一种新型运动轨迹规划算法研究
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图 $ 短程下的指数速度曲线
在 考 虑 速 度 限 制 !& 和 加 速 度 限 制 !& 的 条 件 下 ， 给 出 速度方程：
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点处发生超调。同时，在点 位 控 制 中 ， 两 种 曲 线 在 时 间 上 都有较大的滞后，即机械实际到位时间要比规划时间晚， 这在生产实际中容易造成危 险 。 以 数 控 钻 床 为 例 ， 如 果 轨 迹规划路径时间已经到了， 但 实 际 钻 床 还 没 有 到 达 预 期 位 置，这样提前下钻会对加工产品造成破坏。针对这一现 象，以下提出一种改善时间 滞 后 现 象 的 速 度 规 划 方 法 ， 它 具有加减速不对称的特性，且运算方程简单，计算量小。 我们称之为指数加速曲线，简称 7 曲线。
由式 （/ ）可以同样得到：
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越大，速度上升就越快，但 同 时 ， 当 存 在 速 度 上 限 时 ， 速 度的变化会变的不平滑。" 是与最大加速度有关的系数， 对 ! 在 %+" 时刻求导数可以得到初始加速度：
! 技术现状
目前，速度规划的 基 本 方 法 是 梯 形 速 度 曲 线 （以 下 简 称 ) 曲 线 ） 和 ( 形 速 度 曲 线 （以 下 简 称 ( 曲 线 ） ，美国
34567)78 公司、 975:5 公 司 、 台 湾 凌 华 科 技 有 限 公 司 研 发 的
运动控制器都采用了这两种 轨 迹 规 划 方 法 。 此 外 ， 还 有 部 分公司在这两种方法的基础 上 ， 采 用 局 部 变 形 的 方 法 ， 得 到新的速度规划算法，如三 角 函 数 双 ( 曲 线 加 速 ， 抛 物 线 双 " 曲线加速等。这里给出最基本的 ) 曲 线 和 ( 曲 线 的 详 细算法推导过程。
度变化平滑，在接点处的位 置 、 速 度 和 加 速 度 皆 具 有 连 续 性。但规划同样长度的路径时，要比梯形曲线用的时间 长 。 假 定 规 划 的 距 离 为 $ ， 速 度 上 限 为 !(， 加 速 度 上 限 为
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研 究与开发
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机电工程技术 !""# 年第 $$ 卷第 %! 期
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带入边界条件得：
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研 究与开发
机电工程技术 !""# 年第 $$ 卷第 %! 期
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% 引言
在数控系统中，特 别 是 点 胶 机 、 钻 孔 机 、 焊 接 机 等 以 点位运动为主体的系统中， 机 床 在 起 动 或 停 止 时 容 易 产 生 冲 击 、 失 步 、 超 程 或 振 荡 ， 必 须 设 计 专 门 的 加/减 速 控 制 规律，驱使加给电动机的输 入 （脉 冲 频 率 或 电 压 ） 按 照 这 个规律变化，从而使机床在 各 种 加 工 作 业 的 情 况 下 都 能 快 速 准 确 地 停 留 在 给 定 的 位 置 上 。 产 生 这 种 加/减 速 控 制 规 律的方法即为轨迹规划
机电工程技术 !""# 年第 $$ 卷第 %! 期
研究与开 发
一种新型运动轨迹规划算法研究
赵立杰，王 昕，耿 蕊
&%’"&& ）
（哈尔滨工业大学深圳研究生院， 广东深圳
摘要：介绍了梯形曲线和 ( 形曲线速度规划的算法，给出了详细的推导过程和公式，分析了两种速度曲线的特性。根据分析结 果，提出了一种新的适合于高速点位运动的速度曲线规划的算法，并通过实验对三种曲线的性质进行了验证，给出了实验结果。 关键词：运动控制；轨迹规划；速度曲线 中图分类号： )*%!$+,% 文献标识码： 文章编号： %""./.#.! 0!""#1 %!/""#%/"#
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机电工程技术 !""# 年第 $$ 卷第 %! 期
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在不考虑最大速度限制的条件下，到达 < 点 所 用 的 最 短时间为：
。现代制造业加工过程日趋复
限的约束下时间最优。考虑 最 一 般 的 情 况 ， 设 恒 加 加 速 度 的 时 间 为 !5， 恒 加 速 度 时 间 为 !+， 恒 速 度 时 间 为 ! ! 。 最 终 规划曲线如图 ! 所示。 除了开始运动的时间 !’ 外 ， 有 6 段 加 加 速 度 变 化 的 时 间，其中的关系由 （6 ）式给出。
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杂，生产效率不断提高，这 些 都 对 轨 迹 规 划 的 算 法 提 出 了 新的要求。在传统的梯形速 度 曲 线 和 ( 形 速 度 曲 线 方 式 的 基础上，出现了很多种变形的曲线以及其产生方法
［!］
来
满足工业现场的要求。本文 提 出 一 种 与 传 统 曲 线 完 全 不 同 的规划方式，即指数速度曲 线 ， 其 具 有 ! 阶 光 滑 可 导 、 加 速度变化平滑等特性。
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现 假 设 速 度 上 限 没 有 达 到 ， 于 是 %$#%#， 根 据 曲 线 的 对 称性可以得到：
研究与开 发
轨迹路径 ) 可以表示成关于 %’、 %-、 %! 和 $ & 的函数：
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$ 指数速度曲线的研究
由 上 面 的 推 导 可 见 ，5 曲 线 的 计 算 量 是 比 较 大 的 ， 而
6 曲线由于速度变化不连续，容易在到达速度上限的转折
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情况二：若考虑速 度 上 限 和 加 速 度 上 限 ， 轨 迹 运 行 总 时间 !’ 会相应的延长。考虑速度上限 !( 存在时的情况，根 据式 （%% ） ，最大速度出现在 !$ 时刻：
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。一般情况，曲线加速和减速过程是对称的，设
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给定速度上限为 !;，加速度上限为 #;，被控对象从 - 点运 动 到 < 点 ， 经 过 的 距 离 为 $， 要 求 生 成 的 轨 迹 在 这 些 条 件
收稿日期： !""# — "2 — !’
在 考 虑 速 度 限 制 !& 和 加 速 度 限 制 !& 的 条 件 下 ， 给 出 速度方程：
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由式 （/ ）可以同样得到：
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! 技术现状
目前，速度规划的 基 本 方 法 是 梯 形 速 度 曲 线 （以 下 简 称 ) 曲 线 ） 和 ( 形 速 度 曲 线 （以 下 简 称 ( 曲 线 ） ，美国
34567)78 公司、 975:5 公 司 、 台 湾 凌 华 科 技 有 限 公 司 研 发 的
运动控制器都采用了这两种 轨 迹 规 划 方 法 。 此 外 ， 还 有 部 分公司在这两种方法的基础 上 ， 采 用 局 部 变 形 的 方 法 ， 得 到新的速度规划算法，如三 角 函 数 双 ( 曲 线 加 速 ， 抛 物 线 双 " 曲线加速等。这里给出最基本的 ) 曲 线 和 ( 曲 线 的 详 细算法推导过程。
度变化平滑，在接点处的位 置 、 速 度 和 加 速 度 皆 具 有 连 续 性。但规划同样长度的路径时，要比梯形曲线用的时间 长 。 假 定 规 划 的 距 离 为 $ ， 速 度 上 限 为 !(， 加 速 度 上 限 为
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是另一种应用广泛的加速曲线，特点是速
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在下一时间段，当 &(%& ( 时：
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由 上 面 的 推 导 可 见 ，5 曲 线 的 计 算 量 是 比 较 大 的 ， 而
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