背包问题及其应用——以高考简答题为例

多维背包问题的解法
❖ 如果wi和W是正整数（经常如此），则存在伪多项式时间精确算法
算法：动态规划 时间复杂度：O(nWm)
❖ 一般情况下，不存在FPTAS（除非P=NP） ❖ 但是，存在PTAS（时间复杂度与近似比成指数关系）
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多维背包问题的应用
❖ 如果两句话x、y互相矛盾，则不应同时被选 入答案中
❖ 为此，可以为x、y设置一个维度
W=1
参考读物
❖ Hans Kellerer, Ulrich Pferschy, David Pisinger. Knapsack Problems. Springer, 2004.
算法：GRASP + tabu search 论文：An effective GRASP and tabu search for the 0-1 quadratic knapsack problem 近似比：无保障
二次背包问题的应用
❖ pj：句子的相关性 ❖ pij：句子间的连贯性
多维背包问题 (Multidimensional Knapsack)
0-1背包问题 (0-1 Knapsack)
0-1背包问题的解法
❖ 如果wi和W是正整数（经常如此），则存在伪多项式时间精确算法
算法：动态规划 时间复杂度：O(nW)
❖ 一般情况下，存在FPTAS
近似比：(1-ε)∙OPT 时间复杂度：对ε的要求越高，所需时间越多 略加改造的贪心算法
❖ 近似比：≥ 0.5∙OPT
0-1背包问题的应用
❖ 简单题的答案 = 候选句子的子集
允许作答的字数 = 背包的容量 句子 = 物品 句子的字数 = 物品的重量 句子的相关性 = 物品的价值
二次背包问题 (Quadratic Knapsack)
二次背包问题的解法
❖ 一般情况下，不存在FPTAS（除非P=NP） ❖ pij可正可负时，不存在近似比为常数的多项式时间算法 ❖ pij非负时，尚无一般性结论 ❖ 截至2013年较好的一个启发式算法