浅谈中学数学中最值的求解-毕业论文最终定稿

ANSHUN UNIVERSITY
本科生毕业论文（设计）
（2009～2013年）
题目：浅谈中学数学中最值的求解
系别：数学与计算机科学系
专业班级：数学与应用数学2009级
学生姓名：陈华学号： 200902014062
指导教师：李俊职称：讲师
起讫日期： 2012.9.1～2013.4.19
安顺学院
本科生毕业论文（设计）原创性申明
本人郑重申明：所呈交的论文（设计）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。

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对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。

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作者签名：日期：
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作者签名：日期：
导师签名：日期：
摘要
浅谈中学数学中最值的求解
专业：数学与应用数学学号：200902014062
姓名：陈华指导教师：李俊
摘要
最值的求解问题贯穿于我们整个中学数学的始终，它遍及代数、三角及解析几何各科之中，几乎每一个章节都会或多或少的牵扯到最值问题，加之最值问题又与我们的实际生活联系密切，在生活生产实践中也有广泛的应用。

不仅如此，最值问题就像一条纽带，将中学数学知识联系在一起，而且研究最值问题能够开发我们的思维，锻炼我们的能力和提高我们的数学素养，在函数，解析几何，圆锥曲线，向量问题中均离不开最值问题的讨论，可以说最值问题就是数学的生命线，研究最值问题具有很大的实际意义。

因此，本文主要围绕以上几个方面，对求解最值问题的一些基本的和常用的方法进行初步的探讨，以及对解题思路和方法进行简单的归纳总结，以方便初学者更好的掌握。

关键词：最值归纳求解中学数学
I
ABSTRACT
Introduction to the most value in the middle
school mathematics to solve
The most value throughout the entire middle school mathematics has always been, throughout the algebra, trigonometry, solid geometry, and analytic geometrysubjects into almost every chapter involve the most value can be more or less, combined with the most value problemvery close contact with our real life, widely used in the production practice, for this reason, the most value problem has always been all kinds of hot exam, only that, like the main line of the most value, secondary mathematics knowledge intogether, study the most value to develop students' thinking, the ability to exercise the students at the function, analytic geometry, solid geometry, conic sections, vector problem can not be separated from the discussion of the most value problem, we can say the most value problem is the mathematicalthe lifeline of most value problem of great practical significance. Therefore, we focused on the above aspects, a preliminary study of solving some of the problems of most value and commonly used method, given the regular examination of the kinds of questions, and problem-solving ideas and methods are summarized, in order to facilitate early scholars better grasp.
Keywords: most values are summarized solving middle school mathematics
II
ABSTRACT
I II
ABSTRACT
目录
第一章引言 (1)
第二章最值求解的方法归类 (2)
2.1 判别式法 (2)
2.2 配方法 (4)
2.3 函数单调性法 (5)
2.4 三角函数法 (5)
2.5 换元法 (7)
2.6 数形结合法 (8)
2.7 均值不等式法 (9)
2.8 导数法 (9)
2.9 观察法 (10)
结束语 (11)
参考文献 (12)
致谢 (13)
第一章
第一章引言
最值求解问题之所以历来被中、高考所青睐，不单是因为它与我们实际生活的密切相关，更是因为求解最值能够开发我们的思维，对于认识事物本质能力的培养有着重大的现实意义[]1。

在中学数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数）、不等式、向量、解析几何、圆锥曲线中都能找到最值问题，求解最值问题的方法很多，但是我们必须掌握的方法主要有以下几种：均值不等式法、单调性法、配方法、换元法、三角函数法，数形结合法，导数法，判别式法，观察法，问题多，方法也多是求解最值问题的重点和难点，本文主要对最值问题的常用方法和一般技能进行简单的归类整理。

- 1 -
第二章 最值求解的方法归类
- 2 - 第二章 最值求解的方法归类
2.1 判别式法
一、判别式法求值域的理论依据。

例1：求函数1
22+--=x x x x y 的值域。

像这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

解：由1
22+--=x x x x y 得： （y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ①
上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-+--=∴≠≤≤-≥∆---=∆13111,13
10)
1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令 为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y 的范围就是原函数的值域？ 我们可以设计以下问题让学生回答：
1、当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）
当x=2时，y=? (32) 当y=3
2时，x=?（2） 以上y 的取值，对应x 的值都可以取到，为什么？
（因为将y=0和y=3
2代入方程①，方程的△≥0） 2、当y=-1时，x=?
当y=2时，x=?
以上两个y 的值x 都求不到，为什么求不到？
（因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解）
3、当y 在什么范围内，可以求出对应的x 值？
4、函数1
22+--=x x x x y 的值域怎样求？ 若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。

第二章 最值求解的方法归类
- 3 -
二、判别式法求值域的适用范围。

前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。

是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？
例2:求1
12322---=x x x y 的值域 从表面上看，此题可以用判别式法求值域。

由原函数得：（y-3）x 2+2x+(1-y)=0
△ =4-4（y-3）(1-y)≥0
即（y-2）2≥0 ∴y ∈R
但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。

问题出在哪里呢？
我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为)1(1
13≠++=x x x y ，用反函数法可求得3≠y ，又x ≠1代入可得y ≠2，故可求得原函数的值域为{}3,2,≠≠∈y y R y y 且。

因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。

特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x ≠1，故y ≠2。

例3：求函数[])5,3(1
2352∈++-=x x x x y 的值域。

此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？ 由1
2352++-=x x x y 得：3yx 2+(2y-1)x+y+5=0 1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y 可以取到0
2）当3y ≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0 解得：4
258142581+-≤≤--y 由1）、2）可得原函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---42581,42581 上面求得的值域对不对呢？显然y=173-
在所求得的值域范围内，但当y=17
3-时，可求得x=2[]5,3∉，故了限定了自变量x 的取值范围的函数不能用判
第二章 最值求解的方法归类
- 4 - 别式法求值域。

此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-0,171。

综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域[]1：
1）分子分母的最高次为二次的分式函数；
2）分子分母无公约数；
3）未限定自变量的取值范围。

最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x 2项）系数是否含有y ，若含有y ，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。

2.2 配方法
这种方法主要用于解决形如])()([)(2c x bf x f a x F ++=的二次函数值域问题，以及可以转化为二次函数的函数的最值问题，是求最值问题中最基本的方法，往往很多求最值问题可以转化成配方法求最值，但是利用此种方法求解最值时需要注意以下几点：一是要注意函数的定义域；二是要注意对称轴与定义域的相对位置关系；三是注意函数是否过某个特殊点；找到之后可以减少讨论，使问题变得简单[]3。

下面举个简单的例子来介绍配方法的具体操作过程。

例4：已知函数(=y m x n -)2(+m -x )n -2(n ∈R,n ≠0)，求函数y 的最小值[]3。

分析:联系二次函数的形式，我们可以将函数表达式按m x m +-x 配方,转化为关于变量m x m +-x 的一个二次函数。

解：y=(m x n -)2+(m -x n -)2=(m x m +-x )2-2n(m x m +-x )+2n 2-2,
令k=m x m +-x ,f(k)=k 2-2nk+2n 2-2，
∵k ≥2,∴f(k)=k 2-2nk+2n 2-2=(k-n)2+n 2-2的定义域[2,∞),∵抛物线y=f(k)的对称轴为k=n,
∴当n ≤2且n ≠0时,y m in =f(2)=2(n-1)2 ;当n>2时,y m in =f(n)=n 2-2． 在这里，就必须注意对称轴与函数定义域的位置关系，当定义域在对称轴
的左边时，由于此时函数为减函数，所以是在靠近对称轴处取得最小值；而当定义域在对称轴的右边时，函数为增函数，因此是在远离对称轴处取得最大值。

2.3 函数的单调性法
这种方法需要先判明函数给定区间上的单调性,然后根据单调性来求解函数
的最值。

例5：已知函数f(x)定义域为R,对任意的x 1,x 2∈R 都有[]4 ：
f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)且x>0时f(x)<0,f(1)=-2，试判断在区间[-3,3] 上f(x)是否有最大值和最小值?并说明理由。

解: 令x 1=x 2=0,则f(0)=f(0)+f(0)=2f(0) ∴f(0)=0, 令x 1=x, x 2=-x 则有f(x)+f(-x)= f(0) 即f(x)+f(-x)=0 ∴f(x)=-f(-x), 因此f(x)为奇函数. 设x 1,x 2∈R,且x 1<x 2,则x 2-x 1>0, ∴f(x 2)-f(x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2-x 1)<0, ∴ f(x 2)<f(x 1),∴f(x)在R 上为减函数.
又f(1)=-2,∴f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6
又f(x)在[-3,3]上为减函数,故当x=-3时,f(x)max =f(-3)=6,当x=3时,f(x)min =f(3)=-6
注意：解题时注意综合应用图像，表格等辅助分析函数的变化趋势，对含有待定系数的，在求最值时要注意分类讨论，同时注意运用逆向思维，结合已知条件，建立出关于未知系数的方程。

2.4 三角函数法
2.4.1根据三角函数的有界性这一性质，许多三角函数的最值问题可以转化为正弦型函数进行求解[]5。

例6：求函数4
cos 3
sin -+=
x x y 的最小值。

解：由已知变形得： x sin -y x cos =-4y-3所以
2
2134)sin(,34)sin(1y
y x y x y ++-
=+--=++ϕϕ
由于1)(sin ≤+ϕx ，得：11342
≤++-y
y
所以原式的最小值是-1。

运用三角函数的有界性求解最值是极其方便的，对于适合的函数，只需要作一下适当的变形，便可利用观察法结合函数有界性得出答案，不失为一种求解最值的好方法。

2.4.2 对形如b x a y +=sin (或b x a y +=cos )型的函数
基本思路：直接利用三角函数的有界性进行求解，但同时须注意字母a 的符号对最值的影响,要对字母a 进行分类讨论。

例7：求函数y=2sinx+3的最大值[]6。

解：由于x sin ∈(-1,1),所以可利用其有界性 ，且a=2>0 ，从而函数 y=2sinx+3的最大值为2⨯1+3，即为5。

2.4.3 对形如y=
d x c b x a ++cos cos 或（y=d
x b
x a ++sin sin ）的函数
基本思路：可利用分离常数法或∣x cos ∣≤1去求解。

例8：求函数y=
x
x
cos 2cos 2-+ 的最大值。

解：由原函数变形得到y=x x cos 2)cos 2(4---=x
cos 24
--1.
-1≤x cos ≤1,∴1≤2-x cos ≤3, ∴y max =3 例9：求函数x x x x x f cos sin cos sin )(--=的最值。

解：设t x =+cos sinx ，则22≤≤-t
2
1
cos sin cos sin 21)cos (sin t 22
2
-=∴+=+=t x x x x x x
因此， 1)1(2
1
21t (22--=--==t t t x f ）（）
ϕ 1
)1()(2
2
211)12(21)2()(min 2max -==+=---=-=ϕϕx f x f
2.5 换元法
2.5.1 三角代换
我们可利用三角代换巧妙地求解某些函数的最值。

并且在作代换时，可根据不同的函数解析式作相应的代换。

例如： 2x ＋2y =2a （a ＞0），可令θθcos ,sin x ==y ； 又如：222a y x ≤+（a ＞0），可令,cos ,sin x θλθλ==y （a ≤≤λ0）； 对122=-y x ，我们可令
θθtg y x ==,sec 等等[]
9。

例10：求函数x x -+=1y 的最值。

解：设θ2sin =x ，则x -1=cos θ ∴)4
sin(2cos sin π
θθθ+
±=+=y ∈[2,2-]
∵0≥x ，∴取x 最小值0时，y=1.
故2,1max min ==y y .
2.5.2 直接代换
例11 ： 求函数x x x x x f cos sin cos sin )(--=的最值[]10。

解：设t x =+cos sinx ，则22≤≤-t
2
1
cos sin cos sin 21)cos (sin t 22
2
-=∴+=+=t x x x x x x
因此， 1)1(2
1
21t (22--=--==t t t x f ）（）
ϕ
1
)1()(2
2211)12(21)2()(min 2max -==+=
---=-=ϕϕx f x f 此处，虽然）x f (不是x 的二次函数，但是通过换元之后可以转化为t 的二次函数，再按照二次函数求解最值的方法求其最值。

但应注意换元后新变量的取值范围，对不在定义域范围的部分应当剔除。

小结：由于事物的质和量是由多种因素综合决定的，改变其中的每一因素都可能产生新的思路，在求解数学问题中，使用“多种换元法”解题，可以使问题化繁为简，更容易坚决。

换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。

总结解题的规律和技巧，强化思维训练，这对提高我们分析问题、解决问题的能力将是十分有益的，并且能全面提高学生素质，培养和提高我们的创造能力。

因此，我们更有必要对数学方法进行再认识，全面提高数学综合能力[]13。

2.6
数形结合法
这种方法是将抽象的函数解析式赋予一定的几何意义，把数量之间的关系用几何图形展现出来，既而实现数与图信息的整合与转化，换句话说就是把代数的问题用几何的方法来解决，使得问题的求解变得简便，在解决最值问题时，这种方法的作用是非常巨大的，我们来看一下下面的例子。

例12：已知实数y x ,满足等式0126622=+--+y x y x ，求x
y
的最值。

图1
解：如图1，如果把等式看成圆的一般式，那么就有点（x,y ）在圆
6)3()3(22=-+-y x 上，那么
x
y
表示该点与原点连线的斜率.由于圆位于第一象限，若过原点作圆的两切线OA 、OB （A ，B 为切点），则x
y
的最值分别是直线OA 、
OB 的斜率.
解：设
x y
=k ，即y=kx ，∴61332=+-k
k 。

整理为 ：0162=+-k k ,解得
223±=k ,∴223)(min -=x y ,223)(max +=x
y
.
例13：求函数12122222+-+++++=x y x x y x z 的最小值。

解：∵原式可转化为求2222)1()1(y x y x z +-++=的最小值 ，所以它等价于“求动点P(x,y)到A(-1,0),B(1,0)距离之和的最小值”，即PB PA +的最小值。

∵PB PA +AB ≥，当且仅当P 在线段AB 上时，等号成立。

故PB PA +的最小值为2=AB .即原函数的最小值为2。

其实利用数形结合法求解最值的实质，就是要我们将代数问题几何化，使得许多抽象的问题变得直观和形象起来，解决起来得心应手，确为一种好的最值求解方法。

2.7 均值不等式法
利用均值（基本）不等式求最值是历年高考的热点内容之一，也是重点。

但在利用均值不等式求最值时必须其前提条件，具体可概括为“一正、二定、三相等”。

当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备，下面谈谈常见的凑”定和”或“定积”的技巧[]14。

例14： 求函数f （x ）=x 2+2x+
x
1
的最值。

解：由题目易知函数定义域为≠-1， ∵f(x)=x 2+2x+
x 1-1=11111)1(2212
-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++++x x x ≥，∴当11)1(22+=+x x ， 即112
1
3
-≠-=
x 时，有122
33
min -=
y 。

需要指出的是，在利用均值不等式法求解时，必须注意应用大前提，即所谓“一正、二定、三相等”，如若找不出使等号成立的x 的值，那么此方法就无效，应改用其他方法。

2.8 导数法
设函数f(x)在[a,b]上连续且在(a,b)上可导,则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应在f(x)在(a,b)内的各极值和两端点值中寻找。

例15：已知P （x,y)是抛物线y=x 2
-2x-1上的动点,o 为原点,且op 2
当x=2时取得极小值,求op 2的最小值。

解: op 2=x 2+y 2= x 2+( x 2-2x-1)2=x 4-4x 3+3x 2+4x+1
令c= x 4
-4x 3
+3x 2
+4x+1,则 f(x)=4x 3-12x 2+6x+4=4(x-2)(x-231+)(x-2
3
1--),
令f(x)=0得:x=2,
231+,
2
3
1-
表一:
x
(-∞,
2
3
1-)
2
31-
(
231-,2
3
1+) 231+ (2
3
1+,2) 2
(2,+∞)
f'(x) - 0 + 0 - 0 + f'(x)
↓
极小值
↑
极大值
↓
极小值
↑
因为f(x)的定义域为(-∞, +∞),所以所求最小值为两个极小值中较小的那一个,比较f(
2
31-)=43
611-f(2)=5,得出f(x)的最小值即op 2的最小值，为
43
611-。

2.9 观察法
在有些时候，我们遇到的函数可能会比较简单，这时只需将已知函数的解析
式作适当变形后，就可以很容易地观察出函数的最值，此谓之观察法，它比较适用于一些简单的函数，这里简单的提一下。

如：函数6842+-=x x y ])3,0[(∈x 。

∵此函数可化为：2)1(42+-=x y
∴可明显观察得出：当x=3时，16max =y ；当x=1时，2min =y 。

结束语
本文主要从常用的判别式法，配方法，函数单调性法，三角函数法，换元法,数形结合法,均值不等式，导数法以及观察法等对最值问题的求解进行了探讨，每种方法不是万能的也不是绝对的，在遇到较复杂的问题时，我们要将几种方法结合起来用，做到具体问题具体分析,同时，在解题时还应注意一些小细节，以免出现错误。

如在例2中，由于在求解的过程中历经了平方的变形，从而使x的取值范围扩大了,因此在利用判别式法求出y的范围后，还得结合函数的定义域,将扩大的部分剔除（可将端点值代入检验），以免求出的最值不在原函数的取值范围之内，造成错解。

利用配方法求最值时要注意以下几点：一是要注意函数的定义域；二是注意对称轴与定义域的相对位置关系；三是注意函数是否过某个特殊点，找到之后可以减少讨论，使问题变得简单[]15。

在利用换元法求解最值时，应注意换元后新变量的取值范围，对不在定义域范围的部分应当剔除。

在运用重要不等式求函数的最值时一定要注意不等式成立的条件，包括等号成立的条件。

还有在利用均值不等式求最值时，一定要注意其前提条件：“一正、二定、三相等”[]16。

当这些条件不完全具备时，就需要一定的技巧，特别是凑“定和”或“定积”的技巧，使其具备。

如若找不出使等号成立的x的值，则此法无效，应改用其他方法。

总之，无论哪种方法都有自己的妙处，同时也有自己的局限性，要善于灵活掌握，就需要把握住题目的特点与每一种方法的特点。

遇到题目，要学会分析题目，从而抓准解决问题的关键。

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致谢
本论文的完成是在我的指导老师李俊老师的细心指导下进行的。

在每次设计到资料的搜集直至最后的修改的整个过程中，花费了李老师很多的宝贵时间和精力，在此我向李老师表示最衷心地感谢！感谢他认真负责地指导、修改本人的论文，提出宝贵的建议，督促本人及时、保质保量地完成毕业论文。

李老师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使我受益终生！还要感谢和我一同一设计小组的几位同学，是你们在我平时设计中和我一起探讨问题，并指出我设计上的误区，使我能及时的发现问题把设计顺利的进行下去，没有你们的帮助我不可能这样顺利地结稿，在此，我表示对他们最衷心的感谢和最诚挚的祝福！感谢他们给予本人的一切意见和建议，并感谢他们传达给我有关论文的通知，帮助我及时完成了论文工作。

此致
敬礼
陈华
2013年4月18日。