高中三角函数单元教学设计

28数学教学研究第38卷第4期2019年7月

高中三角函数单元教学设计

陈兆玲

（甘肃省兰州市第一中学730000）

早在16世纪以前，人们对三角函数的研究就已经有了完备的理论体系，主要研究平面、球面三角形的长度、角度、面积以及它们之间的关系.直到17世纪，三角仍是常量数学的主要内容.随着微积分和解析几何的创立和发展，变量数学逐步占据了核心地位，三角函数的模型作用显得越来越突出.

在高考中三角函数内容是以一大一小的题型出现，分值共18分.学好三角函数，完成高考对三角知识考查要求的基本技能的培养显得尤为重要.

1单元教学要素的分析

1.1数学视角的分析

初中阶段讲授的三角是静态的，主要讨论直角三角形的边角关系；高中阶段三角函数是动态的，主要是对一般的三角函数的研究.高中三角函数的学习是对初中三角的深化，它从函数的角度研究三角函数的图像、基本性质，甚至研究它的连续性、可导性等性质.而三角变换则是只变其形不变其质.变换大体上可分为两类：第一类是三角函数本身所蕴涵的恒等关系.第二类是三角函数运算中的恒等关系.三角恒等变换是解决数学问题的重要手段，也是高考中常考查的内容.

1.2课标视角的分析

三角函数是重要的数学模型.《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）突出了三角函数的实际背景与应用，对这一内容的学习将让学生认识到三角函数在解决实际问题中的广泛应用，培养数学应用意识.

对于“三角函数”这一章《课标》主要强调了以下几点：1.2.1几何直观

《课标》强调几何直观.借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的图像及性质、诱导公式等恒等变换，从而理解三角函数在一个周期上的周期性、单调性、最大值、最小值、图像与x轴的交点等性质.

1.2.2数学建模

《课标》将三角函数作为刻画现实世界的数学模型.首先提供丰富的实际背景，通过概括、抽象和分析，建立相应的三角函数模型，其次运用数学的思想方法研究三角函数模型，最后利用三角函数模型去更好地解释实际问题.这种处理体现了数学知识的发生、发展过程，有助于学生理解数学的本质.

1.2.3信息技术的运用

《课标》要求鼓励学生使用计算器和计算机解决问题，信息技术的使用，可以把学生从繁琐复杂的技巧性运算中解脱出来.如借助计算器求三角函数值和实际测量问题；画函数y= Asin（axr+卩）的图像，分析参数变化对函数的影响.对于“恒等变换”这一章《课标》主要强调了以下几点：

（1）《课标》中对三角恒等变形的定位主要是两个方面：一是从基本公式出发推导出其他公式，体会演绎推理的作用以及三角恒等关系的逻辑体系；二是对学生进行恒等变换的实战训练.

（2）加强知识之间的联系，强调用向量的数量积来推导两角差的余弦公式.

（3）对于两角和与差公式，二倍角公式要求能从两角差的余弦公式中导出，并运用其推导半角、积化和差、和差化积公式作为三角恒等变

收稿日期:2019-03-30

第38卷第4期2019年7月数学教学研究29

形的基本内容.

1.3教材比较视角的分析

在《课标》框架下，目前出现了“一标多版”:人教A版、人教B版、北师大版、苏教版、华东师大版、湘教版等多种版本教材，这些教材对三角函数的编写不尽相同.我省使用的人教A版在研究完3个三角函数的图像与性质之后继续研究y=Asin(3z+卩)的图像与性质，并以此为模型研究三角函数的简单应用；而苏教版的三角函数安排独具特色，首先是以生活中的实例引入了周期现象，在研究这类现象中又引出了三角函数，接下来不论是角度的扩充、弧度的引入、三角函数的定义、三角函数图像及性质的研究、诱导公式的得出，都充分发挥了单位圆的直观作用.而就人教版而言，A,B两版也有区别，B版是在研究完3个三角函数的图像与性质之后转入如何利用三角函数图像解决已知三角函数值求角问题，而将模型的建立放到了课后阅读，并未纳入课堂教学之中.

1.4教学方法视角的分析

建构主义理论认为，学习应该是学生积极主动地建构知识的过程，利用学生已有的认知结构和经验，通过教师的引导，自觉主动地构建新的知识，这样的学习才是有效的.因此，在“三角函数”教学中，我们应该尊重学生的主体地位，在学生已有的锐角三角函数的认知结构下，先对角的概念进行推广并引入弧度制，在此基础上对任意角三角函数进行定义，并对其内在的本质进行研究.其次，对三角函数的基本性质(函数三要素、图像、单调性、奇偶性、周期性)进行较为深入的研究.而三角恒等变换则是先由实际问题出发利用向量的数量积推导得出两角差的余弦公式，再借助它推导出两角剩余的所有公式.

2教学目标的分析

2.1知识与技能

2.1.1总体要求

三角函数是基本初等函数，在本模块教学中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.从余弦公式出发推导两角和与差的公式，二倍角公式的这个过程有助于学生体会数与形的内在联系.

2.1.2具体要求

(1)任意角、弧度.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.

(2)三角函数.

①借助单位圆理解任意角三角函数的定义.

②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，并画三角函数的图像.

③借助图像理解正弦函数、余弦函数在［0,

TT TT

2己,正切函数在(-j,j)上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与坐标轴的交点等).

④理解同角三角函数的基本关系式.

⑤借助计算机画出y=Asin(3z+卩)的图像，观察3个参数对函数图像变化的影响.

⑥能用三角函数解决简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化的函数模型.

(3)三角恒等变换.

①用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，体会向量方法的作用.

②能用两角差的余弦公式推导出两角和与差公式，倍半角公式，体会其内在联系.

③运用公式进行简单的恒等变形(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式).

2.2过程与方法

(1)通过对三角函数概念、图像及性质的学习，体会三角函数可以描述一些简单的周期变化规律并能解决简单的实际问题.

(2)通过研究三角函数线及三角函数图像、性质，体会到利用单位圆简单、方便，更好地体会数形结合思想在学习三角函数中的重要性.

(3)在方程思想、换元等方法的指导下，引导学生对公式中的角，以及三角函数名的差异，使学生更好的把握三角恒等变换的特点.

2.3情感、态度与价值观

(1)提岀与三角函数有关的实际问题，围绕