泰勒公式的讲解

y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x
x4 4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0
fxy( 0, 0)
lim f x (0, y) f x (0, 0)
y 0
y
l i m y
y0 y
1
二 者
x
x
f22
1
y2 )
y2 f12 y3 f22 y2 f2
u x, v x y
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例设
2w
求
. xz
f 具有二阶连续偏导数,
解 w x
f2 yz
y z f2 (x y z, x yz)
2w
x z z ( f1) z ( yz f2 )
f12 x y
f22 x y
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
3 x2 r5
利用对称性 , 有
2u
1
3 y2 ,
y2
r3
r5
2u
1 3 z2
z2
r3
r5
2u x2
2u y2
2u z2
3 r3
3(
x2
y2 r5
z2
)
0
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注意 多元抽象复合函数的高阶导数在偏微分 方程变形与验证解的问题中经常遇到,
下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧 与常用导数符号.
再关于 y 的一阶偏导数为
( y
)
nz xn1 y
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
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例1 解
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z
x y
2ex2y
2z y x
2ex2y
2 z y2
4ex2y
3z yx2
f x (a h, b k)h f y (a h, b k)k
P(a, b) •
(a h, b k)
Q(a h,b k)
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证 令 (t) f (a th, b tk)
于是 f (a h, b k) f (a, b) (1) (0)
由定理的条件知 Φ(t) 在 [ 0, 1 ] 上连续，在 ( 0, 1 ) 内可微. 于是根据一元函数中值定理，
f11 y( x z) f12 x y2 z f22 y f2
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二、中值定理和泰勒公式
凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于 D 内，则称 D 为凸区域.
若 D 为区域，则对任何
P1( x1, y1 ), P2( x2 , y2 ) D 0 1
恒有 P( x1,( x2 x1), y1 ( y2 y1)) D
2 y
f12
1 y2
f22
u x, v x y
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2z xy
y
f1(
x,
x y
)
y
(
1 y
f2 ( x,
x )) y
f1 u f1 v u y v y
1
f2
y
(
) y
1 ( f2 u f2 v ) y u y v y
f11 0
f12
x y2
1 f2 y2
x
1
( y
f21 0
f1
1 y
f
2
f 1( x ,
x) y
1 y
f
2(
x,
x y
)
2z
x 1
x
x 2
x
f1( x,
) ( y x y
f2 ( x,
)) y
f1 u f1 v 1 ( f2 u f2 v ) u x v x y u x v x
f11 1
f12
1 y
1 y
(
f21
1
f22
1) y
f11
x
(
2z y x
)
2ex2y
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例2 求函数 z arctan y 的所有二阶偏导数 . x
注意 从上面两个例子看到，有 2z 2z , xy yx
但这一结论并不总成立.
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例如 f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y) f y (x, y)
说明 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 今后除特别指出外，都假设相应的混合偏导数连续， 从而混合偏导数与求导顺序无关.
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例6 证明函数
满足拉普拉斯方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
证
2u x2
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
不 等
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定理17.7 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y)都在点( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合偏导数也成立. 例如 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
P1
凸 区 域
P2
P1
非 凸 P2 区 域
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一元函数中值定理回顾
定理17. 8（中值定理）设二元函数 f 在凸开域 D 上
连续，在int D 内可微，则对D 内任意二点
P(a,b)，Q(a h,b k) int D，存在某 (0 1)，
使得
f (a h, b k) f (a, b)
2z x2
fxx( x, y) ;
y
(z) x
2z x y
f x y (x,
y)
(z) x y
2z yx
f yx (x,
y);
( z) y y
2z y2
fyy( x, y)
类似可以定义更高阶的偏导数. z = f (x , y) 的三阶偏导数共有八 ( 23 ) 种情形：
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又如 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 ,
存在 θ 使得
(1) (0) ( ) 由复合函数的求导法则
§4 泰勒公式与极值问题
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一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx(x, y) ,
z y
fy(x, y)
若这两个偏导函数仍存在偏导数， 则称它们是
z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列
四个二阶偏导数:
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x
(z) x
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例3
设z
f ( x , x )，求 y
2z x 2
， 2 z xy
.
解 设 u x, v x , 于是 z f (u, v), y
由复合函数求导公式
z f u f v 得 x u x v x
z x
பைடு நூலகம்
f11
f2
1 y
x1
x
f1( x,
) y
y
f2 ( x,
) y
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z x