可测函数的几个等价定义讲解
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1.1外侧度的定义[1]
现在，我们就从 中集合 的外侧度 的定义开始我们“可列可加测度”理论建设.就可以给出外侧度的定义.
定义1设 为 中的任一点集，对于每一列覆盖 得开区间 ，作出它的体积总和 （ 可以等于 ，不同的区间列一边又不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由 确定）称为 的勒贝格外侧度，简称 外侧度或外测度，记为 ，即
Keywords:Measurable function; continuous function;Equivalence definition
引言
实变函数的创立是在数学发展史上是一个伟大的奇迹。它是普通微积分血的延续，实变函数的建立克服了微积分学存在的缺点，使得数学的发展得到了极大地进步。在实变函数学习的过程中，可测函数是学习并且学好实变函数的理论基础。而可测函数相对于简单函数是建立在一个新的理论之上，我们称之为测度论，要了解实变函数中的可测函数必须先了解什么是可测集。所以本文将从测度论开始探讨可测函数的几种常见定义。
利用我们熟悉的知识来逼近我们不熟悉的知识，这是处理一些数学问题的基本思想。这个思想我们也可以用在实变函数的研究上。我们可以通过利用简单函数来逼近可测函数就如同用多项式来逼近连续函数或用幕级数来表示解析函数的方法一样。要想利用简单函数来逼近可测函数我们必须了解鲁津定理，本文将详细介绍鲁津定理并通过对鲁津定理的证明加深鲁津定理的理解。这样就能更好地帮助我们得到可测函数的等价定义。
本科生毕业设计（论文）
论文题目：
姓名：李俊
学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
年级、学号：09034028
指导教师：王天军
可测函数的几个等价定义
摘要
我们从小学到大学基本上所学的函数基本都属于连续函数，我们所学习的连续函数虽然简单但不能完全表达在实变函数中所需要的实质性意义。在实变函数中所学习的函数不同于简单连续函数，它要比连续函数要广泛的多，它就是建立在可测集上可测函数。可测函数实际上包括了很多不连续的函数，例如我们学习的狄利克雷函数等。本文将介绍可测函数的几个常见的定义，并通过这几个定义探讨可测函数与简单函数之间的联系，从而寻找可测函数几个定义之间的等价性，来发现可测函数定义更加深刻的内涵。
关键词：可测函数；连续函数；等价定义
Some equivalentdefinitions of measurable function
AbsΒιβλιοθήκη Baiduract
We from primary school to university basically the basic functions are continuous functions. Our study of continuous function although simple but not fully expressed in real variable function of substantive significance. In real variable function, the function of the function is different from the simple continuous function. It is much more extensive than the continuous function. It is set up measurable function on measurable set..Measurable functions actually include many discontinuous functions, such as the de Lickley function of our study..Will be introduced in this paper can be measured as a function of several common definitions of, and through these definitions probes can test the link between function and a simple function, in order to find measurable equivalence between the function definitions, to find measurable function defined on a more profound connotation.
注意这里不能像数学分析那样用覆盖 的有限个区间体积和的下确界定义 的测度.
可测函数最重要的就是它的定义，所以本文主要讨论可测函数的几种常见定义，并且通过定义之间的等价性来讨论可测函数和简单函数，可测函数和连续函数的联系，对可测函数的等价定义进行探究。
实变函数中最为重要的概念就是可测函数，而可测函数就如同简单连续函数一样，它是是数学分析中的基础，在数学分析中简单连续函数非常重要。那么可测函数这一概念就是实变函数论中的基础，是实变函数论中的根本。了解可测函数必须从可测函数的基本定义出发，本文在介绍可测函数的定义时，会首先介绍在实变函数中的测度理论，通过对测度论的理解，从而得到定义在可测集上的可测函数的基本定义。通过可测函数的几个特殊性质从而得到可测函数的几个等价定义。了解可测函数的定义之后，我们可以通过可测函数的等级定义来证明我们所研究的函数是否为可测函数。探究可测函数的定义对我们学习实变函数中的知识有非常大的帮助。通过对可测函数定义的研究使我们对数学的学习加深了浓厚的兴趣，对可测函数定义等价性的研究可以培养我们的创新思维，开阔我们对实变函数的理解。
1.测度论
在介绍测度论之前，我们可以通过已经学习的概念来类比一下，找出测度论的概念，事实上，在我们的现实生活中，我们所学习的长度、面积、体积这些概念.它们都具有自己独特的意义，长度表示为一个线段的长，面积表示图形的大小，体积表示了是物体的空间占有量，所以对于区间 ，我们可以给这个几何定义一个新意义的长度，我们称之为“测度”.
现在，我们就从 中集合 的外侧度 的定义开始我们“可列可加测度”理论建设.就可以给出外侧度的定义.
定义1设 为 中的任一点集，对于每一列覆盖 得开区间 ，作出它的体积总和 （ 可以等于 ，不同的区间列一边又不同的 ），所有这一切的 组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由 确定）称为 的勒贝格外侧度，简称 外侧度或外测度，记为 ，即
Keywords:Measurable function; continuous function;Equivalence definition
引言
实变函数的创立是在数学发展史上是一个伟大的奇迹。它是普通微积分血的延续，实变函数的建立克服了微积分学存在的缺点，使得数学的发展得到了极大地进步。在实变函数学习的过程中，可测函数是学习并且学好实变函数的理论基础。而可测函数相对于简单函数是建立在一个新的理论之上，我们称之为测度论，要了解实变函数中的可测函数必须先了解什么是可测集。所以本文将从测度论开始探讨可测函数的几种常见定义。
利用我们熟悉的知识来逼近我们不熟悉的知识，这是处理一些数学问题的基本思想。这个思想我们也可以用在实变函数的研究上。我们可以通过利用简单函数来逼近可测函数就如同用多项式来逼近连续函数或用幕级数来表示解析函数的方法一样。要想利用简单函数来逼近可测函数我们必须了解鲁津定理，本文将详细介绍鲁津定理并通过对鲁津定理的证明加深鲁津定理的理解。这样就能更好地帮助我们得到可测函数的等价定义。
本科生毕业设计（论文）
论文题目：
姓名：李俊
学院：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
年级、学号：09034028
指导教师：王天军
可测函数的几个等价定义
摘要
我们从小学到大学基本上所学的函数基本都属于连续函数，我们所学习的连续函数虽然简单但不能完全表达在实变函数中所需要的实质性意义。在实变函数中所学习的函数不同于简单连续函数，它要比连续函数要广泛的多，它就是建立在可测集上可测函数。可测函数实际上包括了很多不连续的函数，例如我们学习的狄利克雷函数等。本文将介绍可测函数的几个常见的定义，并通过这几个定义探讨可测函数与简单函数之间的联系，从而寻找可测函数几个定义之间的等价性，来发现可测函数定义更加深刻的内涵。
关键词：可测函数；连续函数；等价定义
Some equivalentdefinitions of measurable function
AbsΒιβλιοθήκη Baiduract
We from primary school to university basically the basic functions are continuous functions. Our study of continuous function although simple but not fully expressed in real variable function of substantive significance. In real variable function, the function of the function is different from the simple continuous function. It is much more extensive than the continuous function. It is set up measurable function on measurable set..Measurable functions actually include many discontinuous functions, such as the de Lickley function of our study..Will be introduced in this paper can be measured as a function of several common definitions of, and through these definitions probes can test the link between function and a simple function, in order to find measurable equivalence between the function definitions, to find measurable function defined on a more profound connotation.
注意这里不能像数学分析那样用覆盖 的有限个区间体积和的下确界定义 的测度.
可测函数最重要的就是它的定义，所以本文主要讨论可测函数的几种常见定义，并且通过定义之间的等价性来讨论可测函数和简单函数，可测函数和连续函数的联系，对可测函数的等价定义进行探究。
实变函数中最为重要的概念就是可测函数，而可测函数就如同简单连续函数一样，它是是数学分析中的基础，在数学分析中简单连续函数非常重要。那么可测函数这一概念就是实变函数论中的基础，是实变函数论中的根本。了解可测函数必须从可测函数的基本定义出发，本文在介绍可测函数的定义时，会首先介绍在实变函数中的测度理论，通过对测度论的理解，从而得到定义在可测集上的可测函数的基本定义。通过可测函数的几个特殊性质从而得到可测函数的几个等价定义。了解可测函数的定义之后，我们可以通过可测函数的等级定义来证明我们所研究的函数是否为可测函数。探究可测函数的定义对我们学习实变函数中的知识有非常大的帮助。通过对可测函数定义的研究使我们对数学的学习加深了浓厚的兴趣，对可测函数定义等价性的研究可以培养我们的创新思维，开阔我们对实变函数的理解。
1.测度论
在介绍测度论之前，我们可以通过已经学习的概念来类比一下，找出测度论的概念，事实上，在我们的现实生活中，我们所学习的长度、面积、体积这些概念.它们都具有自己独特的意义，长度表示为一个线段的长，面积表示图形的大小，体积表示了是物体的空间占有量，所以对于区间 ，我们可以给这个几何定义一个新意义的长度，我们称之为“测度”.