若干重要不等式的推广及应用【文献综述】

毕业论文文献综述
数学与应用数学
若干重要不等式的推广及应用
一、 前言部分
众所周知，不等式作为数学本身的一个组成部分以及一种重要的推理工具，被广泛地应用到数学的各个领域，尤其在分析学中，如偏微分方程、Sobolev 空间等学科进行估值时，不等式的作用更是不可替代。

不等式存在于数理科学的方方面面，无处不在。

而其中一些不等式如Hadmard 不等式、Abel 不等式、Janous 不等式更在数学的理论基础理论的创建、延伸、和应用上起着非凡的作用，这使得不等式的研究成了当前数学研究的一个热点。

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。

通过大量文献，我们可以归纳以下几个重要不等式。

1．著名的Hadamard 不等式可表述为[]1：
R b a f →],[:是连续凸函数，则 ()()()≥+b f a f 2
1 ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-b a
b a f dx x f a b 21。

2． Abel 不等式[]2：
设,,......2,1,0,0n i b a i i =>>∑∑==>->-n
i i i n i i i b b a
a 2
22222
,0,0则 ,))((2
2222222∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--n i n i n i i i i i i i i i b a b a b b a a
等号当且仅当n
n b a b a b a ===...2211时成立。

3．Janous 不等式[]3：
设ABC ∆的边BC ，CA ，AB ，与面积分别为a,b,c,∆,记任意一点P 到顶点
A ，
B ，
C 的距离PA ,32,R R 分别为321,,R R R ,则
()()()∆≥+++++8321R b a R a c R c b
等号仅当ABC ∆为正三角形且P 为其中心时成立。

从大量文献中我们可以发现这些重要不等式几乎渗透到数学的各个领域而且处处扮演着精彩的角色，原因在于他们不仅能深刻地描述许多数学量之间的内在本质关系，得到所需要的结论，还能把许多已有的从不同方法得来的不等式用一种统一的方法简便地推导出来，它们也是推广已有的不等式，发现新的不等式的一种强有力的工具，在其他各种应用性较强的学科或领域中的应用，更加显示了它迷人的魅力。

我们无法想象没有Hadamard 不等式、Abel 不等式、Janous 不等式以及其他一些不等式的数学将会是什么状况。

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，灵活应用这些不等式，可以使一些较为复杂的问题迎刃而解，一套数学理论甚至往往最终归结为一个不同寻常的不等式，但是在不同的场合，不同的问题上我们会发现这些不等式还存在一定的局限性，因此我们需要探讨这些重要不等式还可以在哪些场合发挥他们的重要作用，是否还可以进一步的推广。

二、 主题部分
众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因此有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。

数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。

目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者边部世界各个国家。

在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的时间，分别是Chebycheff 在1882年发表的论文和1928年Hardy 任伦敦数学会主席届满时的演讲。

Hardy ，Littlewood 和Play 的著作Inequalities 的前言中对不等式的哲学给出了有见地的见解；一般来讲初等的不等式应该有初等的证明，证明应该是“内在”的，而且应该给出等号成立的证明。

A.M.Fink
认为，人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式。

Hardy认为，基本的不等式是初等的。

自从著名数学家G.H.Hardy，J.E.Littlewood和G.Plya的著作Inequalities于1934年出版以来，数学不等式理论极其应用的研究正式粉墨登场，成为一门新兴数学学科，从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合，它已发展成为一套系统的科学理论。

20世纪70年代以来，国际上每四年在德国召开一次一般不等式国家学术会议，并出版专门的会议论文集。

不等式理论也是2000年在意大利召开的第三界世界非线性分析学家大会的主题之一。

2000年和2001年在韩国召开的第6届和第7届非线性泛涵分析和应用国际会议与2000年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式作为主要的议题安排在会议日程之中。

20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。

20世纪80年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮，在代数不等式方面，王挽谰教授对Fanky不等式的深入研究达到国际领先水平。

祁锋教授极其领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在《中国科学》上的论文《一个不等式极其若干应用》[]4，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为“一个杰出的非凡的新的不等式”，现在称之为胡克不等式，胡克教授对这个不等式极其应用作出了系统而深刻的研究。

[]5
历史上，华人数学家在不等式领域作出过重要贡献，包括华罗庚，林东坡，徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家。

最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论极其应用的领域，他们在相关方面做出了独特的贡献，引起国内外同行的注意和重视。

例如：王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、杨国胜教授等。

目前国内关于数学不等式理论极其应用的研究也有较丰富的成果。

例如匡继昌的专著《常用不等式》一书由于供不应求，在短短的几年内已经出版了第2版，重印过多次。

对于数学专著来讲，这是少有的现象。

第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的《矩阵论中不等式》。

另外，国内还有一个不等式研究小组比较活跃，主办一个《不等式研究通讯的内部交流刊物。

在众多的科研问题中，我们常常需要进行估值计算。

估值的精度直接影响到我们研究结
果的成败。

不等式是我们进行估值的重要工具，因此要求在熟悉若干重要不等式的基础上，研究这些不等式可否进一步推广，这些工作对于我们来说是困难的，可喜的是从大量文献中我们可以得到这几个重要的不等式的推广和应用。

1． Hadarmard 不等式的推广和应用[][]96-
（1）推广：
1.1定理：设R b a f →],[:是连续凸函数，函数
()x f k 满足()()[](),.....3,2,1,,,=∈∀=k b a x x f dx
x f d k k k 记()()()()∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k
j k j k k k k k b j k ja f j a b k b a G 0,1,则有
()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥≥≥≥=-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎰-2......,......,224111b a f b a G b a G dx x f a b b a f b f a f k b a
1.2定理:设()()(),,,02b a x x f n ∈≥f 在[]b a ,上连续，则
()()∑-=≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+102222!121n k k k b a f a b k ()⎰≤-b a
dx x f a b 1 ()()()()()()()[]
∑-=-++-2201!121n k k k k k b f a f k a b 1.3定理：设(){}I b a I x I x x f k ∈⊂∈∀≥'',,,,0，
()()()()⎰-==x
k
k k dt t f x f x f x f ,,10则有 ()()()()⎰=-≥+b
a dt t f a
b b f a f 121
()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥≥≥≥2...,....,1b a f b a F b a F k
（2）应用
1.4 推论： 设R b a f →],[:是中点凸函数，即 ()()(),2
12y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ [][]........,2,1,,,,,n i b a x b a y x i =∈∈∀
记 ∑≤≤≤≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n i i ik i k n k k x x f k n f ....11,1...1 ， 则有 n n k n n n f f f f ,,2,1,......≥≥≥≥≥
1.5推论：设[]
()b a S k p ,为两个正实数b a ,的k 重p 阶Stolarsky 平均,则当2<p 时， ≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++----11
1112241p p p p b a b a
[
]()()[
]()≤≤≤=b a S b a S b a S k p p p ,...,,12
....b a +≤成立， 当2=p 时，取等号成立；当2>p 时，不等号反向成立。

注：当1,0=p 时又可以得到关于[]()[]()b a E b a L k k ,,,所满足的不等式链
()[]()b a E b a L k ,,,以及()b a S p ,是数学中极其重要的几种平均，且它们有着广泛的实际意义，因此通过Hadamard 不等式来推广这些平均是很有意义的课题。

2． Abel 不等式的推广和应用
[][]1210-
(1) 推广
2.1定理：设∑∑==≥==>->>m j j n i pj ij pj
ij j ij p m j n i a
a p a 12
11,,....2,1,....2,1,0,0,0 则 ∏∏∑∏∑=====-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m j m j n i m j ij ij p n j pj ij pj ij a a a a j 1121
12，等号当且仅当在
∑==m
j j p 111且,....3,2,...1121211111m j a a a a a a pj nj p n pj j p pj j p ====时成立。

2.2 引理: 设,1,....,2,1,1,0,0>=≥>>n n i p x i i λ则 ∏=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i n n i i n i x x x x 1 (21)
21,......21λλλλλλλλ 等号当且仅当n n x x x λλλ=== (2)
211时成立。

2.3定理：设()()()(),det ,det ,0,022⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥>>⎰⎰b a j i b a j i dx x g x g G dx x f x f F G F ()n j i ...2,1,=，则不等式
()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰b a j i b a j i dx x g x g G dx x f x f F det .det 22
()()2det ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎰b a j i dx x g x f FG (2)应用
2.4推论:在定理2.1中，令,.....2,1,,,,22121n i b a a a p p m i i i i =====便可得到Abel
不等式；特别地，在定理中令p p p p m ====...21即可得到著名的Popoviciu 不等式的推广形式。

2.5推论：设∑=≤<==>->n i pj j pj j ij m p m j n i a a
a 211,0,,...,2,1,,...,2,1,0,0则 ∏∏∑∏∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-m j p
m j n i m j ij ij n i p ij p j a a a a 112121成立； 在上述不等式中，令
,...2,1,,,221n i b a a a m i i i i ====便可得到Popoviciu
不等式。

3． Janous 不等式的推广和应用[][]1513-
（1） 推广
3.1定理 : 设ABC ∆与C B A '''∆的面积分别为∆'∆,。

又P 为任意一点，Q 为C B A '''∆内部
任一点，Q 到B A A C C B '''''',,的距离分别为,,,321d d d 则 ∆'
∆≥+++++12321213132d R R d R R d R R ，等号当且仅当ABC ∆，C B A '''∆ 均为正三角形且P 与Q 分别为它们的中心时成立。

3.2引理 :设ABC ∆与C B A '''∆的面积分别为∆'∆,，则对任意一点P 有 ∆'∆≥'+'+'4321R c R b R a ，等号当且仅当ABC ∆与C B A '''∆为相似的锐角三
角形，且P 为ABC ∆的垂心时成立。

3.3 不等式加强：()()();2222222321b a a c c b R b a R a c R c b ++≥+++++ 4211332≥+++++c
b a m R R m R R m R R ，其中,,,
c b a m m m 为相应边上的中线。

（2） 应用
3.4推论：设ABC ∆的边B A A C C B '''''',,分别为,,,c b a '''其符号同上，则对任
意一点P 有()()()[]∆'∆≥+'++'++'242211332R R c R R b R R a
特别地，令ABC ∆为正三角形，则又可得 3.5推论：对ABC ∆与任一点P 有4183
21133236∆⋅≥+++++-R R R R R R
从文献和学者的工作中我们可以发现，今后不等式的研究，可以从以下4个方面考虑：
1)推广和改进现有的不等式；2)建立新的不等式；3)扩大不等式的应用范围，4)探索不等式的证明方法。

研究的领域可以总结为:1)如何用不等式去刻划各种函数空间，2)在函数论， 特别是函数逼近论中，有正定理，即从函数F 的构造性质去推断最佳逼近收敛速度，以及逆定理，3)在概率中许多定律是通过不等式陈述的，因此概率统计中的不等式的研究一直是人们关注的热点之一，4)用不等式估计各种问题近似解的误差，5)几何学中的不等式，应该特别关注凸体理论和等周不等式，6)线性规划（运输调配、生产安排、产品用料配方、经济计划等）归结为一个线性函数。

[]16
要追寻一个众所周知的不等式的起源常常是很困难的，很可能它是在一篇关于几何学或
天文学方面的论文作为一个辅助命题（通常缺乏明确的论证）首先出现的。

过了若干年之后，它或许又被许多其他作者重新发现，但可能始终缺乏容易理解且十分完善的叙述。

我们总会发现，即使对于那些最著名的不等式，也还是可以添加一些新的内容。

就象上述的一些不等式的推广和应用，反映了这些数学家孜孜不倦的辛劳和他们的用心，他们的注意力不只限于他们当时所考虑的问题。

从普遍性和完整性的角度，使得他们对这些不等式进行不懈的思考，终于完成推广、扩大其应用范围，使之臻于完善，在我们看来这的确是一项艰难的工作。

著名分析学家Michiel Hazewinkel在他的书中写到：“有时我有这样的感觉，数学（特别是分析学）就是不等式”。

不等式理论在未来的作用可见一斑。

目前，对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家，而不等式的作用越来越明显，相信对于这些不等式的研究将会继续持续下去。

三、总结部分
作为数学的一个重要分支，不等式有着悠久的发展历史和极其丰富的内容。

由其悠久的发展历史可以发现数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达，而且已得到突飞猛进的发展。

作为一种基本的工具，不等式在数学学科与其它科学技术领域都有广泛的应用。

Hadarmard不等式、Abel不等式以及Janous不等式都是非常重要的不等式，在数学分析中有着广泛的应用，对于促进现代数学的发展起到了非常重要的作用，本文主要介绍了它们的基本形式、推广形式以及几个常见应用。

在数学分析、调和函数、分析函数和偏微方程等学科中上述不等式的身影处处可见，是使用得最为频繁，最为广泛的知识工具。

本文的目的就是通过对这3个不等式的推广及应用相关内容的整理归纳，使人们能够更加清楚的认识到它们的作用。

最后通过文献了解到不等式的研究前景和范围是极其广泛的，由此了解重要不等式的研究前景是十分广阔的。

四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）、
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