第八章猜想与反驳课件

3.归纳猜想是数学素养的重要组成 归纳猜想不仅在数学学习中起着重要的作 用, 在日常生活和工作中, 也是人们必不可 少的能力. 通过观察一些表象问题, 从中概 括归纳一般规律, 猜想事物的本质. 这是人 们认识世界和改变世界的必要手段. 对于学 校教育中的学生来说, 归纳猜想则是必不可 少的数学素养之一。应当引起数学教育和 学校教育的足够重视.
有人也许会由此得出结论: 每增加一条直线就增加 两块面积。于是a3=6,a4=8, ⋯ an=2n. 或者认为平面块数将成倍增加, 于是an等于a的n 次方。这些猜想是否正确？ 当然, 可以肯定至少 有一个是错的。 先用n=3 验证。当n=3时, 可能出现三种情况: 若 若三线共点, 则平面被分成3 块; 若有两直线平行, 则平面也被分成3 块; 若三直线两两相交, 并且无 公共交点, 则平面被分成7块; 故a3=7;上述两个猜 想都被否定了。
1.归纳猜想的一般过程 归纳是数学的基本思考方式也是做数学的 基本功 。在我们的生活和学习过程中, 归纳 猜想起着重要的作用. 许多的规律、数学定 理和概念等都是人们通过归纳猜想, 然后进 行演绎证明所确立的.
当遇到一个问题情境, 我们首先对此情境进 行认真观察，选择几个特殊的案例, 进行比 较、试验, 试图发现蕴含着的数学模式;许多 重要的数学发现就是在这个过程中闪现出 来的, 此时 归纳猜测就形成了, 也就是在问 题解决者的头脑中, 本质的事物已经出现. 通过形式化、符号化, 进行数学表达, 那么 数学猜想也就完成了.
另一方面就是: 学生从他所了解的 一般看出 特殊或者具体的例子……也就是从一般可 以归纳特殊。 例如NCT M 在《中学数学教学》中设计了 这样一个例子:
例2 在一个3 × 3 的方格图案中, 除了中 间的格子之外,其余8 个小格子都涂上了阴 影( 如图3) . 如果有一个25 × 25的方格图 案, 四条边上的小格子都涂上了阴影, 那么 有多少块小方格涂上了阴影? 如果是一个n × n 的方格图案呢?
对于数学理解层次较高的学生来说, 可以鼓 励使用形式化的归纳猜想; 然而, 对于一般 学生来说, 结合具体情境比较合适, 因为形 式化的归纳相对比较抽象, 如果理解不透彻, 即使从数与数之间的关系归纳出数学模式, 但是对于问题中的数量关系不一定理解, 这 就成了 “夹生饭”, 不利于学生进行创造、 发现, 因此, 在使用形式化归纳时要小心谨 慎.
3.一些数学概念和规律是由类比的方法而建 立或发现的. 通过对旧知识的回忆、类比可以使学生猜 想出新授知识的内容、结构、研究思想与 方法。如学习立体几何空间两直线的位置 关系时, 首先启发学生回顾平面内两条直线 的位置关系进行类比联想:
先由平面中两条直线的位置关系平行或相 交. 设问空间中两条直线的位置关系是否也 是只有平行与相交的两种关系?然后再出示 教具让学生通过观察进行联想, 类比, 引出 异面直线的定义, 归纳出空间两直线的位置 关系—— 相交、平行、异面.
第一节
归纳猜想
归纳猜想是数学素养的一个重要方面, 是合情推理 的表现形式之一。猜想——明智的猜想, 是发现的 主要途径而归纳是猜想的一个重要前提工作, 或者 二者是同步的. 从具体的问题情境, 发现规律, 然后 进行形式化、数学化, 这是数学发现的重要步骤. 在这个过程中, 学生的心理活动是丰富的, 而且, 正 是由于这样的过程, 学生的数学推理、问题解决和 数学创造等才逐步形成; 当这个过程相对比较成熟, 形成稳定的心理结构, 那么学生就获得了数学素养 重要的一个重要方面。
但是, 还要有最后一个环节：回到问题情境 中, 对已经得到的数学归纳猜想进行检验, 这是学生最容易遗忘, 然而必不可少的阶段. 只有通过检验, 归纳猜想才算有了初步的成 果, 至于结果的正确性, 还需要数学的演绎 推理进行证明, 这属于数学形式逻辑工作
这个过程是属于从特殊到一般的过程. 事实 上,在人们进行归纳过程中, 也存在从一般到 特殊的归纳. 克鲁捷茨基在《中小学生数学 能力心理学》 中描述了两种不同角度的 归 纳：一方面就是学生可以看出 一般的能力, 但是对于他来说有些还是不清晰和孤立 的……其意思就是从特殊中可以归纳一般, 正如我们上面所叙述的.
第二节
类比猜想
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1.类比方法, 是根据两个( 或两类) 对象之间 在某些方面的相同或相似而推出它们在其 他方面也可能相同或相似的一种逻辑思维 方法. 运用数学类比思维可以把陌生的对象和熟 悉的对象进行对比, 把未知的东西和已知的 东西相对比, 特别是在资料少, 还不足以进 行归纳推理和演绎思维的情况下, 类比可以 启发思路,提供线索.
第三节
反例反驳
数学离不开猜想，但猜想并不总是正确的， 著名的数学哲学家拉卡托斯(I.katos)把数学 发现的逻辑归结为“证明与反驳”，他 说:“非形式、准经验数学的生长靠的不是 单调增加的千真万确的定理的数目，靠的 是会想和批评，用证明和反驳的逻辑不断 地改进推测”.
反例是推翻错误命题和使猜想更加可信的 重要手段. 反例反驳在逻辑上的依据是:如果命题成立, 那么命题对一切特例成立;现在有一个特例 与命题矛盾，所以这个命题不成立。 否定一个猜想的反例应该具备两个条件:第 一，反例满足构成猜想的所有条件;第二， 反例的结论与猜想的结论矛盾。
在我们的数学研究过程中, 从特殊到一般的 归纳猜想是比较常使用的方法。也是是一 种重要的合情推理能力, 这是新课程对学生 提出的新的要求, 也是学生进行数学创造性 学习必不可少的能力.归纳猜想, 可以把具体 形象的情境和数学形式化结合在一起进行, 或者在形式化内部之间进行符号化的形式 抽象, 处理数学化的归纳猜想.
图5 表2
边
3 4
对角线
0 2
获得过程
( s - 3) s ÷ 2 ( s - 3) s ÷ 2
每个顶点引出的对 角线数目
0 1
5
5
( s - 3) s ÷ 2
2
6
9
( s - 3) s ÷ 2
3
虽然, 学生H 通过列举几个基本的简单图形 寻找模式, 她把相应的对角线的条数也在表格 中写了出来, 但是她并没有从形式化的数据上 进行归纳猜想.在她以往的数学认知结构中, 关于数据的归纳还没有形成, 所以, 她结合具 体图形, 寻找问题的解决方案. 她发现从多边 形的每个顶点出发, 引出的对角线和边数有关 系, 总是比边数少3条, 因此她寻找到了数学的 模式
例9平面分割问题: 若忽略直线上的点不计, 平面上的n条直线最多能将平面分割成多少 部分? n 条直线太复杂, 不妨先从简单的情况开始。 n=1时, 一条直线把平面分成两部分,如设n 条直线最多能将平面分成an块, 则有 a1=2,n=2 时, 有两种情况: 若它们平行, 则 平面被分成3块; 若不平行, 则平面被分成4 块,故a2=4 。
图3
其实, 这个例子和前面的例子类似, 许多学生也正 是从特殊到一般归纳猜想出结论的. 然而, 有个学 生并非如此, 他首先从一般情况考虑, 他指出: 我在 数3 × 3 的方格图案中发现, 第一条边有3 个阴影 方格, 第二条边少了1 个, 是2 个, 第三边类似, 第 四边就少了2 个( 如图4) , 所以我就推出: s + ( s 1) +( s - 1) + ( s- 2) = 4s -4, 那么对25× 25 的方 格图案, 只要s = 25 就可以了, 所以答案就是4 ������ 25- 4 = 96. 至于n × n 的情况, 只要把s 换成 n 就可以了……在我们的数学研究过程中, 从特殊 到一般的
3.符号、形式化的归纳猜想 符号化、形式化的归纳猜想可以脱离原问 题情境, 在数学思维的高层次寻找一般数学 模式, 在这个过程中, 归纳猜想常常是突然 地闪现出来, 这如同数学家的 灵感一样; 但 是对于一般的学校教育, 这样的归纳猜想也 时常发生, 对于培养学生的逻辑思维能力也 有很好的帮助. 前面讲过的例子我们都可以 使用抽象的形式归纳猜想,
2. 类比法具有两个特征：一是适用范围广, 可 以跨越各个种类进行不同类事物的类比, 既 可以比较本质的属性, 又可以比较非本质的 特征. 二是具有较强的探索性和预测性, 由此可见, 在数学教学中, 根据教材的特点, 运用类比 方法, 引导学生去探索和发现问题, 是培养 学生创新意识的有效途径.
再次类比猜想, 三棱锥的体积公式的推导是否 也可以类比三角形面积公的推导, 用补的方 法进行?通过以上的教学, 学生知道一个三 棱柱可以分割成体积相等的三个三棱锥, 反 之, 三棱锥可以补成等高的三棱柱, 而补上 取的两个三棱锥与原三棱锥体积相等, 从而 有三棱锥的体积是三棱柱体积的三分之一。
我们在学习和解决数学的问题时，若能充 分运用类比思想，就如同找到了学习上的 捷径，其功能就是能有效地提高学生的自 学及研究能力，从根本上提高学生的数学 能力，可使学生的学习轻松而高效。
归纳猜想就出现了: 假设边数为s, 则从每个 顶点出发的对角线的条数就是s - 3, 两者相乘, 得到s ( s - 3) , 然而对角线连结两个顶点, 所 以顶点都计算了两次, 要再除以2, 得到公式: ( s - 3) s ÷ 2. 她没有因此而结束, 接着她选 择了七边形进行了验证, 计算结果和事实一致, 这样她才得出最后的数学表达式:( s - 3) s÷2 这个公式当然需要演绎推理证明, 不过对于初 学代数的学生来说, 这已经足够了.
失败的原因在于观察的实例太少, 事物的本质尚未 充分暴露。再考虑n=4 的情况, 可得a4=11 不难发现a2=a1+2 , a3=a2+3 ; a4=a3+4 ; 于是可 以猜想an=an-1+n 。这一猜想是否正确? 对n=5 加以验证, 结果与猜想相符, 这使我们更加相信这 个猜想正确。因此应进一步探求证明猜想的方法。 这个猜想的证明并不很困难, 而且可以求得an的 一般表达式：an=1/2(n2+n+1)
从上述内容可以看出, 反例是推翻错误命题和使猜 想更加可信的重要手段.反例在数学中有着重大作 用, 它帮助人们不断清除错误的命题,保持数学的 纯洁性； 同时让猜想在经受反例挑战的过程中, 通过自身的修改调整, 不断增强其科学性。 通过一个反例作为论据否定猜想的方法叫做反例 反驳。反例反驳在逻辑上的依据是： 如果命题成 立, 那么命题应对一切特例成立； 现在有一个作 为反例的特例与命题矛盾,所以这个命题不成立。
再例如学习三棱锥的体积公式时, :首先 明确学习 目的, 三棱锥是最简单的多面体, 因此它的体积公 式的推导过程可以与最简单的多边形即三角形的 面积公式的推导过程进行类比, 从而得到三棱锥的 体积公式.其次回顾平面几何中推导三角形面积公 式设三角形ABC 的底边BC= a, BC 边上的高AD= h, 将三角形ABC 补成一个平行四边形BCB′A , 因 为补上的三角形与原三角形等底等高, 所以三角形 的面积应该是平行四边形的一半。
2.具体与形式相结合的归纳猜想 在问题解决中, 学生使用数学问题结构可以 进行合理归纳猜想. 把具体的问题情境和形 式的数学符号结合, 是重要的归纳猜想方式. 在归纳猜想中, 激发原有的图式—— 认知结 构, 同化新的数学知识, 或者顺应新的数学 情境, 是成功进行归纳猜想的重要过程.
再如NCT M 有这样一个问题情境: 例3 ������ 在一个凸八边形有多少条对角线?写出 表示凸n 边形对角线的条数的表达?( 此问题也出 现于我国初中新课程数学教科书)这个问题提供给 没有学过代数的学生. 显然,他们还不能脱离具体 情境, 因此, 许多学生首先画出几个简单的多边形 进行观察( 如图5) .与此同时, 画出表格帮助他们从 形式上进行分析. 例如有学生H 画出表2 来进行归 纳猜想.