数学归纳法的发展、原理及其在数学中的应用

数学归纳法的发展及其在数学中的应用

摘要：在数学论证中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某些结论是自然数的函数命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明。本文叙述了数学归纳法名称的发展，数学归纳法内容的发展，并分别从良序原理、数学归纳法、第二数学归纳法、数学归纳法的有效性这四个方面对数学归纳法的原理做了介绍，都有相关的例子，能帮助读者深入的理解数学归纳法的原理。本文也列举了几种常见的数学归纳法的形式，如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推归纳法、螺旋式归纳法。在了解数学归纳在数学中的应用后，本文重点叙述了数学归纳法在证明恒等式、证明不等式、证明整除问题、证明几何问题、探索与正整数有关的问题中的具体应用过程。通过本文，能使读者更加深入的了解数学归纳法，并且能更好的运用数学归纳法解决数学学科中的一些问题。

关键词：数学归纳法发展原理应用

一、数学归纳法的发展

（一）数学归纳法名称的发展

“数学归纳法”名称是由英国数学家创立,并由英国教科书作者普遍采用推广。在名称上迈出重要一步的是英国数学家德摩根。1838年在伦敦出版的《小百科全书》中，德摩根在他的条目“归纳法里建议使用“逐收归纳法”。但在该条目的最后他偶然地使用了术语数学归纳法，这是我们所能看到这一术语的最早使用。

无论是毛罗利科还是帕斯卡，也无论是伯努利还是其后的数学家们，虽然都在不断地使用数学归纳法，但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称。只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作，才引进了“归纳法”这一名称。并在两种截然不同的意义上应用于数学：(1)以特此获得一般结论的沃利斯方式(2)指定的步骤论证，并且影响了其后的数学家们，使这种混用状态大约持续了140年。到l9世纪上半叶，英国的数学家皮科克在他的《代数学》的排列与组合部分，谈到梅成的规律用归纳法延伸到任意数，是从预攫f意义上以沃利斯方式使用归纳法的。后来，他又将从“到R+1的论证称之为证明归纳法。

皮科克和德摩根的名称后来为英国数学家托德亨特的《代数》(1866年第4版)所采用并因而得到广泛传播。他在该书中介绍这种证明方法时，使用了两个名称“数学归纳法”和“证明归纳法”，但该章的题目却用的是前者。

这两个名称后来又为英国逻辑学家杰文斯以及菲科林所使用，后者宣称是受惠于托德亨特。随着时间的推移，后来的通用教科书的作者们，如英国教育家、数学家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的《代数》第2卷以及霍尔(H．S．Hal1)和纳特(s．R．KmgM)台著的《代数》(1898)、奥尔迪斯的代数教科书(Textbook0f Algebra．1887)等都只用数学归纳法而不再使用“证明归纳法”。

（二）数学归纳法的历史

1.数学归纳法最早的使用

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学归纳法已经有两千多年的历史了。

数学归纳法最早可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里德素数无限的证明中都可以找到这种踪迹。李文林翻译的美国数学史教授V•J•Katz在《数学史通论》中表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师莱维•本•热尔森（Levi ben Gerson，1288~1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法的归纳推理。

2.莫洛里科斯解开数学归纳法之谜

但真正比较明确使用数学归纳法的是意大利数学家、物理天文学家和工程师莫洛里科斯（F.Maurolycus,1494-1575），但他也未对数学归纳法证明中的奠基和归纳推理这两个步骤进行明确的描述。他只是利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础:证明当n=1时表达式成立。

递推的依据:证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。

这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。

或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：

第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：（1）第一块骨牌倒下（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下

3.帕斯卡明确数学归纳法的两步

真正明确数学归纳法证明两步的应该是17世纪的数学家帕斯卡(B.Pascal, 1623~1662)，他最早将数学归纳法的证明用形式的两步明确下来。

4.数学归纳法的建立

然而严格意义上的数学归纳法的建立，是在数的理论充分发展及对无穷概念有较深刻的认识后才得以完成的。十七世纪后，在数学归纳法有了明晰的框架后，发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、反向归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、双重甚至多重归纳法等各种形式的数学归纳法。至1889年意大利数学家C•皮亚诺(C.Peano,1858~1932)发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础。

二、数学归纳法的原理

（一）良序原理

所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数（或计算值）：1，2，3，4，5……一一对应的过程，我们用N表示自然数这个无限集合，这里值得注意的是关于N的定义并未达成共识，有些数学家把0也归入N。但这两种不同定义并不会引起太大的冲突，哪一种使用方便即可选择哪一种。自然数N的一个基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N的公理.对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题.为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设.尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”。

良序原理：自然数集N的每个非空子集都有一个最小元素。

显而易见，自然数N的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对于不易直接定义的集合，该定理依然有效.例如，当X和Y可取任意整数时，考虑12X+28Y所表示的所有自然数集合.从定义看该集合的范围并不明显，但是根据良序原理，由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一个通过该方式表示的最小自然数。（当然，求具体的最小自然数的值是另外一回事。注意良序原理保证有一个最小数存在，但绝对没说如何去计算它。）

例2.1.1用良序原理证明算法的正确性.整除算法说：若a是整数而且d是正整数，

≤<和a=dq+r.

则存在唯一的整数q和r满足0r d

证明设S是形如a-dq的非负整数的集合，其中q是整数。这个集合非空，因为