极坐标系

极坐标系
标有多个角度的极坐标网格.
在数学中, 极坐标系是一个二维坐标系统。

该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。

极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海(en:Navigation)以及机器人领域。

在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。

对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

在极坐标系中表示点
点(3,60°) 和点(4,210°)
正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r(半径坐标) 和θ (角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t)。

r坐标表示与极点的距离,θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的X轴正方向。

[6]
比如，极坐标中的(3,60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。

(−3,240°) 和(3,60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240° −180° = 60°)。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。

通常来说，点(r, θ)可以任意表示为(r, θ ± n×360°)或(−r, θ ± (2n+ 1)180°)，这里n是任意整数。

[7]如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

使用弧度单位
极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。

航海(en:Navigation)方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

[8]
在极坐标系与平面直角坐标系（笛卡尔坐标系）间转换
极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值
由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标
[9]在x= 0的情况下：若y为正数θ= 90° (π/2 radians); 若y为负, 则θ= 270° (3π/2 radians).
极坐标方程
用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。

极坐标方程经常会表现出不同的对称en:Symmetry形式，如果r(−θ) = r(θ)，
则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π−θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ−α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针（en:counterclockwise）旋转(en:Rotational symmetry)α°。

[9]
圆
A circle with equation r(θ) = 1.
在极坐标系中，圆心在(r0, φ) 半径为a的圆的方程为
该方程可简化为不同的方法，以符合不同的特定情况，比如方程
表示一个以极点为中心半径为a的圆。

[10]
直线
经过极点的射线由如下方程表示
,
其中φ为射线的倾斜角度，若 m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan
m。

任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。

[11]这些在点(r
, φ)处的直
线与射线θ = φ 垂直，其方程为
.
玫瑰线
一条方程为r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线.
极坐标的玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：
OR
如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。

如果k为非整数，将产生圆盘(disc)状图形，且花瓣数也为非整数。

注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。

变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线
方程r(θ) = θ for 0 < θ < 6π的一条阿基米德螺线.
阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示:
.
改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。

阿基米德螺线有两条螺线，一条θ > 0，另一条θ < 0。

两条螺线在极点处平滑地连接。

把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

圆锥曲线
Ellipse, showing semi-latus rectum
圆锥曲线方程如下：
其中l表示半径，e表示离心率。

如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。

其他曲线
由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系(笛卡尔形式)简单得多。

比如lemniscates, en:limaçons, and en:cardioids。

复数
复数的通常（en:rectangular）形式为a + bi，在极坐标中也可以表示为两种不同的方式：
1., 簡寫為
2.
等同于欧拉方程（en:Euler's formula）。

[12]复数在直角坐标系和极坐标系的转换通过以下公式实现：
其中
复数的乘法、除法以及指数以及开方运算，在极坐标中会比在直角坐标中容易得多，他们分别是：
•乘法:
•除法:
•指数 (棣美弗定理，De Moivre's formula):
矢量微积分
微积分可适用于极坐标系下表达的等式。

令为位置矢量，
由r与随时间t变化的θ表达，是方向上的单位矢量，是以为起始顺时针旋转的角度单位矢量。

第一和第二个位置的表达式是：
.
令为被一条连接焦点与曲线上一点的线所划分出的区域，则就是由和所构平行四边形区域的一半。

,
所以，整个区域就是关于时间的积分。

应用
行星运动的开普勒定律
Kepler's second law
另見：Kepler's laws of planetary motion
极坐标提供了一个表达开普拉行星运行定律的自然数的方法。

开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。

上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。

开普勒第二定律，即等域定律，认为连接行星和它所环绕的恒星的线在等时间间隔所划出的区域是
面积相等的，即是常量。

这些等式可由牛顿运动定律（en:Newton's laws of motion）推得。

在开普勒行星运动定律（en:Kepler's laws of planetary motion）
中有相关运用极坐标的详细推导。

三维空间
极坐标系可被扩展到三维空间中，形成圆柱坐标系和球形坐标系两个不同的坐标系。

圆柱坐标系
2 points plotted with cylindrical coordinates
与将直角坐标系扩展为三维的方法相似，圆柱坐标系是在二维极坐标系的基础上增添了第三条用于测量高于平面的点的高度的坐标所构成的。

这第三条坐标通常表示为h。

所以圆柱坐标表示为(r, θ, h)。

通过以下公式，圆柱坐标可用直角坐标表达：
球坐标系
A point plotted using spherical coordinates
球坐标系也可以运用坐标(ρ, φ, θ)扩展为三维，其中ρ是距离球心的距离，φ是距离z轴的角度（称作余纬度或顶角，角度从0到180°），θ是距离x 轴的角度（与极坐标中一样）。

这个坐标系被称作球坐标系，与用于地球的经度和纬度相似，纬度就是余角φ，取决于δ＝90°－φ，经度可通过l=θ-180°算得。

[13]
通过以下公式，球坐标可用直角坐标表达：。