傅里叶级数的应用和习题
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0
1 1 0 ( 1)n1 bn f ( x ) sin nx d x x sin nxdx . n
y
3 2
2
3
o
2
x
( x , x , 3 , )
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 先求傅里叶系数
1
y
o
x
1
(1) cos nx d x 0 1 cos nx d x
( n 0 , 1 , 2 , )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
设 f ( x ) 是周期为 2π 的周期函数，
且能展开成三角级数
a0 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx ) 2 k 1
π
(1) 求 a0 .
π
π
π a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx )]dx π 2 π k 1
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sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 3 9 4
说明:
1
y
o
1) 根据收敛定理可知,
x
11 时,级数收敛于 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
( n 1,2,3,).
傅里叶系数
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx , (n 1,2,) 1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 或 1 2 b n 0 f ( x ) sin nxdx , (n 1,2,)
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0
0
机动
同理可证 : sin k x sin n x d x
cos k x sin n x d x 0
(k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数:
f ( x ) A0 2 An cos nx .
n 1
1 2π 其中 An 0 f ( x) cos nxdx . 2π
1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数. 1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性
函数在一点的性质 周期函数(整体性质)
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
Fourier级数
三角级数 表达周期函数
(一)三角级数 表达周期函数
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
f ( t ) A0 An sin(nt n )
n 1 n 1
(二)、三角函数系的正交性
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
Leabharlann Baidu
1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx
( 3) 求 bn .
a0 f ( x ) sin nxdx sin nxdx 2
(利用正交性)
[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx ] bn ,
k 1
1 则 bn f ( x ) sin nxdx
2. 设 x ( π , π )
则有 是 f (x) 的间断点，
1 S ( x) [ f ( x 0) f ( x 0)] ; 2
3. 当 x π , π 时， 有
1 S ( x) [ f ( 0) f ( 0)] . 2
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
0
2 0
1 1 0 an f ( x ) cos nxdx x cos n x d x
1 x sin nx cos nx 1 cos n 2 n n n2
2 n 2k 1 2 , ( 2k 1) 0, n 2k ( k 1,2,)
得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.
在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 是分不开的. 1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为 三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展. 1822年,傅立叶在 « 热的解析理论»一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形 采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论.
4 u sin t
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
4 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
4 1 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t ) 3 5 7 9
设 定理(收敛定理, 展开定理) f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
4 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7 ( t , t 0)
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例2 设 f ( x ) 是周期为 2 π 的周期函数，它在上的
x, t 0 表达式为 f ( x ) 0, 0 x 将 f ( x ) 展开为傅里叶级数 .
11dx 2
cos 2 n x d x
2
sin 2 nx d x
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
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二、以2为周期的函数的傅里叶级数
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai , bi 是什么？ 2. 展开的条件是什么?
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点 x (2k 1)(k 0, 1, 2,) 处不连续.
收敛于
f ( ) 0 . 2 2 2
在连续点 x ( x ( 2k 1)) 处收敛于 f ( x ).
1 1 1 x , a0 f ( x )dt xdt 2 2
傅立叶指出: 任意定义在(π , π ) 上的有界函数 f ( x)
可以展开成级数
a f (x ) ~ (a cos nx b sin nx ) . 2
0 n 1 n n
其中
1 π a n π f ( x) cos nxdx (n 0,1,2...), π 1 π bn π f ( x) sin nxdx (n 1,2...). π
π k 1
(利用正交性)
[ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ]
an cos 2 nxdx an,
1 则 an f ( x ) cos nxdx
( n 1,2,3,).
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
简介 目录 上页 下页 返回 结束
2
即
1. 设 x0 (π , π ) 是 f ( x) 的连续点， 则有
a0 S ( x ) : (an cos nx bn sin nx) f ( x ) ; 2 n 1
谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2 a0 (an cos nx bn sin nx ) 称为三角级数. 得级数 2 n 1
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题: 在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明. 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
1
0
1
0
(1) sin nx d x 0 1 sin nxdx
0
1
0
1
2 1 cos nx 1 cos nx 0 n 1 cos n n n 4 2 n , 当 n 1 , 3 , 5 , 1 (1) n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin(2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , ) 4
机动
1
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物理意义
4 1 1 f ( x ) [sin x sin 3 x sin(2k 1) x ] 3 2k 1 ( x ; x 0, π,2π,). u
1
o
1
t
不同频率正弦波逐个叠加成方波
4 4 1 4 1 4 1 sin t , sin 3t , sin 5t , sin 7 t , 3 5 7
π π a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx π 2 π π k 1 k 1 π
a0 2 , 2
1 π 则 a0 f ( x )dx . π π
( 2) 求 an .
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2
第五节
傅里叶级数
一、三角级数,三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数或余弦级数
一.三角级数
u ( x) x
n
n
三角函数系的正交性
在高等数学学习当中，接触两类基函数：
n
1,x,x ,x x
2 3 n
sin nx u ( x) 1, sin x,cos x,sin 2 x,cos 2 x sin nx , cos nx cos nx
1 1 0 ( 1)n1 bn f ( x ) sin nx d x x sin nxdx . n
y
3 2
2
3
o
2
x
( x , x , 3 , )
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 先求傅里叶系数
1
y
o
x
1
(1) cos nx d x 0 1 cos nx d x
( n 0 , 1 , 2 , )
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设 f ( x ) 是周期为 2π 的周期函数，
且能展开成三角级数
a0 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx ) 2 k 1
π
(1) 求 a0 .
π
π
π a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx )]dx π 2 π k 1
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sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 3 9 4
说明:
1
y
o
1) 根据收敛定理可知,
x
11 时,级数收敛于 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
( n 1,2,3,).
傅里叶系数
1 an f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) b 1 n f ( x ) sin nxdx , (n 1,2,) 1 2 an 0 f ( x ) cos nxdx , ( n 0,1,2,) 或 1 2 b n 0 f ( x ) sin nxdx , (n 1,2,)
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0
0
机动
同理可证 : sin k x sin n x d x
cos k x sin n x d x 0
(k n )
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时, 大胆地采用了三角级数表示函数:
f ( x ) A0 2 An cos nx .
n 1
1 2π 其中 An 0 f ( x) cos nxdx . 2π
1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数. 1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性
函数在一点的性质 周期函数(整体性质)
f ( x ) a n ( x x0 ) n
n 0
Fourier级数
三角级数 表达周期函数
(一)三角级数 表达周期函数
简单的周期运动 :
复杂的周期运动 :
f ( t ) A0 An sin(nt n )
n 1 n 1
(二)、三角函数系的正交性
1, cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x ,cos nx , sin nx ,
正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:
Leabharlann Baidu
1 cos nxd x 1 sin nxd x 0 cos k x cos nx dx
( 3) 求 bn .
a0 f ( x ) sin nxdx sin nxdx 2
(利用正交性)
[ak cos kx sin nxdx bk sin kx sin nxdx ] bn ,
k 1
1 则 bn f ( x ) sin nxdx
2. 设 x ( π , π )
则有 是 f (x) 的间断点，
1 S ( x) [ f ( x 0) f ( x 0)] ; 2
3. 当 x π , π 时， 有
1 S ( x) [ f ( 0) f ( 0)] . 2
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
0
2 0
1 1 0 an f ( x ) cos nxdx x cos n x d x
1 x sin nx cos nx 1 cos n 2 n n n2
2 n 2k 1 2 , ( 2k 1) 0, n 2k ( k 1,2,)
得到了将函数表示成三角函数时的系数. 也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.
在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 是分不开的. 1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为 三角级数的形式, 这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展. 1822年,傅立叶在 « 热的解析理论»一书中 对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形 采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论.
4 u sin t
4 1 u (sin t sin 3t ) 3
4 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t ) 3 5
4 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7
4 1 1 1 1 u (sin t sin 3t sin 5t sin 7t sin 9t ) 3 5 7 9
设 定理(收敛定理, 展开定理) f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
4 1 1 1 u( t ) (sin t sin 3t sin 5t sin 7t ) 3 5 7 ( t , t 0)
傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.
例2 设 f ( x ) 是周期为 2 π 的周期函数，它在上的
x, t 0 表达式为 f ( x ) 0, 0 x 将 f ( x ) 展开为傅里叶级数 .
11dx 2
cos 2 n x d x
2
sin 2 nx d x
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
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二、以2为周期的函数的傅里叶级数
问题: 1. 若函数能展开成三角级数，ai , bi 是什么？ 2. 展开的条件是什么?
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点 x (2k 1)(k 0, 1, 2,) 处不连续.
收敛于
f ( ) 0 . 2 2 2
在连续点 x ( x ( 2k 1)) 处收敛于 f ( x ).
1 1 1 x , a0 f ( x )dt xdt 2 2
傅立叶指出: 任意定义在(π , π ) 上的有界函数 f ( x)
可以展开成级数
a f (x ) ~ (a cos nx b sin nx ) . 2
0 n 1 n n
其中
1 π a n π f ( x) cos nxdx (n 0,1,2...), π 1 π bn π f ( x) sin nxdx (n 1,2...). π
π k 1
(利用正交性)
[ak cos kx cos nxdx bk sin kx cos nxdx ]
an cos 2 nxdx an,
1 则 an f ( x ) cos nxdx
( n 1,2,3,).
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
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2
即
1. 设 x0 (π , π ) 是 f ( x) 的连续点， 则有
a0 S ( x ) : (an cos nx bn sin nx) f ( x ) ; 2 n 1
谐波分析
A0 ( An sin n cos nt An cos n sin nt )
a0 令 A0 , an An sin n , bn An cos n , t x , 2 a0 (an cos nx bn sin nx ) 称为三角级数. 得级数 2 n 1
代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数
a0 (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
问题: 在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?
a0 f ( x ) 条件 ? (a n cos nx bn sin nx ) 2 n1
狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性 给出了严格的证明. 得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.
1
0
1
0
(1) sin nx d x 0 1 sin nxdx
0
1
0
1
2 1 cos nx 1 cos nx 0 n 1 cos n n n 4 2 n , 当 n 1 , 3 , 5 , 1 (1) n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin(2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , ) 4
机动
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物理意义
4 1 1 f ( x ) [sin x sin 3 x sin(2k 1) x ] 3 2k 1 ( x ; x 0, π,2π,). u
1
o
1
t
不同频率正弦波逐个叠加成方波
4 4 1 4 1 4 1 sin t , sin 3t , sin 5t , sin 7 t , 3 5 7
π π a0 dx ak cos kxdx bk sin kxdx π 2 π π k 1 k 1 π
a0 2 , 2
1 π 则 a0 f ( x )dx . π π
( 2) 求 an .
a0 f ( x ) cos nxdx cos nxdx 2
第五节
傅里叶级数
一、三角级数,三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数或余弦级数
一.三角级数
u ( x) x
n
n
三角函数系的正交性
在高等数学学习当中，接触两类基函数：
n
1,x,x ,x x
2 3 n
sin nx u ( x) 1, sin x,cos x,sin 2 x,cos 2 x sin nx , cos nx cos nx