太原理工大学大学物理第五版第10章课后题答案

第10章 导体和电介质中的静电场（习题选解）
10-1 如图所示，在一不带电的金属球旁有一点电荷q +，金属球半径为R ，已知q +与金属球心间距离为r 。

试求：（1）金属球上感应电荷在球心处产生的电场强度E 及此时球心处的电势V ；（2）若将金属球接地，球上的净电荷为多少？
题10-1图
解：（1）由于导体内部的电场强度为零，金属球上感应的电荷在球心处产生的电场强度E 与点电荷q +在球心处产生的电场强度'E 大小相等，方向相反。

2
04r q E E πε=
'= E 的方向由O 指向q +
点电荷q +在球心处的电势为
r
q V q 04πε=
金属球表面感应电荷在球心的电势为R V ，由于球表面感应电荷量总和为零，
⎰
⎰==
=s
s
R dq R
R
dq V 04140
0πεπε 故球心电势为q V 和R V 的代数和
r
q V V V R q 04πε=
+=
（2）若将金属球接地，金属球是一个等势体，球心的电势0=V 。

设球上净电荷为q '。

球面上的电荷在球心处的电势为
⎰
⎰'=
=
=s
s
R R
q dq R R
dq V 0004414πεπεπε
点电荷q +在球心的电势为 r
q V q 04πε=
由电势叠加原理 0=+=q R V V V
q R V V -=
r
q R
q 0044πεπε-
='
q r
R q -
=' 10-2 如图所示，把一块原来不带电的金属板
B 移近一块已带有正电荷Q +的金属板A ，
平行放置。

设两板面积都是S ，板间距是d ，忽略边缘效应。

求：
（1）B 板不接地时，两板间的电势差； （2）B 板接地时，两板间电势差。

Q
σ12σ34
题10-2图
解：（1）如图，设A 、B 两金属板各表面的面电荷密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ。

由静电平衡条件可知
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-++=---0
2222022220
40302010
4030201
εσεσεσεσεσεσεσεσ 解得 ⎩⎨⎧-==3
24
1σσσσ
又 430σσ+= Q S S =+21σσ 故 1242Q S
σσσ===
32Q S
σ=-
两板间为匀强电场，电场强度
31240000022222Q E S
σσσσεεεεε=
+--= 两板间的电势差 S
Qd
Ed U 02ε=
=
（2）若B 板接地，则有 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-===S Q 32410σσσσ
两板间的电场强度 3200022Q
E S
σσεεε=
-= 两板间的电势差 S
Qd
Ed U 0ε=
= 10-3 B A 、为靠得很近的两块平行的大金属平板，板的面积为S ，板间距离为
d ，使B A 、板带电分别为A q 、B q ，且A B q q >。

求： （1）A 板内侧的带电量； （2）两板间的电势差。

解：（1）如图，设A 、B 两板各表面的 电荷面密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ。

由题意 ⎩⎨⎧=+=+B A
q S S q S S 4321σσσσ ①
又由静电平衡条件（参考题10-2）得
14
23
σσσσ=⎧⎨
=-⎩ ②
题10-3图
由①、②解得 142322A B A
B q q S
q q S σσσσ+⎧
==⎪⎪⎨-⎪=-=⎪⎩
故Ａ板内侧的带电量 2
22B
A q q S q -=
=σ （2）两板间为匀强电场，电场强度
31240000022222A B
q q E S
σσσσεεεεε-=
+--=
两板间电势差 02A B
q q U Ed d S
ε-==
10-4 如图所示，半径为1R 的导体球带有电荷q ，球外有一个内半径为2R 的同心导体球壳，壳上有电荷Q 。

（1）求球与壳的电势差12U ；（2）用导线把球和壳连接在一起后，其电势为多少？
解：（1）导体球与球壳之间的电场强度为
2
04r
q E πε=
球与壳的电势差
⎰
⎰==2
12
120
124R R R R r dr
q
Edr U πε
题10-4图
)1
1(
42
10
R R q -=
πε （2）用导线把球与球壳连接在一起后，导体球和导体球壳的电荷重新分布。

静电平衡时，球与球壳为等势体，1221V V V ==。

所有电荷（Q q +）均匀分布在球壳外表面。

球壳外电场强度为
2
04r q
Q E πε+=
'
球与球壳的电势 2
2200244R R Q q dr Q q
V Edr r
R πεπε∞
∞
++'===⎰⎰
10-6 如图所示，同轴传输线由圆柱形长直导体和套在它外面的同轴导体管构成。

设圆柱体的电势为1V ，半径为1R ，圆管的电势为2V ，内半径为2R ，求它们之间离轴线为r 处(12R r R <<)的电势。

解：设圆柱体表面沿轴线单位长度所带电量为λ，在距轴线为r 的任意一点
P 的场强为
r
E 02πελ
=
12R r R <<
题10-6图
P 点与圆柱体的电势差
11
1001
ln 22r
r
P R R dr r
V V Edr r R λλπεπε-===⎰⎰
①
圆管与圆柱体的电势差
⎰
⎰===-2
1
2
11
20021ln 22R R R R R R r dr Edr V V πελ
πελ ②
由①、②两式消去λ，得P 点电势
)ln()ln(
)
(1
21
211R R R r
V V V V P --= 10-7 实验表明：在靠近地面处有相当强的电场，E 垂直于地面向下，大小约为1100-⋅m V 。

试求：（1）地面的面电荷密度；（2）地面的每平方米所受的库仑力。

解：设地球带电荷q 。

由高斯定理，地球表面电场
2
04e
R
q E πε=
E R q e 204πε=
电荷q 均匀分布于地球表面，则地面面电荷密度
2
1002
201085.844--⋅⨯====m C E R E R S q e
e εππεσ 地面每平方米受库仑力 N
E F 81085.8-⨯==σ
10-补充 如图所示，平行板电容器两极板相距为d ，接到电压为U 伏的电源上，在其间插入厚为x 、相对电容率为r ε的玻璃平板。

略去边缘效应，求空隙中和玻璃中的电场强
度。

题10-补充图
解：设电容器极板上电荷面密度为0σ，则两极板间空气间隙中的场强为
0εσ=
E 玻璃平板中的场强为 r
E εεσεσ000==
' E E r '=ε0 ①
两极板间的电位差 x E x d E U '+-=)(0 ② 由①、②两式可得 0()r r U E d x x
εε=
-+
()r U
E d x x
ε'=
-+
10-8 在相对电容率为1r ε、半径为R 的均匀电介质球的中心有一点电荷q ，介质球外的空间充满相对电容率为2r ε的均匀电介质。

求距q 为r (r R <)处的场强及电势（选无穷远处为电势零点）。

解：介质球中心的点电荷q 产生的电场具有球对称性。

由高斯定理，介质球内外的场强分别为
2
1014r
q E r επε=
（r R < ）
2
2024r q E r επε=
（r R >）
选无穷远处为电势零点，距q 为r （r R <）处的电势
⎰⎰∞
+
-=
+=R
r r R
r
R
q R r q
dr E dr E V 2010214)11(4επεεπε
10-9 如图所示，一平行板电容器两极板间充 满了电容率为ε的均匀介质，已知极板上的面电荷 密度分别为0σ和0σ-。

略去边缘效应。

求电介质中的电场强度E 、极化强度P 、电位移D ，介质表面的
题10-9图
极化电荷面密度σ'。

解：对于平行板电容器，两板间的电场强度为
0σε
=
E n 其中0n 为沿极板法线方向的单位矢量，方向从0σ极板指向0σ-极板。

两极板电介质中的电位移为
00εσ==D E n
极化强度 000000000(1)εε
εσσσεε
=-=-
=-P D E n n n 由于极化电荷都在介质的上下两表面，故极化电荷体密度0='ρ。

两极板间介质中的电场E 为板上自由电荷产生的电场0E 和介质表面束缚电荷产生的电场'E 的叠加。

设介质表面极化电荷面密度为σ'。

000εσ=
E 0
εσ'='E E E E '-==
00
ε
σ )(1
00
0σσεεσ'-=
00
)1(σε
εσ-
=' 对于靠近带正电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为σ'-。

靠近带负电荷极板的介质表面，极化电荷面密度为σ'。

10-10 有一面积为S 、间距为d 的平行板电容器。

（1）在板间平行于极板面插入厚度为
3
d
，面积也为S 的相对电容率为r ε的均匀电介质板，计算其电容；（2）若插入的是同样尺寸的导体板，求其电容；（3）上下平移介质板或导体板对电容有无影响？
V V B
A
题10-9图
解：设电容器极板所带电荷面密度为σ （1）两极间电势差
332211d E d E d E V V B A ++=-
123000
r d d d σσσ
εεεε=
++ 20310)(d d d r
εεσ
εσ++=
由331d d d d -
=+， 3
2d
d = 得 r
B A d
d V V εεσεσ00332+=
- 电容 d
S d S
V V Q C r r r
r B A )12(3)12(300+=
+=-=
εεεεεεσσ （2）若插入导体板，则02=E
11331300
A B V V E d E d d d σσ
εε-=+=
+
130002()()33d d d d d σσσεεε=
+=-= 电容 d
S d S
V V Q C B A 233200
εεσσ==-=
（3）上下移动介质板或导体板对电容无影响。

10-补充 如图所示，一无限大平行板电容器，设B A 、两板相距cm 0.5，板上各带电荷26103.3--⋅⨯=m C σ，A 板带正电，B 板带负电并接地（地的电势为零），求： （1）在两板之间距A 板cm 0.1处P 点的电势； （2）A 板的电势。

解：（1）平板电容器两板间场强
εσ
=E
P 点电势
V r d V r d E V B P 40
1049.1)()(⨯=-=
+-=εσ
（2）A 板的电势
A
题10-补充图
V d V Ed V B A 40
1086.1⨯==
+=εσ
10-补充 面积是22.0m 的两平行导体板放在空气中相距5.0mm ，两板电势差为
1000V ，略去边缘效应。

试求： （1）电容C ；
（2）各板上的电量Q 、电荷的面密度σ和板间电场强度E 的值。

解：（1）平板电容器电容
F F d
S
C με3901054.31054.3--⨯=⨯==
（2）各板上的电量 C CU Q AB 61054.3-⨯== 板上电荷的面密度 261077.1--⋅⨯==m C S
Q
σ 板间电场强度E 的值 150
100.2-⋅⨯==
C N E εσ
10-13 一电容率ε为的无限大均匀介质中，有一个半径为R 的导体球，带电荷
Q 。

求电场的能量。

解：导体球的电荷均匀分布在外表面，球内不存在电场，电场只存在于球体外，其空间分布为 01=E （0r R <<）
2
24r
Q
E πε=
（r R >） 此时，电场的能量为
⎰
⎰⎰
∞
∞∞
====R
R R
R
Q r dr Q dr r r Q dV E W πεπε
ππεεε884)4(21212
222
2222。