第八章 相量法

频域 相量图 ②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变 不 线性电路。 适 1 用 非 线 线 2 线性 性 性
③相量法用来分析正弦稳态电路。
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时域 正弦波形图
8-4 电路定律的相量形式
主要内容 1. R、L、C元件的VCR（伏安特性）的相量形式； 2. 基尔霍夫定律的相量形式； 3. 受控源特性方程的相量形式。
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一、正弦量的相量表示 1. 相量 意义:正弦量不便于计算,而采用相量表示正弦量,则有 利于简化计算。 电流 i 2 I cos( t i )的相量如何表示? I m e j ( t ) I m cos( t ) jI m sin( t i )
| F1 | | F2 | (1 2 )
复数乘积的模等于各复数模的乘积，其辐角等于 各复数辐角的和。
F1 | F1 | e j1 | F1 | j (1 2 ) | F1 | e (1 2 ) j 2 F2 | F2 | e | F2 | | F2 |
1 2
1 2
证明： i i1 i2
e jt ] Re[ 2 I e jt ] Re[ 2 I 1 2 I )e jt ] Re[ 2( I
1 2
jt ] 而i Re[ 2 Ie jt ] Re[ 2( I I )e jt ] Re[ 2 Ie 1 2 I I I
i
2. 相量图 相量是复数, 故可在复平面上(用矢量)表示就称为 相量图，如图8－4a。为了相量图的简洁，又常省去坐 标轴, 如图8－4b。
图8－4a
图8－4b
由于相量是复数, 故可用矢量合成的方法来进行相量 的加减运算(如图8－4d,e)
Baidu Nhomakorabea2 I
I2
I2 I
I
I3
I2
图8－4f
i 与I 的关系： 正弦电流 i 在时间T内产生的电能:
Wi p( t )dt Ri 2 ( t )dt
0 0 T T
图5－3a
图5－3b

T
0
Ri 2 dt RI 2T
1 T
I
直流电流 I 在时间T内产生的电能:
WI

T
0
i 2 dt

T
0
RI dt RI T
I I I ( I ) I 1 2 1 2
I1
I I I 1 2
图8－4d
I1
I I1 I2 I3
图8－4e
I1
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二、正弦量的相量运算 同频正弦量进行加、减、微分、积分运算,运算结果 仍为同频率的正弦量，所对应的相量运算如何？ 1. 同频率正弦量的代数和 设： i1 2I1 cos(t i1 )，i2 2I 2 cos(t i 2 ) , , I I 则： i i i 所对应的相量为： I
1 2
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2.正弦量的微分 设： i 2 I cos(t i )
故：i ——I
di 则： 2 I sin(t i ) dt
di ——j I I (i ) dt 2
2 I cos(t i

2
)
3.正弦量的积分
I 正弦量i的积分： idt对应的相量为： j jt ]dt Re[ ( 2 Ie jt )dt ] 证明： idt Re[ 2 Ie
图8－8a
相 量
j LI U L L
U L u LI L i

2
图8－8b
U L LI L u i 2
U C
φi φu
相量图
U L
φu
IL
φi
图8－8c
IC
图8－9c
3.电容 方 程
正弦量
du iC C C dt
第八章 相量法
1. 复数 2. 正弦量 3. 相量法的基础
4. 电路定律的相量形式
1
8-1 复数
主要内容
1.复数的三种形式 代数形式；三角形式；指数形式 2.复数的运算 加、减运算；乘、除运算 3.旋转因子 一、复数 1.代数形式 F=a+jb a—复数的实部；b—复数的虚部； j 1 称为虚单位 +j 复数在复平面的表示 b F
相 量
jCU I C C
CU C (u ) I C i 2
1 U C C I C i u 2
电路模型
图8－9a
相量图：如图8-9c
图8－9b
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4.独立电源
方 程 电路模型
正弦量
相 量
U U S S u
S
uS 2U S cos(t u )
故： i 11.18cos(50t 26.6)
图 8－ 5
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例8–2 图示电路,已知R=4Ω, L=20mH, uS 8 2 cos( 200t 60)V 求电流 i 。 解：由KVL得：u R u L us di Ri L uS dt 图 8－ 6 j LI U 则其相量满足的方程为： RI S
Δφ
>0 <0 =±π/2 =0 =±π
u超前i u滞后i u与i 正交 u与i 同相 u与i 反相
图5－2a
图5－2b
8
u i
图5－2c

2
u i 0
图5－2d
u i
图5－2e
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复习
1.复数的三种形式以及相互转换； 2.正弦量←→相量
i 2I cos(t i )
ji I Ie I i
3.正弦量的相量运算
i i1 i2
di dt
I I I 1 2
j I I (i ) 2
idt
I j
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三、正弦量的有效值 正弦电压、电流的瞬时值随时间变化。为了衡量其 大小, 常采用有效值来比较。 正弦电流的有效值定义为：让正弦电流和直流电流 分别通过两个阻值相等的电阻，如果在一个周期内，两 者所产生的能量相等，那么该直流电流的值为正弦交流 电流的有效值。 i I
(a,b)
θ
0
a
+1
b arg tan( ) a
2
2.三角形式 F＝|F|(cosθ+ jsinθ) =a+ jb |F|—复数的模；θ—复数的辐角，即θ＝argF 与代数形式之间的关系： +j
a | F | cos , b | F | sin
b
| F |
3.指数形式 F=|F|ejθ ejθ=cosθ+jsinθ——欧拉公式 此形式也可以写为极坐标形式：F=|F|∠θ 二、复数的运算 1.加、减法运算 使用代数形式 F=F1±F2 F1=a1+jb1, F2=a2+jb2 =a1±b1+j(b1±b2)
一、元件VCR 相 量 正弦量 1.电阻 RI 方 程 uR Ri R U R R
U Ru RI Ri
U R RI R u i
电路模型
图5－7a 图5－7b
相量图
IR
U R
图5－7c
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φu =φi
2.电感
方 程 电路模型
正弦量
diL uL L dt
i 2I cos(t i ) ji I Ie I i
3.电路定律的相量形式：R、L、C，电源，KCL、KVL。
2 2
I
Im 2
0.707 I 11 m
通常所说的正弦交流电压、电流的大小都是指有效值。 譬如民用交流电压220V、工业用电电压380V等，交流测 量仪表所指示的读数、电气设备的额定值等都是指有效 值。但是，各种器件和电气设备的耐压值应按最大值考 虑。
8-3 相量法的基础
主要内容 1.正弦量的相量表示 相量；相量图 2.正弦量的相量运算 加、减运算；乘、除运算
jt I Re[ 2( )e ] j
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例8-1已知i1 ( t ) 5cos(50t 36.9)A，i2 ( t ) 10cos(50t 53.1)A， 求 i=? 5 10 解： I1 36.9, I 2 －53.1,
2 2
i i1 i2 1 1 11.18 I I1 I 2 (4 j3 6 j8 ) (10 j 5) 26.6 2 2 2
图8－10a
图8－10b
5.受控电源 方 程 电路模型 二、电路定律 1.KCL 正弦量
正弦量
图10－11a
相 量
图10－11b
总结： 相 量
i 0
2.KVL 正弦量
I 0
RI U j LI U j 1 I U C I 0 0 U

2
t
Im—— 振幅 图8-1 三要素 ω——角频率(rad/s) φi —— 初相(rad) |φ|≦180°
T 2

—— 周期(s)
1 f —频率(1/s,HZ) T
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三要素是正弦量之间进行比较和区分的主要依据
我国电力系统的正弦交流电 , 其频率是 50Hz, 其周期 为 0.02s 。频率较高时 , 其单位常用千赫 (kHz) 、 兆赫 (MHz) 和吉赫 (GHz) 表示 , 其相应的周期单位分别为毫秒 (ms) 、微秒(μs)和纳秒(ns) 。如：无线电技术、通信 技术等领域 使用的信号。 二、相位差 两个同频率正弦量的相位角之差称为相位差 例如, 正弦电压和电流： u=Umcos(ωt+φu)， i=Imcos(ωt+ φi) 二者的相位差(用Δφ表示)为 Δφ= (ωt+φu )-(ωt+φi )=φu –φi 即相位差为常数 , 等于初相之差 , 与时间无关。 根据它可以判断两个同频正弦量之间的关系 7
4
三、旋转因子
1.
复数ejφ
模值为1 辐角为φ
2.几何意义 任一复数 A=|A|ejφa Aejφ=|A|ej(φ+φa) Aejφ是把A相量逆时针旋转角度φ,而A的模值不变。 ejφ称为旋转因子
+j Aejφ φ ejφ A φa +1
5
0
φ
8－2
正弦量
i
Im
0 φi
2
一、 正弦量的三要素 正弦量——按正弦(余弦)规律 变化的电压、电流 例如： i=Imcos(ωt+ φi)
U 860 860 S I 215 R j L 4 j 4 4 245
i 2 cos( 200t 15)A
现要求根据电路，直接导出电流相量满足的方程
因此，必须讨论电路定律及元件VAR相量形式！
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相量法的优点
①把时域问题变为复数问题； ②把微积分方程的运算变为复数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。 相量 注意 ① 正弦量
b a 2 b 2 , arg tan( ) a
F (a,b)
+1
θ
0
a
3
+j
F1+F2
复数的加、减法运算在复 平面上满足平行四边形法则 2.乘、除法运算
F2
F1 0 +1 F1-F2
F F1 F2 | F1 | e j1 | F2 | e j2 | F1 | | F2 | e j (1 2 )
i i
欧拉公式
i Re[ I m e
j ( t i )
] Re[ 2 Ie
j i
e
j t
]
j i Ie 复数 称为电流 i 的相量,
Ie j I 记做: I i jt ] i Re[ 2 Ie 有一一对应关系: i I 正弦量 i 与它的相量 I 220 60 例如: u 220 2 cos(t 60)， 则：U 13
元件 VAR
相 量
0 U
u 0
基尔霍夫
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例：已知A1的读数为5A，A2的读数为20A，A3的读数 为25A，求A和A4的读数。
各交流电流表的读数是指各支路电流相量的模（正 弦量的有效值） 选取参考相量?
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本章小结
1.复数的三种形式，正弦量的三要素；
2.正弦量→相量，正弦量的相量运算；