三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

收稿日期:20030710

基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助

作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东,

博士研究生

刘晓宁

文章编号:100328728(2004)1021191203

三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

刘晓宁,王三民,沈允文

(西北工业大学,西安　710072)

摘　要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet 理论研究其稳定性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统周期解分岔图。关　键　词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet 理论中图分类号:TH13 文献标识码:A

N onlinear Vibrations of 32DOF G eared R otor 2B earing System

LI U X iao 2ning ,W ANG San 2min ,SHE N Y un 2wen (N orthwestern P olytechnical University ,X i ′an 710072)

Abstract :The incremental harm onic balance (IH B )method is used to obtain periodic m otions of a 32DOF non 2linear m odel of a geared rotor system subjected to parametric and external harm onic excitations.The stability of the periodic m otions is investigated by the Floquet theory ,the bifurcation behavior is traced.Parametric studies are performed to understand the effect of system parameters such as excitation frequency on the nonlinear dy 2namic behaviors.

K ey w ords :G eared rotor bearing system ;Incremental harm onic balance (IH B )method ;Floquet theory

齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。

从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存在。增量谐波平衡法(IH B )作为求解非线性微分方程周期解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。

本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的影响,并结合应用Floquet 理论探讨了通向混沌的倍周期和拟周期分叉道路。

1　

三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程

图1　三自由度非线性齿轮传动系统模型

如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿轮部分包括齿轮惯量I g 1和I g 2,齿轮质量m g 1和m g 2,基圆直径d g 1和d g 2。齿轮啮合由非线性位移函数f h 和时变刚度

k h (t -

),线性粘性阻尼c h 描述。轴承和支撑轴的模型则由

等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线

第23卷　第10期 机械科学与技术 V ol.23　N o.10　

2004年　10月 MECH ANIC A L SCIE NCE AND TECH NO LOGY October 2004

性粘性阻尼系数c b 1、c b 2,非线性刚度元件由近似分段线性的间隙型非线性力2位移函数f b 1、f b 2,以及相应的刚度参数

k b 1、k b 2确定。同时考虑因输入扭矩T g 1波动引起的低频外

激励和静态传动误差e -(t -

)导致的高频内部激励,忽略输出扭矩T g 2的波动,并假设在两边的滚子轴承均作用有外径向预载力F b 1、F b 2。

整个系统关于齿轮宽度中分平面对称,系统的轴向运动可以忽略不计。

根据牛顿力学定律,上述的齿轮传动系统的横向2扭转运动微分方程表示为

m g 1y -″g 1+c b 1y -′g 1+c h (x -′

+y -′g 1-y -′g 2-e -′)+k b 1f b 1(y -g 1)+k h (t -)f h (x -+y -g 1+y -g 2-e -

)=-F b 1

(1)m g 2y -″g 2+c b 2y -′g

2-c h (x -′+y -′g 1-y -′g 2-e -′)+k b 2f b 2(y -g 2)-k h (t -)f h (x -+y -g 1-y -g 2-e -)=F b 2(2)m c 1x -″+c h (x -′+y -′g 1-y -′g 2-e -′)+k h (t -)f h (x -+y -g 1+y -g 2-e -)=F m +F aT (t -)

(3)

式中:

x -

(t -

)=

d g 1

2

θg 1(t -

)-d g 2

2

θg 2(t -

)

(4)

m c 1=

1d 2

g 14I g 1+

d 2

g 2

4I g 2

,　F m =

2T g 1m d g 1

=

2T g 2m d g 2

(5)

F aT (t -

)=

m c 1T g 1a (t -

)

2I g 1

k h (t -)=k h (t -

+2

π/Ω-

h )=k hm +∑

∞

r =1

k har cos (r

Ω-

h t -

+

---

f bi (y -gi )、f h (p -

)分别为轴承径向间隙和齿侧间隙构成的间

隙非线性力2位移函数,即

f bi (y -

gi )=

y -

gi -b bi y -

gi >b bi

0　-b bi

gi

gi +b bi

　y

-gi <-b bi

,(i =1,2)(7)

引入新的变量p -

(t -

),定义其为动态传动误差与静态传

动误差e -(t -

)的差值,即

p -

(t -

)=

d g 1

2

θg 1(t -

)-

d g 2

2

θg 2(t -)+y -g 1(t -)-y -g 2(t -)-

e -(t -

)

同时对方程进行无量纲化处理,忽略轴承径向间隙引

发的非线性力2位移关系

,忽略扭矩波动引起的低频外激励项,最终得到实际动力学分析考察的齿轮系统微分方程,即

100

10-1

1

1

y ・

・g 1(t )y ・・

g 2(t )p ・・

(t )

+2ζ110ζ130ζ22

-ζ230

ζ33

y ・

g 1(t )y ・

g 2(t )p

・

(t )+

k 11

0k 13(t )0k 22

-k 23(t )0

k 33(t )

y g 1y g 2f h (p )

=

-F b 1F b 2F m

+

00

F ahr

Ω2h sin (Ωh t )(8)

式中:

k 33(t )=1-εcos (Ωh t )

f h =

p -1

p >10-1

p <-1

(9)

2　齿轮系统非线性振动特性分析

下面使用增量谐波平衡法求解系统的周期稳态响应,包括稳定和不稳定解。这里,重点研究激励频率对系统动力学特性的影响。周期解的稳定性由Floquet 理论进行分析,量纲一化频率Ωh 作为分叉参数,主要的目标是描绘分叉路径及分叉类型的识别。响应曲线根据各个变量在对应频率的每周期内最大值作为幅值绘出。2.1　通向混沌的倍周期分叉道路

模型的各个参数设置如下:ζ11=ζ22=0,ζ13=ζ23=0.0125,ζ33=0.05,k 11=k 22=1.25,k 23=k 13=0.253k 33,F m =0.

1,F dhr =0.05,F b 1=F b 2=0,ε=0.2,参数激励的频率和外激励的频率一致,考察激励频率Ω在1.54～1.39区间系统的响应特性,可以看到系统在Ω缓慢变化下发生了重复的倍周期分叉:由周期1变到周期2再变到周期4直至混沌态。用IH B 获得的变量p 的响应曲线由图2(a )给出,图中实线表示稳定周期解,虚线为不稳定周期解。

响应曲线由a 点(Ω=1.54)开始,随着系统激励频率

的减小,首先出现的是周期1响应,对应周期为2π/Ω,到达

b 点(Ω=1.510)后,周期1解分叉为周期二解。根据b 点处的一个Floquet 乘数从-1的方向离开了单位圆,分叉性为倍周期分叉。

图2　通向混沌的倍周期分叉道路

2

911 机械科学与技术 第23卷