路径
均衡的动态稳定性
模型的另一种应用
我们上面所做的工作是在给定某些参数符号的情况下，分析均衡的动态稳定性（时间路径的收敛性）。

另一类问题是：要保证动态稳定性，对参数要施加何种具体限制？。