第4章 河道流量演算与洪水预报

40
第三节 马斯京根法 一、线性马斯京根法 liner Muskingum method
（一）基本原理和概念 1、槽蓄方程
storage-discharge equation
I
O
用入流、出流的线性组合 构造一个示储流量：
Q x I y O
并使得 Q与槽蓄量 W 成线性关系：
W K Q
3
4
5
…
34
泊松分布汇流曲线
泊松分布汇流曲线 Pm , n 的计算程序
35
泊松分布汇流曲线 K 泊松分布汇流曲线中参数 n 、
M (O) M ( I ) n
1 1 2
l
的推算
N 2 (O) N 2 ( I )
N 2 (O) N 2 ( I ) Kl 1 M (O) M 1 ( I )
n n个河段
O( s)
O( s ) 1 I ( s) (1 K l S ) n
对瞬时单位入流 (t ) ，I (s) L( (t )) 1 ，则
1 O( s ) (1 K l S ) n
，取其拉普拉斯逆变换，得
t Kl
30
1 t n1 O(t ) ( ) e K l ( n) K l
z中
O
Z中
W
W
O
逆时针绳套
逆时针绳套
15
第二节 特征河长法 一、特征河长、特征河长法的槽蓄方程
1、特征河长 characteristic river length 满足下断面的出流与河段的槽蓄量成单一关系 的河长。即 单一关系
W
Q
上断面
下断面
16
特征河长
中断面
W
Q
上断面 下断面
对任意河段，中断面水位与槽蓄量为单一关系。 则对特征河长，中断面水位与下断面流量也成 单一关系。
20
特征河长法 二、特征河长的计算
1、公式法
特征河长的下断面流量：
Q Q( z, sw )
涨水时
I
dsw
Q0
Q
dz
l/2
l/2
21
公式法
Q Q( z, sw )
I
涨水时
dsw
Q0
Q
dz
对特征河长，
l/2
dQ Q Q dz dsw 0 z sw
dz ds w l/2
Q
则
I O Q 2
Q
W
W

W Q
9
第一节 流量演算法的基本原理 二、水量平衡方程、槽蓄方程
1、水量平衡方程 water balance equation
dW I O dt
其差分方程形式为
( I O )t W2 W1
I
W
O
下断面
上断面
10
水量平衡方程、槽蓄方程 2、槽蓄方程 storage-discharge equation
27
特征河长法 （三）多河段处理
当预报河段较长，采用多河段处理方法： 把预报河段 L 按特征河长 l 分成 n 段，再借助汇 流曲线求下断面的出流。 汇流曲线有两种： 泊松分布汇流曲线 ； 长办汇流曲线。
28
特征河长法
1、泊松分布汇流曲线
（瞬时河槽汇流曲线）
泊松分布汇流曲线的推导：
dW I O dt W Kl O
A dtdx dW t
Q
Q dx Q x 2
dx
x
5
连续性方程
根据质量守恒定律（进、出河段水量差等于河 段蓄量的增量），有
(Q Q dx Q dx )dt (Q )dt x 2 x 2
Q
t t
A dtdx t
t
Q dx x 2
A t
A dtdx t
对稳定流
Q Q u0 t x Q Q u / t x
Q A Q x Q t
dQ 0 dt
连续性方程
Q A 0 x t
Q u A
பைடு நூலகம்
（4-5b）
7
稳定流的传播速度 稳定流的传播速度
Q u A
dL
w
W
上断面 下断面
它在河段 dL 内传播时间
dW I O dt
W Kl O
26
特征河长法
采用差分法解 过程：
I O dW dt
dW I O dt
W Kl O
W Kl O
K l dO I O dt
I1 I 2 I 2
O O1 O2 2
差分处理
dO O2 O1
dt t
O2 C0 ( I1 I 2 ) C2O1 （4-26）
39
长办汇流系数 n m 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9

3
4
5
…
0.632 0.233 0.086 0.031 0.012 0.004 0.002 0.001
0.26 4 0.33 0 0.20 7 0.10 8 0.05 1 0.02 3 0.01 0 0.00 4 0.00 2 0.00 1
41
槽蓄方程 对于任意长河段，只有稳定流时，槽蓄量与流
量才成单一关系，因此有 Q Q0
Q x I y O
Q Q0
Q0 x I y O
当水流为稳定流时， I O Q0
x y 1
Q x I y O Q x I (1 x)O
1 Pm,n m n 1e m 称为泊松分布函数 。 ( n)
32
泊松分布汇流曲线
得到 S 曲线后，再求时段单位线 u(t, t ) ：
u(t , t ) s(t ) s(t 1) s(t ) s(t t )
最后，用时段单位线进行河道洪水的汇流计算 。
在 于 为方便计算，有专门 Pm,n 表可查。 求 解
3
河道洪水预报方法
天然河道的洪水波运动属于渐变不稳定流，可 用圣维南方程组描述。 圣维南方程组包含连续方程、运动方程 。 求解圣维南方程组可分为水文学方法、水力 学方法两类。
4
第一节 流量演算法的基本原理
一、概述
1、连续性方程 continuity equation
t t
A t
t
Q Q dx x 2
I
1
0
mk
矩形单位入流
t
38
长办汇流曲线 m P 1 e i!
m n1 i 0 0 ,n
i
； 0 m mk
Pk ,n
i n j 1 m Mj (1 e mk k )e m ；mk m j! i! j 0 i 0 n 1
（其中， M m mk ） 根据上面两式已经制成长办汇流系数表，可查。
泊松分布汇流曲线
1 t n1 则 O(t ) ( ) e K l ( n) K l

t m 取计算时段长 t Kl ，用 t 对 t 离散化： Kl
t Kl
简写为
1 O(t ) m n 1e m K l ( n)
其中， (n) x n1 e x dx 0
dL A d dL u Q
在整个河段内传播时间
d
w A A L dL Q Q Q W Q W Q
（4-18）
8
W 稳定流的传播速度 Q
可见，可用槽蓄曲线的坡度计算洪水在河段内的 传播时间。 实用中，常取
I O QQ 2
Q l Q0 z 2 2s0
Q0 z l s0 Q
23
公式法 Q z
l
0
s0 Q
z z 取稳定流时的 Q 代替 ，得到特征河长的 Q 0
近似计算公式为
l Q0 Z ( )0 S 0 Q
（4-21）
特征河长实例（表4-2）
从计算结果可以看出，随流量的增大，特征河长 也增大。
17
特征河长 涨水
2 稳定流
z
z2
z1
Q
1
基准面 上断面 中断面
Q Q( z, sw )
sw 水面比降
dsw 附加比降
Q 1 dsw Q2 Q0 sw
Q 1 dz Q02 Q0 z
Q02
2 Q2 Q0
Q Q dz dsw w z sw w
18
﹦
下断面
1 Q2 Q0
24
特征河长法的计算 2、试错法
在基本水尺断面（中断面）下游的不同位置 设置测流断面，当测得的流量与基本水尺断面的 水位成单一关系时，两断面的间距为特征河长的 一半。
Z中
中断面
下断面
Q下
25
特征河长法
三、特征河长法 characteristic river length method （一）特征河长法 结合水量平衡方程和特征河长的槽蓄方程， 进行流量演算的方法。 （二）原理式
Q
特征河长
Q Q dz dsw z sw
上式表明，在特征河长的下断面处，水位变化引起 的流量变化与水面比降变化引起的流量变化正好相互 抵消。
19
特征河长、特征河长法的槽蓄方 程 2、特征河长法的槽蓄方程
W f (Q) Kl Q
Kl 洪水波在特征河长内的传播时间。
可见，特征河段具有水库型的蓄泄关系。 又若蓄泄关系为线性的，则特征河段为线性水库。
l/2
Q l Q 0 z 2 sw
22
公式法 同一水位下，下断面流量
Q Q0 sw s0 s0 ds w s0
Q K sw
Q 1 dsw 1 Q0 2 s0
Q Q0 dQ
dQ 1 dsw Q0 2 s0 dQ 1 Q0 dsw 2 s0
Q l Q 0 z 2 sw
I ( s)
O( s)
单一河段
dO I (t ) O (t ) K l dt
取其拉普拉斯变换，得 I (s) O(s) Kl S O(s)
O( s ) 1 I ( s) 1 K l S
29
泊松分布汇流曲线 … 1 2
I ( s)
O( s ) 1 I ( s) 1 K l S
33
泊松分布函数表 Pm,n
m n
0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 0.419 0.365 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001
2 0.08 0.36 8 0.27 1 0.14 9 0.07 3 0.03 4 0.01 5 0.00 6 0.00 3 0.00 1
关系有三种情况： ①单一关系。
z中
条件：当中断面水位不变时，下断面涨洪时的流 量等于落洪时的流量。
O
Z中
W
W
O
单一关系
单一关系
13
槽蓄方程 ②顺时针绳套关系。
条件：当中断面水位不变时，下断面涨洪时的 流量大于落洪时的流量。
z中
O
Z中
W
顺时针绳套
W
顺时针绳套
O
14
槽蓄方程 ③逆时针绳套关系。
条件：当中断面水位不变时，下断面涨洪时的 流量小于落洪时的流量。
Q dx x 2
Q
Q
化简得
Q A 0 x t
dx
连续性方程（4-1） 上式表明，河道洪水波运动过程中，过水断面面 积随时间的变化与流量随河长的变化相互抵偿。
6
概述
2、稳定流的传播速度
Q Q( x, t )
Q Q dQ dt dx t x dQ Q Q u dt t x
河段蓄水量（槽蓄量） 与入流、出流之间的关系 方程
W f ( I , O)
I
W
O
下断面
上断面
或 W f (O)
11
槽蓄方程 槽蓄方程的曲线形式为槽蓄曲线。
为简便，常假设水位沿河长成直线变化，此时 河段中断面水位与槽蓄量必为单一关系。
中断面
z中
W
Q
上断面
下断面
W
12
槽蓄方程 由于附加比降的影响，中断面水位与下断面流量

31
泊松分布汇流曲线 1
O(t ) K l ( n)
m n 1e m 为瞬时单位线的汇流曲线，
为方便汇流计算，需将其转化为时段单位线。 这要用到 S 曲线：
S (t ) O(t )dt 0

m 0
t
t
0
1 mn1e m dt Kl (n)
1 m n 1e m dm ( n)
其中， M 1 () 一阶原点矩
N 2 () 二阶中心矩
36
泊松分布汇流曲线 Q
Q3
t
t3
M
1
Qt (Q) Q
i
i i
N 2 (Q)
Qi ti M 1 (Q) Q
i


2
37
特征河长法 2、长办汇流曲线
1965年，原长江流域规划办公室以特征河长为基
础，采用矩形单位入流 ，推导出的汇流曲线。
水文预报
Hydrologic forecasting
1
第四章 河道流量演算与洪水预报
河道洪水预报
在汛期，预报沿防汛河段的各指定断面 处的水位和流量。
河道洪水预报的依据 河道中洪水波的运动规律。
2
绪论 河道洪水预报方法
解析法 水力学方法
流量演算法
数值法
特征河长法 马斯京根法
水文学方法
相应水位法
相应水位法的实质是数理统计法，流量演算法 的实质是成因分析法。