由一道习题引发的思考

由一道习题引发的思考
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由一道习题引发的思考
—探索二元一次方程组解的情况
内容摘要：对一道二元一次方程组解的情况习题，是简单地呈现最后的结果？还是给学生讲解理由？我选择了后者，首先引入一种新的解二元一次方程组的方法，在求解的过程中产生矛盾，撞击学生思维的火花；围绕矛盾设置由浅入深的问题，直至得出最后结论，并用所归纳的结论解决问题。

学生经过探索、独立思考、合作讨论、总结归纳等数学活动和思维过程认知能力得到提高。

同时也使自己的教学水平提高，达到教学相长的效果。

关键词： 系数行列式； 解的情况； 唯一解；无穷多解 ；无解
一、情景描述
苏科版七年级教材下册10.3解二元一次方程组，运用代入、加减消元法求解二元一次方程组，例题和习题中的方程组都是有解的，教材没有对二元一次方程组解的情况讨论。

在辅导课上，徐渺，吕园等几位同学问我一个问题，题目内容是“当m ，n 取什么值时，方程组
2356{x y x my n +=+=①
②
有唯一解？有无穷多解？无解？”
他们说看不懂题目，不知道题目是什么意思。

如何解答这个问题？是直接告诉结论把答案呈现给他们，还是给他们讲解理由？若讲解如何才能让他们理解透彻？ 二、反思与分析
为了解决上述问题，进一步提高学生的认知能力，根据七年级学生的心理特征和认知特点，我给他们提供了当二元一次方程组有解时的另一种解法。

首先我们引入一种运算
定义：二阶行列式
a b ad bc c
d
=-，例如
525(3)(2)2112
3
-=⨯---⨯=--
下面我们用一种新方法来解二元一次方程组 [例]（教材苏科版七下P91）解二元一次方程组
524235{
x y x y -=-=-①
②
分析：方程①右边为常数为4，方程②右边为常数为-5；我们把方程①、②中未知数x 、y 的系数按照原来的位置，构成二阶系数行列式
5223
--；把系数行列
式中x 的系数所在列5
2换成方程①、②中常数45-，可得行列式
4253---；把系数行列式
中y 的系数所在列2
3
--换成方程①、②中常数45
-，可得行列式
5425
-，根据行列式计算
方法，可得
525(3)(2)2112
3
-=⨯---⨯=--；
4243(2)(5)2253
-=⨯---⨯-=---（）；
545(5)423325
=⨯--⨯=--。

解：方程组的二阶系数行列式做相应的常数替换；方程组的解可以表示为：
4
2
5322
2521123x ----=
==--- 54
2
533
352112
3
y --===--- 所以方程组的解为
23{
x y ==
此种解法所得答案和课本结果一样，注意未知数求解的表示中，分母都为二阶系数行列式， 求x 时只需把二阶系数行列式中的未知数x 的系数换为对应方程的常数后作为分子，求y 时只需把二阶系数行列式中的未知数y 的系数换为对应方程的常数后作为分子，可以求解方程组的解。

（学生感到惊奇，非常想用新方法一试身手。

）通过新解法的呈现，激发了学生的求知欲望。

请你仿照上述解法解方程组（教材苏科版七下P90例2）
21325{
x y x y +=-=①
②
几位学生按照新解法很快求解出方程组的解
321
4
{
x y =
=-。

并和课本例题答
案对照，结果一样。

（学生快乐地学习，感觉到成功的喜悦）“很好，你们真棒﹗”我适时给学生鼓励和表扬，接着我又提出问题：“由上面解二元一次方程组解的表达式，若二元一次方程组有解，解是由什么决定的？你对二元一次方程组的解有何新的认识？”
（几位学生讨论后认为若二元一次方程组有解，解是由二元一次方程组本身的系数和常数唯一决定的。

）
很好，请你用上述方法解二元一次方程组
245
489
{x y x y +=+=①
②
学生用新方法解题
54
984?240
48
x ===
（学生说：“咦，分母怎么为0了，未知数x 值算不出来啊。

” 学生产生困惑）
解题产生了矛盾，撞击学生思维的火花，进一步激发了学生的求知欲和探索欲望。

这时我适时引导学生说：“刚才我们解题的时候，虽然我们没有判断系数行列式的值是否为0；实际上它们系数行列式分别为
5211023
-=-≠-；
128032
=-≠-，
都不为0，所以我们可以把解唯一地表示出来，而
245
489{
x y x y +=+=①
②的系数
行列式24048
=，此时方程组可能无解，也可能有无穷多个解。

”接着我继续提问
由上面两个方程组：
1、你认为二元一次方程组满足什么条件时有唯一解？
学生讨论后回答：“二元一次方程组二阶系数行列式不为0时，方程组唯一解。

” 2、系数行列式为0时，方程组可能无解，也可能有无穷多个解，那么什么时候
无解？什么时候有无穷多个解？请你继续考察方程组
245489{x y x y +=+=①
②
我们把①式两边同乘以2，得方程4810x y +=，这与②式489x y +=相矛盾，此时方程组无解。

计算后知道系数行列式
24048
=，
用两方程的常数替换未知数x （或y ）后得到行列式
5498
，计算
5498
的值是否为0 ？你有何结论？
学生计算讨论后回答：
544098
=≠，若
24048
=，且常数替换未知数x 后得到
行列式
54098
≠，方程组无解。

3、请继续考察方程组
235
6915
{x y x y -=-=①
②
我们首先计算系数行列式
232(9)(3)6069
-=⨯---⨯=-,
我们把①式两边同乘以3，得方程6915x y -=，这与②式6915x y -=完全相同，两个二元一次方程实际上是同一个二元一次方程了，由于一个二元一次方程有无穷多解,所以此时方程组有无穷多解。

首先我们通过计算后知道系数行列式
23069-=-，
用两方程的常数替换未知数x （或y ）的系数后得到行列式53
159
--，
计算
53
159
--的值是否为0 ？你有何结论？
学生计算讨论后回答：
53
0159
-=-，若
23069
-=-，且常数替换未知数x 的系
数后得到行列式
53
0159
-=-，方程组有无穷多解。

4、由上面的探索，你能否归纳并叙述出对于一般的二元一次方程组
111222
{a
x b y c a x b y c +=+=①②
的各系数及常数，满足什么条件时 (1) 二元一次方程组有唯一解； (2) 二元一次方程组有无穷多解； (3) 二元一次方程组无解；
（这对学生是一个挑战，学生的思维得到进一步的升华和提高，培养学生归纳总结的能力）
我留给每位学生充足的思考探索时间，培养他们独立思考的能力；然后互相交流讨论，达成共识，培养合作学习的意识。

这样即便有学生独立思考问题后可能还没能归纳出结果，但是经自己的思考带着问题去听其他同学的解答，分析自己的思路，突破难点，这样可提高他本人分析解决问题的能力。

在学生讨论交流的时候，我参与到讨论过程中去，以学生现有的知识水平共同和学生归纳总结，并及时给学生以引导和鼓励。

学生经独立思考，交流合作达成共识得到结论。

1)
11
22
0a b a b ≠ ，二元一次方程组有唯一解； (2)
11
22
a b a b =且 11220c b c b =，二元一次方程组有无穷多解；
(3) 11
22
0a b a b =且
11220c b c b ≠，二元一次方程组无解；
（上述总结的结果不易记忆，我引导学生改写结论）我们知道若
11
22
0a b a b ≠，即12
21a b a b ≠，也就是11
2
2
a b a b ≠；
11
22
0a b a b =，即12
21a b a b =，也就是11
2
2
a b a b =；为
了记忆上的简洁，我们可以把上述结果表述为 结论：对于一般的二元一次方程组
111222
{a
x b y c a x b y c +=+=①②
我们有 (1)
1122
a b
a b ≠ ， 二元一次方程组有唯一解； (2)
111222
a b c
a b c == ， 二元一次方程组有无穷多解； (3)
111222
a b c
a b c =≠ ， 二元一次方程组无解； 我们已探索总结出二元一次方程组三种解的情况所需的条件，学以致用，用所探究的知识解决问题“当m ，n 取什么值时，方程组
2356{x y x my n +=+=①
②
有唯一解？有无穷多解？无解？ 解：(1)
23
6m ≠ 即9m ≠， 二元一次方程组有唯一解； (2) 2356m n
== 即9,15m n == ， 二元一次方程组有无穷多解；
(3) 111222
a b c
a b c =≠ ，即9,15m n =≠ 二元一次方程组无解；
为了培养学生学习数学的兴趣，激发他们的求知欲，我给学生引入一种新的解二元一次方程组的方法，在求解的过程中产生矛盾，撞击他们思维的火花，围绕矛盾我设置由浅入深的问题，直至得出最后结论，并用所学知识解决自己提出的问题。

学生经历探索、独立思考、合作讨论、总结归纳等数学活动和思维过程，感受获取知识和运用知识的快乐，学生的认知能力得到提高，充分尊重学生的学习主体地位。

教学效果远比简单地告诉更能激起学生学习的兴趣和对知识的追求。

在此引导过程中，我采用启发式教学，鼓励表扬学生，同时也提高自己的教学水平，达到教学相长的效果。