一阶线性微分方程及其解法

§6.2 一阶线性微分方程
一、 一阶线性微分方程及其解法
二、 一阶线性微分方程的简单应用
三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义
在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数ห้องสมุดไป่ตู้是一次
的，则称其为一阶线性微分方程。 例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
2 (1) 3 y 2 y x
3 (2) ( y ) xy sin( 2 x 1)
(3) y y 2 x 2
(5) y y y x
dy 1 2 ( 4) y sin x dx x
2 (6) y x sin y x 1
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. 2. 一阶线性微分方程的一般式
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
P ( x )dx
e
P ( x ) dx
P ( x )dx Q( x )e dx
齐次的 通解
非齐次 的特解
4）常数变易法 P ( x )dx 为非齐次线性方程的解，则 设 y u( x )e
例3
解
1 求 y y x 2 的通解. x
1 P( x) , x
Q( x) x 2 , 则通解为
x
2
y
1 dx e x
e

1 dx x dx C
e
ln x
1 x 3 dx C x 1 3 C x 4 x

x
dx 3 x e dx C
C
e 3( xe
ex e
x
x
3(xe 3(xe
x
x x
e dx) C
ex ) C e
x
x
) C

3(x 1) Ce x
由 y x 0 0 得
y u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))
将 y, y 代入原方程有
[u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))] P ( x )u( x )e
P ( x )dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
当 分方程。
(1)
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
当
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
4.
一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程 dy P( x) y 0 1）一般式 dx
因此所求曲线方程为
C 3,
y 3(e x x 1)
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落
的速度成正比(比例系数 k 0) ，起跳时的速度为0， 求下落的速度与时间
t
的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： v v(t ) ,
则依题有v t 0 0 , 由牛顿第二定律知：
mg kv ma mv k k v v g 其中 P (t ) , Q( t ) g 即 m m k k dt dt 则通解为 v e m g e m dt C

k t e m

k t g e m dt
2
e
ln x
dx C



例4 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解. 解
dy 2 x 1 y , 其中 原方程变形为 2 dx x x 2 x 1 P ( x ) , Q( x ) 则通解为 2 x x
2
y
2 dx e x

x 1 x
2
e

2 dx x dx C
e
2 ln x
( x 1)dx C

1 1 C 1 x2 2 x C 2 2 2 x x x
1 由 y x 1 0 得 C , 2 因此方程满足初始条件的特解为
解 设所求曲线方程为 y f ( x ) , 则依题有y 0, x 0 从而 即 y y 3 x 则通解为 y e
y 3 x y
其中 P ( x ) 1 ,
dx
Q( x ) 3 x
e x 3 xe x dx C e
x x
3 xde
v
k
三、小结 1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx
y Ce
P ( x )dx
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P ( x ) y Q( x ) dx
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx ( Q( x )e C)
k k t t m m g m )C e d ( e C k

k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k

k t m
由 v t 0 0 得
mg c k
k t mg (1 e m )
因此所求速度与时间的函数关系为
2 P( x) 则通解 x
y Ce

P ( x )dx
2 dx Ce x
Ce Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 dy P ( x ) y Q( x ) 1）一般式 dx
2）解法 常数变易法 3）通解公式
ye
Ce
P ( x ) dx
1 1 1 y 2 x 2x2
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤:
1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
例5 求 过原点平且在点( x,y ) 处的切线斜率等于
3 x y 的曲线方程。
Q( x )
即 u( x )e
P ( x )dx
Q( x )
P ( x ) dx u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx u( x ) Q( x )e dx C
通解
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
1 分离变量 y dy P ( x )dx 2）解法 分离变量法 两边积分 ln y P ( x )dx ln C P ( x ) dx y Ce 通解
3）通解公式
y Ce
P ( x )dx
例2 求 y
解
2 y 0 的通解. x