流体力学第七章

对于y,z方向的速度分量，也可得到
u y ( x x, y y, z z , t ) u y ( x, y, z , t ) u y x y z u y ( x, y, z, t ) ( z x x z ) xy x yy y zy z x u y y u y z
u x 如果令：பைடு நூலகம் xx x
1 u y u x 1 u z u x xy , xz 2 x y 2 x z
1 u y u x 1 u x u z z , y 2 z x 2 x y
综合起来，有：
u x ( x x, y y, z z, t ) u x 1 u y u x 1 u z u x u x ( x, y , z , t ) x y z x 2 x y 2 x z 1 u y u x 1 u x u z - y z 2 x y 2 z x u x ( x, y, z, t ) ( y z z y ) xx x xy y xz z
流体微团旋转角速度：
y y x x z z , , x y z 2 x y 2 z x 2 x y
1 u
u
1 u
u
1 u
u
3、有旋运动与无旋运动
流体质点的涡量定义为
写成矢量形式： u (M1 ) u (M0 ) r r 其中，第一项表示微团的平动速度， 第二项表示微团转动引起的， 第三项表示微团变形（线变形和角变形）引起的。
定义如下：
流体微团平动速度：ux ( x, y, z, t ),u y ( x, y, z, t ),uz ( x, y, z, t )
定义，流体微团的变形率矩阵为
xx xy xz yx yy yz zx zy zz
平动
转动
线变形
角变形
2、速度分解定理
德国物理学家 Helmholtz（1821-1894）1858年提出的 流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设 在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。
u x ( x, y, z, t ) 在 M 0 ( x, y, z) 速度为 u y ( x, y, z, t ) u z ( x, y, z, t )
得到： u x ( x x, y y, z z, t )
u x 1 u y u x 1 u z u x u x ( x, y , z , t ) x y z x 2 x y 2 x z 1 u y u x 1 u x u z - y z 2 x y 2 z x
i 2 u rotu x ux j k y z u y uz
表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2倍。并由涡量是否为 零，定义无旋流动与有旋运动。
4、变形率矩阵（或变形率张量，或应变率张量）
在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引起的， 其中 称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与流体微团 的粘性应力存在直接关系。
u y u x u z xx , yy , zz 流体微团线变形速度： x y z
流体微团角变形速度（剪切变形速度）：
1 u y u x 1 u z u x 1 u z u y xy , xz , yz 2 x y 2 x z 2 y z
在 M1 ( x x, y y, z z, t ) 点处，速度为
u x ( x x, y y, z z , t ) u y ( x x, y y, z z , t ) u z ( x x, y y, z z , t )
第7章 不可压缩粘性流体的流动
流体微团的运动形式与速度分解定理 粘性流体的应力状态 广义牛顿内摩擦定理（本构关系）
Navier-Stokes方程

主要讨论层流问题
边界层理论
流体微团的运动形式与速度分解定理
1、流体微团运动的基本形式
流体微团在运动过程中，将发生刚体运动（平动和转动） 与变形运动（线变形和角变形运动）。
以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有
u x ( x x, y y, z z, t ) u x ( x, y, z, t ) u x u u x x y x z x y z
1 u y y , 将上式分别加、减下列两项 2 x
1 u z z 2 x
u z u z u z u z ( x x, y y, z z, t ) u z ( x, y, z , t ) x y z x y z u z ( x, y, z, t ) ( x y y x) xz x yz y zz z