大学物理第三章PPT课件
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第3章刚体力学基础
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不 会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间 的距离始终保持不变。
§3.1 刚体运动的描述
一、刚体运动基本形式和自由度
自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变
自由度 i 3 (xc yc zc )
Lz Liz rimivi
i
i
( miri2 ) J
i
式中 J miri2
i
称为刚体对转轴 z 的转动惯量
代入
Mz
dLz dt
得到 M dJ
dt
J为常量 M = J dω J
dt
刚体定轴转动定理
z o
Li
ri
vi
mi
Ri
x o
y
F ma
M dL dt
L J
2
0
F
.y
O
F x
Fy mg
l0 C .
Fx
3l0 2l
1F
F .A
mg
M J
M J
l0F J
3l0F ml 2
F mg (Fx i Fy j ) mac
Fx
3l0 2l
1F
讨论
F
.y
O
F x
l0 C .
F .A
mg
(1) Fx
0, l0
2l 3
(2) Fx
0, l0
2 3
二、定 轴 转 动 定 理
刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力
学方程
M
dL
z
dt
取惯性坐标系 oxyz
o
y
z轴 为固 定转轴
x
则L、M对o而言
1、作用于定轴刚体的合外力矩
设第 i个质元受外力 Fi
z
假 定Fi 垂直 于转轴
Mi Ri
Ri
oo
Fi ri
o ri mi
oo
i Ri
Mi
oo
ri
Fi
x
o
Fi
y
oo Fi ri Fi
z轴 // z轴
M iz ri Fi ri Fi sin i
z
Fi 对参考点 o 的力矩在z轴上的分量
就等于力 Fi
对z
轴的垂足o（转心）
o
的力矩（简称力 Fi 对转轴的力矩）
相对于定轴的合外力矩
oo
ri mi
i Ri
Fi
y
M z Miz ri Fi sin i
l
(3) Fx
0, l0
2 3
l
打击中心
• 网球拍
the sweet spot
【例 】一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经
过多长时间圆盘才停 止？（设摩擦系数为）
解：dM r dF dmg r
dm
m πR 2
2π
r
dr
2mrdr R2 dr
Mdt dL dJ
推广到 J 可变情形（保持所有质点 相同）
t
J
Mdt
t0
d J
J 00
J J00
t
Mdt t0
称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩
【例 】定滑轮: m r J 物体: m1 m2
轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。
求滑轮转动的角加速度和绳的张力。
【解】m1 g T1 m1a T2 m2 g m2a
结论:
1.由于考虑了滑轮的质量,使得 T1 T2
2. 若m1m2则T1T2
【例 】“打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某
F
y
.O
F x
时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解：可通过转动定理求细杆的转动，再求
l0 C .
F 质心加速度。利用质心运动定理求支反力。
.A
如图示，除力F外，系统还受重力、 轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩＝0。
x
o
i
i
即作用在各质元的力矩的z分量之和
2、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的
Li
力R矩Mi 只z有mMdivdLizt，z因o此o转M动ri动dd力Ltm学iv方i z程o
Li
ri
vi
mi
Ri
由于 oo vi 垂直于z轴
o
y
Liz ri mivi mi ri2 x
mg
M l F 只有F对细杆的转动有影响，对转轴O的力矩为： 0
细杆遵从如下动力学方程：
M J
M J
l0F J
3l0F ml 2
F mg (Fx i Fy j ) mac
质心运动定律分量式：
Ft F Fx
mact
m( l )
2
3l0 2l
F
Fn
Fy
mg
macn
m( l 2 )
v
r
角速度矢量
d
大小为
方向由右螺旋法则确定
dt
规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为 角速度矢量的方向
在定轴转动下，转轴任取一点为坐标原点
v r
r r sin v
角加速度矢量
d
dt
角速度矢量再研究
定义角位移
是否矢量？
O
P
1
2
2
1
1 2 2 1
有限大角位移相加时不满足交换律，不是矢量
p
o
qx
o
q点：角位置 角位移
d
dt
d 2
dt 2
按SI, 的单位分别是
rad, rad/s, rad/s2
对于匀角加度速转动，则有：
0 t
0
0t
1 2
t
2
2
2 0
2 (
0)
式中 0, 0
是t=0时刻的角速度和角位置
角量与线量之关系
v r
at
dv dt
d
dt
r
r
an
v2 r
2r
T1r T2r J a r
T2
r
T1
T2
a T1
m2 g
a
m1 g
解得:
a
m1 m2 r 2 g m1 m2 r 2 J
m1 m1
m2 rg m2 r 2
J
T1
2m2r 2 J m1 g m1 m2 r 2 J
T2
2m1r 2 J m2 g
m1 m2 r 2 J
r
dM
2mgr 2dr
R2R 0
2mgr 2dr
R2
2 3
mgR
M 2 mgR
M J d
3
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
t
0
dt
3R d
0
0 4 g
i3
如：车轮滚动 i 1 1
4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动
i 33
二、刚体的受力
力是滑移矢量，只能在力的方向上移动
力的三要素：大小、方向、作用线。
F F
§3.2 刚体的定轴转动
一、定轴转动的描述
p点：角位置 角位移
d
dt
d 2
dt 2
角速度，角加速度
转动平面
2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴。
（1）定轴转动：转轴固定于参考系
如：门 窗
i 1 ()
p
o
x
（2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系
如：玩具陀螺
i3
（转轴方向2，绕轴转角1）
3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都 平行于某一固定平面
可以分解为刚体随质心的平移（2）和绕质心 垂直于运动平面的定轴转动（1）
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时完全不 会发生形变。因此运动过程中刚体内部任意两点之间 的距离始终保持不变。
§3.1 刚体运动的描述
一、刚体运动基本形式和自由度
自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变
自由度 i 3 (xc yc zc )
Lz Liz rimivi
i
i
( miri2 ) J
i
式中 J miri2
i
称为刚体对转轴 z 的转动惯量
代入
Mz
dLz dt
得到 M dJ
dt
J为常量 M = J dω J
dt
刚体定轴转动定理
z o
Li
ri
vi
mi
Ri
x o
y
F ma
M dL dt
L J
2
0
F
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O
F x
Fy mg
l0 C .
Fx
3l0 2l
1F
F .A
mg
M J
M J
l0F J
3l0F ml 2
F mg (Fx i Fy j ) mac
Fx
3l0 2l
1F
讨论
F
.y
O
F x
l0 C .
F .A
mg
(1) Fx
0, l0
2l 3
(2) Fx
0, l0
2 3
二、定 轴 转 动 定 理
刚体是一个质点系,描述质点系转动的动力
学方程
M
dL
z
dt
取惯性坐标系 oxyz
o
y
z轴 为固 定转轴
x
则L、M对o而言
1、作用于定轴刚体的合外力矩
设第 i个质元受外力 Fi
z
假 定Fi 垂直 于转轴
Mi Ri
Ri
oo
Fi ri
o ri mi
oo
i Ri
Mi
oo
ri
Fi
x
o
Fi
y
oo Fi ri Fi
z轴 // z轴
M iz ri Fi ri Fi sin i
z
Fi 对参考点 o 的力矩在z轴上的分量
就等于力 Fi
对z
轴的垂足o（转心）
o
的力矩（简称力 Fi 对转轴的力矩）
相对于定轴的合外力矩
oo
ri mi
i Ri
Fi
y
M z Miz ri Fi sin i
l
(3) Fx
0, l0
2 3
l
打击中心
• 网球拍
the sweet spot
【例 】一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
水平面上。若它的初角速度为0，绕中心o旋转，问经
过多长时间圆盘才停 止？（设摩擦系数为）
解：dM r dF dmg r
dm
m πR 2
2π
r
dr
2mrdr R2 dr
Mdt dL dJ
推广到 J 可变情形（保持所有质点 相同）
t
J
Mdt
t0
d J
J 00
J J00
t
Mdt t0
称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩
【例 】定滑轮: m r J 物体: m1 m2
轻绳不能伸长，与滑轮间无相对滑动。
求滑轮转动的角加速度和绳的张力。
【解】m1 g T1 m1a T2 m2 g m2a
结论:
1.由于考虑了滑轮的质量,使得 T1 T2
2. 若m1m2则T1T2
【例 】“打击中心”问题 细杆：m, l ，轴O，在竖直位置静止.若在某
F
y
.O
F x
时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。
解：可通过转动定理求细杆的转动，再求
l0 C .
F 质心加速度。利用质心运动定理求支反力。
.A
如图示，除力F外，系统还受重力、 轴的支反力等。但这两个力对轴的力矩＝0。
x
o
i
i
即作用在各质元的力矩的z分量之和
2、刚体定轴转动定理
由于刚体只能绕z轴转动,引起转动的
Li
力R矩Mi 只z有mMdivdLizt，z因o此o转M动ri动dd力Ltm学iv方i z程o
Li
ri
vi
mi
Ri
由于 oo vi 垂直于z轴
o
y
Liz ri mivi mi ri2 x
mg
M l F 只有F对细杆的转动有影响，对转轴O的力矩为： 0
细杆遵从如下动力学方程：
M J
M J
l0F J
3l0F ml 2
F mg (Fx i Fy j ) mac
质心运动定律分量式：
Ft F Fx
mact
m( l )
2
3l0 2l
F
Fn
Fy
mg
macn
m( l 2 )
v
r
角速度矢量
d
大小为
方向由右螺旋法则确定
dt
规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为 角速度矢量的方向
在定轴转动下，转轴任取一点为坐标原点
v r
r r sin v
角加速度矢量
d
dt
角速度矢量再研究
定义角位移
是否矢量？
O
P
1
2
2
1
1 2 2 1
有限大角位移相加时不满足交换律，不是矢量
p
o
qx
o
q点：角位置 角位移
d
dt
d 2
dt 2
按SI, 的单位分别是
rad, rad/s, rad/s2
对于匀角加度速转动，则有：
0 t
0
0t
1 2
t
2
2
2 0
2 (
0)
式中 0, 0
是t=0时刻的角速度和角位置
角量与线量之关系
v r
at
dv dt
d
dt
r
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T1r T2r J a r
T2
r
T1
T2
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解得:
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m1 m2 r 2 g m1 m2 r 2 J
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2m2r 2 J m1 g m1 m2 r 2 J
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M J d
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2 mgR 1 mR2 d
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i3
如：车轮滚动 i 1 1
4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动
i 33
二、刚体的受力
力是滑移矢量，只能在力的方向上移动
力的三要素：大小、方向、作用线。
F F
§3.2 刚体的定轴转动
一、定轴转动的描述
p点：角位置 角位移
d
dt
d 2
dt 2
角速度，角加速度
转动平面
2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴。
（1）定轴转动：转轴固定于参考系
如：门 窗
i 1 ()
p
o
x
（2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系
如：玩具陀螺
i3
（转轴方向2，绕轴转角1）
3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都 平行于某一固定平面
可以分解为刚体随质心的平移（2）和绕质心 垂直于运动平面的定轴转动（1）