Matlab编程计算几何
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ＬＩＵ Ｚｈｉ—ｐｉｎｇ，ＳＨＩ Ｌｉｎ—ｙｉｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｈｕａｉｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ ２２２００５）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｉｄｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｉｄｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ．Ｂｅｃａｕｓｅ Ｍａｔｌａｂ ｕｓｅｓ ｃｏｍｐｌｅｘ ｍａｔｒｉｘ ａｓ ｉｔｓ ｂａｓｉｃ ｕｎｉｔ．ｗｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｔｅｎｓｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｂｅｚｉｅｒ ｓｕｒｆａｃｅ，ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｈｅ ｗａｙｓ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｔｈｅｍ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ．Ｏｎ ｓｕｃｈ ａ ｂａｓｉｓ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｍａｄｅ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｐｒｏｇｒａｍｓ ａｎｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｔｈｅｍ ｂｙ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｓｕｃｈ ａ ｓｔｕｄｙ ａｉｍｓ ａｔ ｐｒｏｍｏｔｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ＣＡＧＤ ｔｏｏｌｂｏｘ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｉｄｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ（ＣＡＧＤ）；ｆｒｅｅ－ｆｏｒｍ ｃｕｒｖｅ（ｓｕｒｆａｃｅ）；Ｍａｔｌａｂ
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万方数据
３０
淮海工学院学报（自然科学版Ｊ
其中Ｍ＝［ｍ。］。¨ｍ。＋。，为Ｍ＋ｌ阶方阵，Ｎ一 ［“，］。。，。＋。，为ｎ－４－ｌ阶方阵。
肌。一ｃ～·，７。（７）（｛），“，一ｃ一·ｙ’（ｎ，八ｊｉ）。
（４）
式（３）表明Ｂｅｚｉｅｒ曲面是由两个参数方向“和口
基于式（１）和式（２），得到如下算法。 算法１ 输入：控制顶点Ｐ。，Ｐｌ＇．”，Ｐ。，其中Ｐ。（ｏ≤ｉ≤
竹）既可以是二维空间中的点Ｐ。（五，Ｙ，），也可以是三 维空间中的点Ｐ，（ｚ，，Ｙ。，ｚ，）。
输出：ｎ次Ｂｅｚｉｅｒ曲线ｃ（ｒ）的图形。 步骤１：连接各个控制顶点生成控制多边形。 步骤２：利用式（２）生成过渡矩阵Ｍ。 步骤３：根据式（１）生成规次Ｂｅｚｉｅｒ曲线Ｃ（￡），若 Ｐ，为二维平面点，则ｃ（￡）为平面曲线；若Ｐ，为三维 空间点，则ｃ（￡）为空间曲线。 算法实例１ 绘制５次Ｂｅｚｉｅｒ曲线，其控制顶点 分别为Ｐ。一（１，１），Ｐ，一（２，４），Ｐ２一（３，ｏ），Ｐ。一
第１ ７卷第４期 ２００８年１２月
淮海工学院学报ｆ自然科’｝：版）
Ｖ０１．１ ７ Ｎｏ．４
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕａｉｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ，Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ．２００８
文章编号：１６７２—６６８５（２００８）０４—００２８—０３
万方数据
２００２．
Ｅ３］刘志平，王仁宏．三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面和四边Ｂｅｚｉｅｒ曲面之 间的相互转化［Ｊ］．数学研究与评论，２００６，２６（３）：５２５—
５３０． ［４］ＭＡＲＣＯ Ａ．Ａ ｆａｓｔ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ
Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ＿Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａ卜
（４，３），Ｐ。＝（５，一１），Ｐ５一（６，Ｏ）。
由算法１，笔者使用Ｍａｔｌａｂ编程解决上述问题， 关键点是生成过渡矩阵Ｍ６。。，具体生成过渡矩阵的 Ｍａｔｌａｂ语句为：
ｆｏｒ ｉ一０：ｎ ｆｏｒ ｊ一０：ｎ Ｍ（ｉ＋１，ｊ＋１）一（－－１）‘（ｊ—ｉ）＊ｍｙｂｉｎｏｍ（ｎ，
ｊ）＊ｍｙｂｉｎｏｍ（ｊ，ｉ）； ｅｎｄ
Ｔｏｏｌｂｏｘ）”，我国学者薛定字开发的“反馈控制系统 分析与设计工具箱（ＣｔｒｌＬＡＢ）”Ⅲ。本文就ＣＡＧＤ 常用的Ｂｅｚｉｅｒ曲线曲面给出具体的算法和实用的 程序，希望能够推动Ｍａｔｌａｂ的ＣＡＧＤ专业工具箱 的产生。
１ Ｂｅｚｉｅｒ曲线的矩阵表示形式及其 Ｍａｔｌａｂ实现
给定竹次Ｂｅｚｉｅｒ曲线ｃ（￡）＝∑ｐ，Ｂ。（￡），其中０
图１ 控制顶点及控制多边形 Ｆｉｇ．１ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｌｙｇｏｎ
０ ５ ０ ５ ０ ５ ０ ５ Ｏ ５
们”如拍加¨加吣∞０∽
图２ ５次Ｂｅｚｉｅｒ曲线 Ｆｉｇ．２ Ｑｏ｜ｎｔｉｃ Ｂｅｚｉｅｒ ｃＢｒｖｅ
有了Ｂｅｚｉｅｒ曲线的生成程序，就可进一步考虑 Ｂｅｚｉｅｒ曲线的其它问题，如两条Ｂｅｚｉｅｒ曲线的光滑 连接，满足一定连续性条件的过渡曲线的构造等。
ｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７．４２２（２）：６１６－６２８．
［５］施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理Ｂ样条 ［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．
［６］郑阿奇．ＭＡＴＬＡＢ实用教程［Ｍ］．北京：电子工业出版 社，２００４．
［７］ＭＯＮＥＲＤＥ Ｊ．Ｏｎ ｈａｒｍｏｎｉｃ ａｎｄ ｂｉｈａｒｍｏｎｉｅ Ｂｅｚｉｅｒ ｓｕｒ— ｆａｅｅ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ，２００４，２ｌ
参考文献： ［１］ 薛定宇．控制系统计算机辅助设计——ＭＡＴＬＡＢ语言
与应用［Ｍ］．２版．北京：清华大学出版社．２００６． ［２］ ＦＡＲＩＮ Ｇ．Ｃｕｒｖｅｓ ａｎｄ Ｓｕｒｆａｃｅｓ ｆｏｒ ＣＡＧＤ：ａ Ｐｒａｔｉｃａｌ
Ｇｕｉｄ Ｆｉｆｔｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ：Ａｃａｄｅｍｉｃ ｐｒｅｓｓ，
ｅｎｄ
Ｍ—Ｍ（１：ｎ＋１，１：ｎ＋１）； 其中调用函数ｍｙｂｉｎｏｍ（ｎ，ｉ）是为了计算组合数
（？），计算得
Ｍ６×６ ２
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进而可以生成所求的Ｂｅｚｉｅｒ曲线，如图ｌ和图２。
４０ ３５ ３Ｏ ２５ ２０ １５ １Ｏ ０５ ０Ｏ Ｏ５ ｌ０
（７）：６９７—７１５．
［８３ Ｇ（）Ｉ，ＤＭＡＮ Ｒ．Ｍｕｌｔｉｓｉｄｅｄ ａｒｒａｙｓ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｉｎｔｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｓｉｄｅｄ Ｂｅｚｉｅｒ ｐａｔｃｈｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔ—
ｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ，２００４，２ｌ（３）：２４３—２６１．
（责任编辑：吉美丽）
ｉ＝０
收稿日期：２００８—０４—２１ ｌ修订日期：２００８—０９—１５ 基金项目：淮海工学院自然科学基金资助项目（Ｚ２００６０１ ４） 作者简介：刘志平（１ ９７９一）．男．山东烟台人，淮海工学院理学院讲师，硕上．主要从事计算机辅助几何设计领域的研究．（Ｅ ｍａｉｌ）ｌｉｕ—ｚｈｉ—
ｐｉｎｇ＠１６３．ＣＯｒｎ。
Ｂｅｚｉｅｒ曲面见图４。
图３控制网格 Ｆｉｇ．３ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｎｅｔ
图４ ５Ｘ ５次Ｂｅｚｉｅｒ曲面 Ｆｉｇ．４ Ｂｉｑｕｉｎｔｉｃ Ｂｅｚｉｅｒ ｓｕｒｆａｃｅ
３ 小结
本文以Ｂｅｚｉｅｒ曲线曲面的矩阵表示形式为基 础，形成了可实现的算法和Ｍａｔｌａｂ程序，并以具体 实例的形式加以说明。进一步，也可以用Ｍａｔｌａｂ实 现对Ｂ样条曲线曲面、ＮＵＲＢＳ曲线曲面的绘制与 计算，笔者的目标是以完整、简洁的Ｍａｔｌａｂ函数集 实现对ＣＡＧＤ领域的分析与设计，形成Ｍａｔｌａｂ的 ＣＡＧＤ专业工具箱，这样必可以在很大程度上推动 ＣＡＧＤ的教学和科研工作。
万方数据
第４期
刘志平等：Ｍａｔｌａｂ在计算机辅助几何设计领域的应用
２９
一鼎“１一ｆ）一是以次Ｂｅｍｓｔ ≤ｔ≤ｌ，Ｐ，（Ｏ≤ｉ≤”）表示＂＋１个控制顶点，Ｂ。，（￡） ｅｌｎ多项式。
上述Ｂｅｚｉｅｒ曲线也可表示为矩阵形式眨
ｎ
¨
ｃ（￡）一［ｍ Ｐ１…户。］［ｍｉ］（㈣ｍ｝
ｕ （１）
ｍ。一ｃ叫…（瓢）ｏ ㈦
０ 引言
计算机辅助几何设计（ＣＡＧＤ）是计算机图形学 的重要部分，它在工业设计中有着重要的应用。传 统的ＣＡＧＤ程序一般是用Ｃ或Ｃ＋＋语言编写，如 ＯｐｅｎＧＬ图形包，但是要想使用ＯｐｅｎＧＬ就必须先 熟悉ＶＣ＋＋环境，这是一个相当艰苦的过程。近 几年，随着Ｍａｔｌａｂ语言的普及，以及Ｍａｔｌａｂ易学好 懂且功能强大的特点，许多领域的专家学者相继推 出了Ｍａｔｌａｂ专业工具箱，如Ｊｏｈｎ Ｌｉｔｔｌｅ和Ｌｏｒｅｎ ｓｈｕｒｅ开发的“信号处理工具箱（Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ
Ｍａｔｌａｂ在计算机辅助几何设计领域的应用
刘志平，石林英
（淮海工学院理学院．江苏连云港２２２００５）
摘要：基于计算机辅助几何设计的重要性和Ｍａｔｌａｂ语言的普及，探讨了Ｍａｔｌａｂ在计算机辅助几 何设计领域中的应用问题。由于Ｍａｔｌａｂ的基本编程单元是复数矩阵，因此首先归纳出了一维
Ｂｅｚｉｅｒ曲线和二维张量积型Ｂｅｚｉｅｒ曲面的矩阵表示形式，在此基础上形成算法，编写了可实现的程
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当然，一般情况下Ｍ和Ｎ也可以是不同维数的矩
阵。绘制的控制网格见图３，符合要求的双５次
２ Ｂｅｚｉｅｒ曲面的矩阵表示形式及其 Ｍａｔｌａｂ实现
给定ｍ×ｎ次Ｂｅｚｉｅｒ曲面ｓ（“，ｕ）一
∑∑Ｐ。Ｂ…（“）Ｂ。（口），０≤甜，刀≤１，Ｐ。称为曲
ｉ一０ Ｊ一０
面的控制顶点，Ｂ…（“）和Ｂ，，。（ｕ）分别是ｍ次和行 次Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式。上述Ｂｅｚｉｅｒ曲面也可以表示为 如下的矩阵形式［１］：
上的Ｂｅｚｉｅｒ啮线做张量积生成的，故可得类似算法。 算法２
输入：控制顶点Ｐ。，其中０≤ｉ≤ｍ，０≤ｊ≤，，。 输出：ｍ×７２次Ｂｅｚｉｅｒ曲面ｓ（“，ｕ）的图形。 步骤１：依次连接各个控制顶点生成控制网格。 步骤２：利用式（４）生成过渡矩阵Ｍ和Ｎ。
步骤３：根据式（３）生成ｍ×ｎ次Ｂｅｚｉｅｒ曲面 Ｓ（ｕ，。）的表达式，绘制Ｓ（ｕ，ｕ）的图形。
序，随后以具体实例的形式给予验证，最终得到了满足要求的曲线和曲面，以期能够推动Ｍａｔｌａｂ的
ＣＡＧＤ专业工具箱的产生。
关键词：计算机辅助几何设计；自由曲线（曲面）；Ｍａｔｌａｂ
中图分类号：０２４１．５
文献标识码：Ａ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ
算法实例２ 绘制一张５×５次的Ｂｅｚｉｅｒ曲面， 其由各控制顶点组成的控制点阵为
声０
Ｓ
（Ｏ，０，１） （０．１．２）
（１，０．２） （２，０，３） （３．０，３） （４．０．２）
（１，１，３） （２，１，４） （３，１，４） （４，１，３）
（５，０，１） （５，１，２）
在此例中，
ｒＩｌＩＬ ｐ “；５ Ｏ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｉｄｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅ ｐｏｓｓｉｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ ｉｎ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｉｄｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ．Ｂｅｃａｕｓｅ Ｍａｔｌａｂ ｕｓｅｓ ｃｏｍｐｌｅｘ ｍａｔｒｉｘ ａｓ ｉｔｓ ｂａｓｉｃ ｕｎｉｔ．ｗｅ ｐｒｏｖｉｄｅｄ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｂｅｚｉｅｒ ｃｕｒｖｅ ａｎｄ ｔｅｎｓｏｒ ｐｒｏｄｕｃｔ Ｂｅｚｉｅｒ ｓｕｒｆａｃｅ，ａｎｄ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｔｈｅ ｗａｙｓ ｔｏ ａｃｈｉｅｖｅ ｔｈｅｍ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ．Ｏｎ ｓｕｃｈ ａ ｂａｓｉｓ，ｗｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ｍａｄｅ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｐｒｏｇｒａｍｓ ａｎｄ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｔｈｅｍ ｂｙ ｃｏｎｃｒｅｔｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｓｕｃｈ ａ ｓｔｕｄｙ ａｉｍｓ ａｔ ｐｒｏｍｏｔｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ＣＡＧＤ ｔｏｏｌｂｏｘ ｂｙ ｕｓｉｎｇ Ｍａｔｌａｂ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｉｄｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ（ＣＡＧＤ）；ｆｒｅｅ－ｆｏｒｍ ｃｕｒｖｅ（ｓｕｒｆａｃｅ）；Ｍａｔｌａｂ
Ｉ二ｌ “
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。（３）
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淮海工学院学报（自然科学版Ｊ
其中Ｍ＝［ｍ。］。¨ｍ。＋。，为Ｍ＋ｌ阶方阵，Ｎ一 ［“，］。。，。＋。，为ｎ－４－ｌ阶方阵。
肌。一ｃ～·，７。（７）（｛），“，一ｃ一·ｙ’（ｎ，八ｊｉ）。
（４）
式（３）表明Ｂｅｚｉｅｒ曲面是由两个参数方向“和口
基于式（１）和式（２），得到如下算法。 算法１ 输入：控制顶点Ｐ。，Ｐｌ＇．”，Ｐ。，其中Ｐ。（ｏ≤ｉ≤
竹）既可以是二维空间中的点Ｐ。（五，Ｙ，），也可以是三 维空间中的点Ｐ，（ｚ，，Ｙ。，ｚ，）。
输出：ｎ次Ｂｅｚｉｅｒ曲线ｃ（ｒ）的图形。 步骤１：连接各个控制顶点生成控制多边形。 步骤２：利用式（２）生成过渡矩阵Ｍ。 步骤３：根据式（１）生成规次Ｂｅｚｉｅｒ曲线Ｃ（￡），若 Ｐ，为二维平面点，则ｃ（￡）为平面曲线；若Ｐ，为三维 空间点，则ｃ（￡）为空间曲线。 算法实例１ 绘制５次Ｂｅｚｉｅｒ曲线，其控制顶点 分别为Ｐ。一（１，１），Ｐ，一（２，４），Ｐ２一（３，ｏ），Ｐ。一
第１ ７卷第４期 ２００８年１２月
淮海工学院学报ｆ自然科’｝：版）
Ｖ０１．１ ７ Ｎｏ．４
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｕａｉｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ，Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）Ｄｅｃ．２００８
文章编号：１６７２—６６８５（２００８）０４—００２８—０３
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２００２．
Ｅ３］刘志平，王仁宏．三角Ｂｅｚｉｅｒ曲面和四边Ｂｅｚｉｅｒ曲面之 间的相互转化［Ｊ］．数学研究与评论，２００６，２６（３）：５２５—
５３０． ［４］ＭＡＲＣＯ Ａ．Ａ ｆａｓｔ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ
Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ＿Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｌｉｎｅａｒ Ａ卜
（４，３），Ｐ。＝（５，一１），Ｐ５一（６，Ｏ）。
由算法１，笔者使用Ｍａｔｌａｂ编程解决上述问题， 关键点是生成过渡矩阵Ｍ６。。，具体生成过渡矩阵的 Ｍａｔｌａｂ语句为：
ｆｏｒ ｉ一０：ｎ ｆｏｒ ｊ一０：ｎ Ｍ（ｉ＋１，ｊ＋１）一（－－１）‘（ｊ—ｉ）＊ｍｙｂｉｎｏｍ（ｎ，
ｊ）＊ｍｙｂｉｎｏｍ（ｊ，ｉ）； ｅｎｄ
Ｔｏｏｌｂｏｘ）”，我国学者薛定字开发的“反馈控制系统 分析与设计工具箱（ＣｔｒｌＬＡＢ）”Ⅲ。本文就ＣＡＧＤ 常用的Ｂｅｚｉｅｒ曲线曲面给出具体的算法和实用的 程序，希望能够推动Ｍａｔｌａｂ的ＣＡＧＤ专业工具箱 的产生。
１ Ｂｅｚｉｅｒ曲线的矩阵表示形式及其 Ｍａｔｌａｂ实现
给定竹次Ｂｅｚｉｅｒ曲线ｃ（￡）＝∑ｐ，Ｂ。（￡），其中０
图１ 控制顶点及控制多边形 Ｆｉｇ．１ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｌｙｇｏｎ
０ ５ ０ ５ ０ ５ ０ ５ Ｏ ５
们”如拍加¨加吣∞０∽
图２ ５次Ｂｅｚｉｅｒ曲线 Ｆｉｇ．２ Ｑｏ｜ｎｔｉｃ Ｂｅｚｉｅｒ ｃＢｒｖｅ
有了Ｂｅｚｉｅｒ曲线的生成程序，就可进一步考虑 Ｂｅｚｉｅｒ曲线的其它问题，如两条Ｂｅｚｉｅｒ曲线的光滑 连接，满足一定连续性条件的过渡曲线的构造等。
ｇｅｂｒａ ａｎｄ Ｉｔｓ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７．４２２（２）：６１６－６２８．
［５］施法中．计算机辅助几何设计与非均匀有理Ｂ样条 ［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．
［６］郑阿奇．ＭＡＴＬＡＢ实用教程［Ｍ］．北京：电子工业出版 社，２００４．
［７］ＭＯＮＥＲＤＥ Ｊ．Ｏｎ ｈａｒｍｏｎｉｃ ａｎｄ ｂｉｈａｒｍｏｎｉｅ Ｂｅｚｉｅｒ ｓｕｒ— ｆａｅｅ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ，２００４，２ｌ
参考文献： ［１］ 薛定宇．控制系统计算机辅助设计——ＭＡＴＬＡＢ语言
与应用［Ｍ］．２版．北京：清华大学出版社．２００６． ［２］ ＦＡＲＩＮ Ｇ．Ｃｕｒｖｅｓ ａｎｄ Ｓｕｒｆａｃｅｓ ｆｏｒ ＣＡＧＤ：ａ Ｐｒａｔｉｃａｌ
Ｇｕｉｄ Ｆｉｆｔｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｓａｎ Ｄｉｅｇｏ：Ａｃａｄｅｍｉｃ ｐｒｅｓｓ，
ｅｎｄ
Ｍ—Ｍ（１：ｎ＋１，１：ｎ＋１）； 其中调用函数ｍｙｂｉｎｏｍ（ｎ，ｉ）是为了计算组合数
（？），计算得
Ｍ６×６ ２
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。川∞ｑ。 。 圳均＿。
进而可以生成所求的Ｂｅｚｉｅｒ曲线，如图ｌ和图２。
４０ ３５ ３Ｏ ２５ ２０ １５ １Ｏ ０５ ０Ｏ Ｏ５ ｌ０
（７）：６９７—７１５．
［８３ Ｇ（）Ｉ，ＤＭＡＮ Ｒ．Ｍｕｌｔｉｓｉｄｅｄ ａｒｒａｙｓ ｏｆ ｃｏｎｔｒｏｌ ｐｏｉｎｔｓ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｓｉｄｅｄ Ｂｅｚｉｅｒ ｐａｔｃｈｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔ—
ｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ，２００４，２ｌ（３）：２４３—２６１．
（责任编辑：吉美丽）
ｉ＝０
收稿日期：２００８—０４—２１ ｌ修订日期：２００８—０９—１５ 基金项目：淮海工学院自然科学基金资助项目（Ｚ２００６０１ ４） 作者简介：刘志平（１ ９７９一）．男．山东烟台人，淮海工学院理学院讲师，硕上．主要从事计算机辅助几何设计领域的研究．（Ｅ ｍａｉｌ）ｌｉｕ—ｚｈｉ—
ｐｉｎｇ＠１６３．ＣＯｒｎ。
Ｂｅｚｉｅｒ曲面见图４。
图３控制网格 Ｆｉｇ．３ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｎｅｔ
图４ ５Ｘ ５次Ｂｅｚｉｅｒ曲面 Ｆｉｇ．４ Ｂｉｑｕｉｎｔｉｃ Ｂｅｚｉｅｒ ｓｕｒｆａｃｅ
３ 小结
本文以Ｂｅｚｉｅｒ曲线曲面的矩阵表示形式为基 础，形成了可实现的算法和Ｍａｔｌａｂ程序，并以具体 实例的形式加以说明。进一步，也可以用Ｍａｔｌａｂ实 现对Ｂ样条曲线曲面、ＮＵＲＢＳ曲线曲面的绘制与 计算，笔者的目标是以完整、简洁的Ｍａｔｌａｂ函数集 实现对ＣＡＧＤ领域的分析与设计，形成Ｍａｔｌａｂ的 ＣＡＧＤ专业工具箱，这样必可以在很大程度上推动 ＣＡＧＤ的教学和科研工作。
万方数据
第４期
刘志平等：Ｍａｔｌａｂ在计算机辅助几何设计领域的应用
２９
一鼎“１一ｆ）一是以次Ｂｅｍｓｔ ≤ｔ≤ｌ，Ｐ，（Ｏ≤ｉ≤”）表示＂＋１个控制顶点，Ｂ。，（￡） ｅｌｎ多项式。
上述Ｂｅｚｉｅｒ曲线也可表示为矩阵形式眨
ｎ
¨
ｃ（￡）一［ｍ Ｐ１…户。］［ｍｉ］（㈣ｍ｝
ｕ （１）
ｍ。一ｃ叫…（瓢）ｏ ㈦
０ 引言
计算机辅助几何设计（ＣＡＧＤ）是计算机图形学 的重要部分，它在工业设计中有着重要的应用。传 统的ＣＡＧＤ程序一般是用Ｃ或Ｃ＋＋语言编写，如 ＯｐｅｎＧＬ图形包，但是要想使用ＯｐｅｎＧＬ就必须先 熟悉ＶＣ＋＋环境，这是一个相当艰苦的过程。近 几年，随着Ｍａｔｌａｂ语言的普及，以及Ｍａｔｌａｂ易学好 懂且功能强大的特点，许多领域的专家学者相继推 出了Ｍａｔｌａｂ专业工具箱，如Ｊｏｈｎ Ｌｉｔｔｌｅ和Ｌｏｒｅｎ ｓｈｕｒｅ开发的“信号处理工具箱（Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ
Ｍａｔｌａｂ在计算机辅助几何设计领域的应用
刘志平，石林英
（淮海工学院理学院．江苏连云港２２２００５）
摘要：基于计算机辅助几何设计的重要性和Ｍａｔｌａｂ语言的普及，探讨了Ｍａｔｌａｂ在计算机辅助几 何设计领域中的应用问题。由于Ｍａｔｌａｂ的基本编程单元是复数矩阵，因此首先归纳出了一维
Ｂｅｚｉｅｒ曲线和二维张量积型Ｂｅｚｉｅｒ曲面的矩阵表示形式，在此基础上形成算法，编写了可实现的程
ｉ０ ， ２
１
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当然，一般情况下Ｍ和Ｎ也可以是不同维数的矩
阵。绘制的控制网格见图３，符合要求的双５次
２ Ｂｅｚｉｅｒ曲面的矩阵表示形式及其 Ｍａｔｌａｂ实现
给定ｍ×ｎ次Ｂｅｚｉｅｒ曲面ｓ（“，ｕ）一
∑∑Ｐ。Ｂ…（“）Ｂ。（口），０≤甜，刀≤１，Ｐ。称为曲
ｉ一０ Ｊ一０
面的控制顶点，Ｂ…（“）和Ｂ，，。（ｕ）分别是ｍ次和行 次Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式。上述Ｂｅｚｉｅｒ曲面也可以表示为 如下的矩阵形式［１］：
上的Ｂｅｚｉｅｒ啮线做张量积生成的，故可得类似算法。 算法２
输入：控制顶点Ｐ。，其中０≤ｉ≤ｍ，０≤ｊ≤，，。 输出：ｍ×７２次Ｂｅｚｉｅｒ曲面ｓ（“，ｕ）的图形。 步骤１：依次连接各个控制顶点生成控制网格。 步骤２：利用式（４）生成过渡矩阵Ｍ和Ｎ。
步骤３：根据式（３）生成ｍ×ｎ次Ｂｅｚｉｅｒ曲面 Ｓ（ｕ，。）的表达式，绘制Ｓ（ｕ，ｕ）的图形。
序，随后以具体实例的形式给予验证，最终得到了满足要求的曲线和曲面，以期能够推动Ｍａｔｌａｂ的
ＣＡＧＤ专业工具箱的产生。
关键词：计算机辅助几何设计；自由曲线（曲面）；Ｍａｔｌａｂ
中图分类号：０２４１．５
文献标识码：Ａ
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｌａｂ ｉｎ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ａｉｄｅｄ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｄｅｓｉｇｎ
算法实例２ 绘制一张５×５次的Ｂｅｚｉｅｒ曲面， 其由各控制顶点组成的控制点阵为
声０
Ｓ
（Ｏ，０，１） （０．１．２）
（１，０．２） （２，０，３） （３．０，３） （４．０．２）
（１，１，３） （２，１，４） （３，１，４） （４，１，３）
（５，０，１） （５，１，２）
在此例中，
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