多元函数极限与连续

xy1 3
y 1
22
例3
证明:
lim 1 x1 2x y
y2
证明：M 0, | 2x y || 2(x 1) ( y 2) | 2 | x 1| | y 2 |
7
取 1 0,当0 | x 1| ,0 | y 2 | 时
4M | 2x y | 1 1 1 2M 4M M
数学分析复习（二） 多元函数的极限与连续
一、多元函数的极限
定义 设DRn,f:D→R.点a∈Rn是D的一个聚 点(a∈D′),s∈R.如果>0,>0,当xD及 0 || x a || 时有 |f(x)-s|<,
则称函数f在点a处有(重)极限，
或当x趋于a时,f(x)趋于s,
记作 lim f(x) s 或 f(x) s(x a). xa 1
x y (x,y )(0,0) 2
2
r0 r 2 (sin 2 cos 2 )
lim r 2 sin 2 cos 2 0 r 0
lim
x0
sin( x3 y3) x2 y2
lim
x0
sin( x3 y3) x3 y3
x3 x2
y3 y2
y0
y0
lim
u0
sin u
u
lim
r 0
r3(cos3
lim ( x0 y0
xy 1 1) 11 2
x2百度文库
lim
1
2 xy
x
y0
x
2x
lim
x y0
1
2 x
x 2
x y
lim
1
x
lim 2x x x y
2 2 y0
e2
x x
10
(3)化为一元函数求极限. 如
sin( xy )
sin (xy )
lim
lim
y
x (x,y )(0,0)
e e e u u u u u u
x
y
11
(4)应用代换x=rcos,y=rsin(0≤r<∞), 使求
lim f(x, y) 的问题，变为求 lim f(r cos , r sin )
(x,y )(0,0)
r 0
的问题。但必须要求当r→0的过程中，与的取值无关。
如
lim x 2y 2 lim r 4 sin 2 cos 2
PD,PP0
xx0 yy0
3
(1) lim f (x, y) A : ( x,y )( , ) 0,M 0, 使当x M , y M时， 有 | f (x, y) A | (2) lim f (x, y) A : ( x,y )( 0, ) 0, 0, M 0, 使当0 | x | , y M时， 有 | f (x, y) A |
r2
sin
3)
lim
r 0
r(cos3
sin
3)
0
12
（5）利用无穷小量性质（无穷小量与有界量之积 仍为无穷小量)， 如
lim y sin 1 0
(x,y )(0,0)
x
lim (x
(x,y )(0,0)
y ) sin
x2
1 y2
0
13
(6)夹逼准则：设DRn,P0∈D′,
lim g(P) lim h(P) A,
xy (x,y )(0,0)
sin u
lim lim y 0(u xy )
u u0
y 0
lim (x2 y2 )e(x y)
x
y
0 (x2 y2 )e(x y)
(x y)2 e( x y)
x yu
u2
eu
u2 lim lim
2u lim
2 0 lim (x2 y2 )e(x y) 0
此时， 1 M 2x y
lim 1 x1 2x y
y2
8
(2)利用极限的四则运算和复合运算求极限.
lim (x y) lim x lim y 0
( x, y)(0,0)
x0
y0
x2 y2 lim
(经变形后)
(x,y )(0,0) 1 x 2 y 2 1
(x 2 y 2 )( 1 x 2 y 2 1) lim
5
如何求多元函数的极限？
（1）由定义求多元函数的极限。
• 例1 证明:
x 2y 2
lim
0.
x y (x,y )(0,0) 2
2
证明:
x 2y 2 x2 y2
| xy x2
|| xy y2
|
(x 2 y 2 )2 4(x 2 y 2 )
1 (x 2 4
y2)
0,取 4, 当(P, ) 时有
x2y 2 , (P (x, y))
x2 y2
例2 证明:
xy 1
lim
3.
x3 y 1
y
6
证明:
xy1 3 xy13y 3
y 1
y 1
y(x 3) 4 | x 3 | 4 ( y 1)
y 1
y
0, 取 0, M 8 0,当0 | x 3| , y M时，
2
PD,PP0
➢无穷小量的定义与性质.
2
命题： 设DRn,f:D→R.点P0(x0,y0)∈Rn是D的一
个聚点(P0∈D′),A∈R.P(x,y) ∈D
lim f (P) s 0, 0,使当
PD,PP0
0 | x x0 | ,0 | y y0 | 时有
| f (P) A |
lim f (P) A可写作 lim f (x, y) A((x, y) D)
PD,PP0
PD,PP0
(3) lim f (x, y) : M 0, 0, (x,y)(,) 使当x , y 时f (x, y) M
(4) lim f (x, y) : ( x,y )( 0, ) 0, 0, M 0, 使当0 | x | , y M时， 有 f (x, y) M 4
性质: (1)四则运算法则 (2)归结原理 (3)唯一性、局部有界性、局部保号性 (3)无穷小量性质
•定义 设DRn为函数f的定义域，P0为D的一
个聚点。如果M>0,P0的一个空心邻域U (P0 , ) 使当P∈U (P0 ,)∩D时, f(P) M ,则称
f在D上当P→P0时，存在非正常极限+∞，记
作
lim f(P)
PD,P P0
lim f (P) :
PD,PP0
lim f (P) :
( (x,y)(0,0) 1 x 2 y 2 1)( 1 x 2 y 2 1)
lim 1 x2 y 2 1 2 (x,y )(0,0)
9
lim xy
lim
xy( xy 1 1)
x0 y0
xy1 1
( x0
y0
xy 1 1)(
xy 1 1)
xy( lim
x0 y0
xy 1 1) xy