风险价值(VaR)模型简介

风险价值（VaR ）模型

一、VaR 的产生背景

公司的基本任务之一是管理风险。风险被定义为预期收益的不确定性。自1971年固定汇率体系崩溃以来，汇率、利率等金融变量的波动性不断加剧，对绝大多数公司形成了巨大的金融风险。由于金融衍生工具为规避乃至利用金融风险提供了一种有效机制，从而在最近30年来获得了爆炸性增长。然而衍生工具的发展似乎超越了人们对其的认识和控制能力。衍生工具的膨胀和资产证券化趋势并行促使全球金融市场产生了基础性的变化—市场风险成为金融机构面临的最重要的风险。在资产结构日益复杂化的条件下，传统的风险管理方法缺陷明显，国际上众多金融机构因市场风险管理不善而导致巨额亏损，巴林银行更是因此而倒闭。风险测量是金融市场风险管理是基础和关键，即将风险的特征定量化。因此，准确的测度风险成为首要的问题。在这种情况下，VaR 方法应运而生。

二、VaR 的定义

VaR 的英文全称为Value at Risk ， 它是指资产价值中暴露于风险中的部分，可称为风险价值。VaR 模型用金融理论和数理统计理论把一种资产组合的各种市场风险结合起来用一个单一的指标（VaR 值）来衡量。VaR 作为一个统计概念，本身是个数字，它是指一家机构面临“正常”的市场波动时，其金融产品在未来价格波动下可能或潜在的最大损失。

一个权威的定义：在正常的市场条件下和给定的度内，某一金融资产或证券组合在未来特定一段持有期内的最大可能损失。用统计学公式表示为：

。其中x 为风险因素（如利率、汇率等），为置信水平，为持有期，为损益函数，是资产的初始价值，是t 时刻的预测值。

例如：某银行某天的95%置信水平下的VaR 值为1500万美元，则该银行可以以95%的可能性保证其资产组合在未来24小时内，由于市场价格变动带来的损失不会超过1500万美元。从VaR 的概念中可以发现，VaR 由三个基本要素决定：持有期（t ），置信水平（α），风险因素（x ）。

1. 持有期（t ），即确定计算在哪一段时间内的持有资产的最大损失值，

可以定义为一天、一周或一个月等。持有期的选择应根据持有资产

的特点来定。流动性好的金融产品，注重其短期内的VaR 值，t 应

定义为一天。另外，场外交易的衍生工具应以每天为周期计算VaR 。

2. 置信水平（α）在一定程度上反映了金融机构对风险的不同偏好。

置信水平越大则意味着对风险厌恶程度越高，希望得到把握性较大

的预测结果。

3. 风险因素（x ），即风险因子。在计算VaR 的过程中，其核心是通过

风险映射将某项资产的风险分解为一个或若干个影响其变化的基本

的市场风险因子，用这些风险因子的变化来描述资产组合的价格变

化。

三、VaR 模型

给定一个资产组合，令0W 为该资产组合的期初价值，W 为该资产组合的期末价值，R 为该组合在持有期间的投资收益率，则有0(1)W W R =+。其中R 的期望为μ，标准差为σ。在给定的置信水平α下，投资组合的最小价值为：**0(1)W W R =+。VaR 分为相对损失和绝对损失。相对损失为相对于均值的损失，

用公式表示为：VaR （均值）***000()()E W W W W R W R μμ=-=-=--。绝对损失为相对于期初价值的损失，用公式表示为：VaR （0）**00W W W R =-=-。由此看出，求VaR 就是求投资组合在在一定置信水平下的最小值*W 或最小收益率*R 。

VaR 一般可以从资产组合未来可能价值的概率分布求出。例如：()f W 是投资组合未来可能的概率密度函数，给定置信水平α，可用下式求出该置信水平下的*W ，*

*()()W P W W f W dW α-∞≤==⎰。

为简化计算，可以假定W 服从一定的分布。在分布假定下，需要对W 的标准差等进行参数估计。该分布可以是正态分布，也可以是正态分布以外的其他分布。但正态分布不仅易于求解，而且对很多分布都有较好的近似性。由中心极限定理可知，当投资组合很分散时，其收益十分接近正态分布。若投资组合中期权的比重比较大，并且不太分散时，用正态分布近似该组合收益就不恰当。现实中，很多金融资产的收益率都存在“粗尾”现象，在此情况下，以正态分布假设为基础会低估实际的VaR 值。下图所示为兖州煤业（600188）最近五年每天的几何收益率的密度曲线与标准正态的比较，显示收益率存在“粗尾”现象。所以，最关键的问题是对未来资产收益率分布特征进行准确的估计。

四、计算方法

VaR 的基本思想是利用证券组合价值的历史波动信息来推断未来情形，只不过对未来价值波动的推断给出的不是一个确定值，而是一个概率分布。例如：利用已知过去100天的某一证券的历史波动情况来推断第101天该证券的价值，最简单的方法是计算过去波动的均值，来推断未来的波动，这样的误差显然很大。VaR 的思想是，过去100天的波动构成了100种波动情形，在第101天每一种波动都可能发生，存在100种可能性，由此其价值波动构成了一个概率分布。

VaR 模型的计算方法大致分为两类：以局部估值为基础的方法和以完全估值为基础的方法。局部估值法主要利用样本数据，通过估计一定的参数来达到最终估计VaR 的目的。当资产价值与风险因素是线性关系时，局部估值法不仅有效而且简单易行。当资产价值与风险因素是非线性关系时，如果风险因素变化不大，这种方法仍然适用。以局部估值为基础的方法，主要是方差-协方差法。

方差-协方差法利用资产收益的历史数据，计算出资产的标注差和相关系数，然后在一定的分布假定之下，基于这些方差和协方差，计算得到组合的标准差，从而确定相应的VaR 。

具体而言，设一资产组合在单位时间内的收益率为R ，2(,)R N μσ。设1Z α-为标准正态分布的α分位数（1()P x Z αα-≥=），依正态分布性质，在置信水平1α-下，偏离均值的最大距离为1Z αμσ--，即*1R Z αμσ-=-。又()E R μ=，则[]0101()VaR W Z W Z ααμμσσ--=--=。

若持有时间不是单位时间，设为t ，根据时间加总的关系，均值和标准差分别为t μ和t ，则01VaR W Z t α-=。由此可见，在正态分布条件下，只需计算标准差即可。利用这一基本思想，有如下两种方法。

1、 简单VaR 方法

简单VaR 法用于线性投资工具，它假定投资工具的收益服从多元正态分布，

头寸价值的相对变化ˆr

是潜在收益r 的线性函数，应当求投资组合的标准差。 假设投资组合包含了N 个头寸，每个头寸包含一个现金流，并且其方差、

协方差可以求得，则该头寸的相对价值变化可表示为：,,11ˆˆN N

t n n t n n n t n n r

w r w r δ====∑∑。其中，n w 是第n 个头寸的投资额，,n t r 是第n 个头寸的潜在收益，n δ是标量。则

VaR 可以表示为1ˆt t VaR Z r α-=。对于不含期权的投资组合，简单VaR 法是最好的选

择。

2、 Delta-Gamma 法

对于含有期权的投资组合，应采用Delta-Gamma 法求VaR 值。它并不假定投资组合相对价值变化的分布是挣太多。计算应采用以下步骤：首先，计算投资组合p r 收益分布的一至四阶矩，其次，找到一个分布具有与p r 同样的一至四阶矩；最后，由这个分布的分位数来计算VaR 。

一个股票期权的例子。以1(,,,,)V P K t r σ表示期权的价值。其中1P 是t 时刻股票的现货价格，K 是敲定价格，r 是到期期权执行的无风险收益，σ是在时间期限内对股票对数价格的表准差。

期权收益用Taylor 二阶展式得：

22

2

1(,,,,)(,,,,)()()()21(,,,,)()()2

t n t t n t t n t t t n t t n t V V V P K t r V P K t r P P P P P P V P K t r P P P P σσσδ+++++∂∂=+-+-∂∂=+-+Γ- 用t n V +代表(,,,,)t n V P K t r σ+，t V 代表(,,,,)t V P K t r σ，可以得到：

2212()()()t n t t n t t n t t t t V V P P P P t t t V P P V P P δ+

++---=+Γ。令：ˆt n t t V V t V r +-=，t n t t P P t P r +-=，t t P

V η=得：