简谈矩阵可逆的判别法与其运用

简谈矩阵可逆的判别法与其运用
内容摘要：逆矩阵的计算与证明是线性代数中关于矩阵这一条主线的重要知识点，逆矩阵
的性质、矩阵可逆的充分必要条件以及逆矩阵的各类计算方法已成为学习高等代数的一大重点，许多同学在复习的过程中对逆矩阵的计算投入了许多时间去反复训练，而对证明却相对有所忽略，以致某些情况下对可逆性的证明无从下手，我就我学习高等代数以来对逆矩阵的思考和心得和大家分享分享。

首先，矩阵乘法有别于同学们之前接触过的乘法运算的一个最重要的不同点就是矩阵的乘法不满足交换律，与矩阵相交换有联系的主要是逆矩阵的定义式，这也是关于矩阵可逆性证明的一个重要突破点。

下面主要介绍几个可以证明矩阵可逆的判别方法。

关键词：可逆，矩阵，判别法，扩充，
1.导言：
矩阵与生活有着密不可分的联系，矩阵的逆矩阵也是矩阵的重中之重，很多同学只知道逆矩阵的求法，算法，却并不知道矩阵在什么情况下存在逆矩阵，书上只定义了两种判断矩阵是否可逆的方法，但在面对种类繁多的各种逆矩阵存在性证明的题时，尚显不足，本文从各个方面，各个角度讲了矩阵可逆的判别法。

2.预备知识：
逆矩阵定义：n 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB=BA=E ；这里E
是单位矩阵。

记作B=1-A 。

判别法1：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化。

判别法2：n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积。

引理3：如果齐次线性方程组AX=0的系数矩阵的行列式|A|≠0，那么它只有零
解。

引理4:对矩阵A 进行初等行（列）变换得到矩阵B ，矩阵旳秩rank(A)=rank(B)。

引理5：设∂是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域P 中一数0λ，
存在一个非零向量ξ，使得
ξλξ0=∂.那么0λ称为∂的一个特征值，而ξ称为∂的属于0λ的
一个特征向量。

引理6：设的特征多项式为的特征矩阵，称为称A A E A A E P A n --∈⨯λλ,n
且A E -λ=()()A S S n
k n k k
n n 1111-++-++--- λλλ，其中k S 为A 中一切
k 阶主子式之和，由此可知A E -λ=0在P 中最多有n 个不同的解，但在
P 中也可能没有一个解，但在复数域C 中，A 一定有n 个解（包括重根个
数）。

来自高等代数题解精粹第2版钱吉林编著。

3.逆矩阵定义证明：
证明： 假设ij A 是矩阵
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221
11211
中元素ij a 的代数余子式，矩阵
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭⎫
⎝⎛=nn n
n
n A A A A A A A A A A
2122212
1n 1211*
称为A 的伴随矩阵。

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：A *A =A A *=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛d d d 000000=dE
其中d=|A|.
如果d=|A|≠0.那么由=*AA A A *=dE 得
E A A d A A =⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛*1*d 1. # 4.判别法1证明及运用：行列式判别法
证明：
由定义可知：*
11A d
A =
- （d=|A|≠0）. 充分性：当d=|A|≠0时，*11
A d
A =-存在，故矩阵A 可逆。

必要性：如果矩阵A 可逆，那么有1-A 使得E AA =-1.
两边取行列式，得 |A ||1-A |=|E|=1,
因而|A|≠0,即A 非退化。

#
运用：（文献[1]）求证实矩阵A=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-a b b a 可逆当且仅当A 不是零矩阵。

并在0≠A 时，求出1-A 。

分析：要证明矩阵A 是非零矩阵，则需要证明矩阵A 中至少有一个元素不为0，又因为矩阵A 是可逆的，由判别法一可知0≠A ，思考0≠A 与A 是非零矩阵的联系，即可解题。

证明：由判别法一可知：A 可逆⇔022≠+=b a A ⇔a,b 中至少有一个不为0⇔A 不是零矩阵。

当0≠A 时，有022≠+=b a A ，*A =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-a b b a
故由定义得
1-A =*11A d A =
-=*11A A A =-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+a b b a b a 22
1 5.判别法2证明及运用：初等矩阵判别法
证明：
如果矩阵A 能表成一些初等矩阵的乘积，则有： 令A=m 21...Q Q Q
则对两边依次乘以1
1121m ...---Q Q Q 得： 11121m ...---Q Q Q A=E.
则存在A 的逆矩阵1-A ，且1-A =11121m ...---Q Q Q . #
运用：已知矩阵A 是由单位矩阵E 经过一系列初等变换得到的，讨论A 是否可逆。

答：A 可逆 证明：
判别法判断矩阵可逆扩充：
6.扩充一：秩判别法
如果矩阵满秩，则矩阵可逆；如果矩阵可逆，那么矩阵一定满秩。

证明：
充分性：若n 级矩阵A 满秩，即rank(A)=n. 则矩阵A 对应的行列式|A|≠0. 由判别法1可知：
矩阵A 对应的行列式|A|≠0. ∴矩阵A 可逆。

必要性：若矩阵A 可逆，由引理1可知，|A|≠0 则矩阵A 满秩。

#
运用：（文献[1]）判断矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220111,B=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛041-452-131-是否可逆。

分析：判断矩阵是否可逆，看矩阵是否满足可逆的条件，即可证明。

A=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛11022011123r 2r -+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000111→⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛000110111故矩阵A 的秩为2≠3，故矩阵A 不可逆。

B=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛041-452-131-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-1021-0131-→⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛10021-0131-，故矩阵B 的秩为3，满秩 故矩阵B 可逆。

7.扩充二：初等变换判别法
如果用一系列初等行变换能把可逆矩阵A 化成单位矩阵，那么同样的用这一系列
初等行变换去化单位矩阵，就可以得到1-A ，即 .
()(
)
1-→→A E
E A 经过一系列初等变换
证明：
若矩阵A 是一个n 级可逆矩阵，则由判别法2可知，存在一系列的m 21...Q Q Q ，使
m 21...Q Q Q A=E
则1-A =m 21...Q Q Q =m 21...Q Q Q E #
运用：（文献[1]）判断矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛01-2411210是否可逆，若可逆，求出逆矩阵1-A 。

对A 进行初等变换 .
A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01-2411210⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→1002104118-3-021041101-2210411⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→100010001 A 能经过初等变换化为单位矩阵 ∴矩阵A 可逆
()⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
----→⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211
23100124
010112001100012001210010411100012010411001210E A 故1-A =⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛21-12
3-12-4
11
-2
.
8.扩充三：齐次线性方程组判别法
n 级矩阵A 为可逆的充分必要条件是齐次线性方程组AX=0只有零解。

证明：
充分性：若齐次线性方程组AX=0只有零解 由引理3可知：
齐次线性方程组AX=0只有零解
∴齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A 对应的行列式|A|≠0. 由判别法1可知，矩阵A 可逆。

必要性：若矩阵A 可逆
则矩阵A 对应的行列式|A|≠0
由引理3可知：齐次线性方程组AX=0只有零解。

# 运用：（文献[4]）
已知齐次线性方程组⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
00
221122221211212111n nn n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中，系数矩阵A 行列均线性无关，
判断其系数矩阵A 是否可逆。

答：其系数矩阵可逆。

证明： 齐次线性方程组⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0
00221122221211212111n nn n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 中系数矩阵行列均线性无关
则令()n 21i ,,i i i a a a =α()n ，，
2,1i = 解：由题意可知：()n i ,,2,1i =α线性无关。

故由02211=+++in n i i a x a x a x 可知，021====n x x x
即齐次线性方程组只有零解，由扩充三可知，其系数矩阵A 可逆。

9.扩充四：矩阵变换判别法
对矩阵A 施行初等行（列）变换得到矩阵B ，若B 可逆，则A 可逆。

证明： 充分性：
由引理3可知：对A 进行初等行（列）变换，矩阵的秩不变。

则有rank(A)=rank(B)
又因为矩阵B 可逆，由判别法1的扩充一可知，矩阵B 满秩。

故矩阵A 也满秩。

必要性：若矩阵A 可逆，由判别法1的扩充一可知，矩阵A 满秩 又由引理3可知：对A 进行初等行（列）变换，矩阵的秩不变 即rank(A)=rank(B)，故矩阵B 也满秩。

# 运用：
10.扩充五：矩阵向量组判别法（分块矩阵判别法）
把矩阵按行（列）分成一组向量组n 21......∂∂∂，（可以看作对矩阵A 按每行（列）分块），矩阵A 可逆的充分必要条件是n 21......∂∂∂，线性无关 证明：
充分性：把矩阵A 按行分成一组向量组n 21......∂∂∂，，若n 21......∂∂∂，线性无关， 则有矩阵A 的秩为n ，即矩阵A 满秩，由扩充一可知，矩阵A 可逆。

必要性：若矩阵A 可逆，则有矩阵A 满秩，故矩阵A 的各行（列）线性无关，对矩阵按行（列）分块，得到一组n 21......∂∂∂， 故n 21......∂∂∂，线性无关。

#
运用：（文献[3]）若321ααα，，线性无关，求证：矩阵()133221αααααα+++可逆
证明：令()()()0133322211=+++++ααααααk k k 整理得：()()()0332221131=+++++αααk k k k k k 又由题意可知：321ααα，，线性无关
∴0322131=+=+=+k k k k k k 解之得0321===k k k
∴1
33221αααααα+++，，线性无关
由扩充五可知，矩阵()133221αααααα+++可逆
11.扩充六：特征值判别法
矩阵A 可逆的充分必要条件是在标准基下的变换矩阵为A 的变换∂的特征值全不为0 证明：
充分性：若∂变换的特征值全不为0
即由引理五可知：存在非零向量ξ，使得ξλξ0=∂≠0
∴∂变换在标准基下的矩阵A 对应的行列式A ≠0 由判别法一可知，矩阵A 可逆。

必要性：若矩阵A 可逆，则由判别法一可知，矩阵A 对应的行列式A ≠0 则，存在非零向量ξ，使得A ξ≠0
即0≠∂ξ。

#
运用：
12.扩充七：特征多项式判别法
矩阵A 可逆的充分必要条件是矩阵A 的特征多项式的解全不为0 证明：
令⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1
22221
11211
那么A E -λ=⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛nn n n n n a a a a a a a a a
2
1
22221
112
11100010
001
λ
=
nn
n n n
a a a a a a a a a ---2
1
22221n
11211λλλ
------ ① 在①的展开式中，有一项是主对角线上的乘积
(11a -λ)(22a -λ)...(nn a -λ)
展开式中的其余各项，至多含有n-2个主对角线上的元素，它对λ的次
数最多是n-2，因此特征多项式中含λ的n 次与n-1次的项只能是在主对角线上的连乘积中出现，它们是
()1nn 2211a -+++-n n a a λλ
在特征多项式中令λ=0，即可得常数项A -=()A n
1-.
因此，只写出特征多项式的前两项与常数项，就有
A E -λ=()1nn 2211a -+++-n n a a λλ + +()k -n k k 1-λS + +()A n 1-.
其中k S 为A 中一切k 阶主子式之和，1S =nn 2211a +++ a a 。

又对A E -λ进行因式分解，分解成一次因式的乘积 令A E -λ=(1-ελ)(2-ελ) (n -ελ) 若A E -λ=0,解之得.,,,2211n n ελελελ===
由根与系数的关系可知，A 的特征多项式的全体解的和为
nn 2211a +++ a a ，而A 的特征多项式的全体解旳积为A 。

充分性：若矩阵A 的特征多项式的解全不为0
即n 21λλλ ≠0,即|A|≠0，矩阵A 非退化
由判别法1可知，矩阵A 可逆
必要性：若矩阵A 可逆
则由判别法1可知：|A|≠0
又 矩阵A 的特征多项式的解为n 21,,,λλλ 且A =n 21λλλ ≠0 故n 21,,,λλλ 全不为0。

参考文献
[1] 王萼芳,石生明修订.高等代数[M]. (第三版). 北京: 高等教育出版社,2003:12-18 [2] 钱吉林编著.高等代数解题精粹[M].(第二版). 北京: 中央名族大学出版社,2002.10 [3] 王萼芳.高等代数解题辅导.北京：高等教育出版社，2010.1 [4]李师正主编.高等代数解题方法与技巧.北京：高等教育出版社,2004.2
[5]黎伯堂，刘桂真编写.高等代数解题技巧与方法.山东：山东科学技术出版社，2002.5。