由一道习题引发的思考

由一道习题引发的思考

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由一道习题引发的思考

—探索二元一次方程组解的情况

内容摘要：对一道二元一次方程组解的情况习题，是简单地呈现最后的结果？还是给学生讲解理由？我选择了后者，首先引入一种新的解二元一次方程组的方法，在求解的过程中产生矛盾，撞击学生思维的火花；围绕矛盾设置由浅入深的问题，直至得出最后结论，并用所归纳的结论解决问题。学生经过探索、独立思考、合作讨论、总结归纳等数学活动和思维过程认知能力得到提高。同时也使自己的教学水平提高，达到教学相长的效果。 关键词： 系数行列式； 解的情况； 唯一解；无穷多解 ；无解

一、情景描述

苏科版七年级教材下册10.3解二元一次方程组，运用代入、加减消元法求解二元一次方程组，例题和习题中的方程组都是有解的，教材没有对二元一次方程组解的情况讨论。在辅导课上，徐渺，吕园等几位同学问我一个问题，题目内容是“当m ，n 取什么值时，方程组

2356{x y x my n +=+=①

②

有唯一解？有无穷多解？无解？”

他们说看不懂题目，不知道题目是什么意思。如何解答这个问题？是直接告诉结论把答案呈现给他们，还是给他们讲解理由？若讲解如何才能让他们理解透彻？ 二、反思与分析

为了解决上述问题，进一步提高学生的认知能力，根据七年级学生的心理特征和认知特点，我给他们提供了当二元一次方程组有解时的另一种解法。首先我们引入一种运算

定义：二阶行列式

a b ad bc c

d

=-，例如

525(3)(2)2112

3

-=⨯---⨯=--

下面我们用一种新方法来解二元一次方程组 [例]（教材苏科版七下P91）解二元一次方程组

524235{

x y x y -=-=-①

②

分析：方程①右边为常数为4，方程②右边为常数为-5；我们把方程①、②中未知数x 、y 的系数按照原来的位置，构成二阶系数行列式

5223

--；把系数行列

式中x 的系数所在列5

2换成方程①、②中常数45-，可得行列式

4253---；把系数行列式

中y 的系数所在列2

3

--换成方程①、②中常数45

-，可得行列式

5425

-，根据行列式计算

方法，可得

525(3)(2)2112

3

-=⨯---⨯=--；

4243(2)(5)2253

-=⨯---⨯-=---（）；

545(5)423325

=⨯--⨯=--。

解：方程组的二阶系数行列式做相应的常数替换；方程组的解可以表示为：

4

2

5322

2521123x ----=

==--- 54

2

533

352112

3

y --===--- 所以方程组的解为

23{

x y ==

此种解法所得答案和课本结果一样，注意未知数求解的表示中，分母都为二阶系数行列式， 求x 时只需把二阶系数行列式中的未知数x 的系数换为对应方程的常数后作为分子，求y 时只需把二阶系数行列式中的未知数y 的系数换为对应方程的常数后作为分子，可以求解方程组的解。（学生感到惊奇，非常想用新方法一试身手。）通过新解法的呈现，激发了学生的求知欲望。 请你仿照上述解法解方程组（教材苏科版七下P90例2）

21325{

x y x y +=-=①

②

几位学生按照新解法很快求解出方程组的解

321

4

{

x y =

=-

。并和课本例题答

案对照，结果一样。（学生快乐地学习，感觉到成功的喜悦）“很好，你们真棒﹗”我适时给学生鼓励和表扬，接着我又提出问题：“由上面解二元一次方程组解的表达式，若二元一次方程组有解，解是由什么决定的？你对二元一次方程组的解有何新的认识？”

（几位学生讨论后认为若二元一次方程组有解，解是由二元一次方程组本身的系数和常数唯一决定的。）

很好，请你用上述方法解二元一次方程组

245

489

{x y x y +=+=①

②

学生用新方法解题

54

984?240

48

x ===

（学生说：“咦，分母怎么为0了，未知数x 值算不出来啊。” 学生产生困惑）

解题产生了矛盾，撞击学生思维的火花，进一步激发了学生的求知欲和探索欲望。这时我适时引导学生说：“刚才我们解题的时候，虽然我们没有判断系数行列式的值是否为0；实际上它们系数行列式分别为

5211023

-=-≠-；

128032

=-≠-，

都不为0，所以我们可以把解唯一地表示出来，而

245

489{

x y x y +=+=①

②的系数

行列式24048

=，此时方程组可能无解，也可能有无穷多个解。

”接着我继续提问

由上面两个方程组：

1、你认为二元一次方程组满足什么条件时有唯一解？

学生讨论后回答：“二元一次方程组二阶系数行列式不为0时，方程组唯一解。” 2、系数行列式为0时，方程组可能无解，也可能有无穷多个解，那么什么时候

无解？什么时候有无穷多个解？请你继续考察方程组