电路混沌效应

电路混沌效应

一、实验目的

1、用RLC 串联谐振电路，测量仪器提供的铁氧体介质电感在通过不同电流时的电感量。解释电感量变化的原因。

2、用示波器观测LC 振荡器产生的波形及经RC 移相后的波形。

3、用双踪示波器观测上述两个波形组成的相图(李萨如图)。

4、改变RC 移相器中可调电阻R 的值，观察相图周期变化。记录倍周期分岔、阵发混沌、三倍周期、吸引子(周期混沌)和双吸引子(周期混沌)相图。

5、测量由TL072双运放构成的有源非线性负阻“元件”的伏安特性，结合非线性电路的动力学方程，解释混沌产生的原因。 二、实验设备

名称 数量 型号 1、示波器 1台 自备 2、四位半数字万用表 2台 自备 3、放大器 1只 TL072

4、电阻 6只 220Ω×2 2.2k Ω×1

3.3k Ω×1 22k Ω×2

5、可调电感 1只 18mH~22mH 可调

6、电容 2只 0.1µF ×1 0.01uF ×1

7、电位器 2只 2.2K Ω，220Ω

8、电阻箱 1个 0~99999.9Ω (自备)

9、桥形跨连线和连接导线 若干 SJ-009、SJ-301、SJ-302 10、9孔插件方板 1块 SJ-010 三、实验原理与说明

1、非线性电路与非线性动力学

实验电路如图1所示，图1中R2是一个有源非线性负阻器件；电感器L1电容器C 1一个损耗可以忽略的谐振回路；可变电阻R 1电容器C 2联将振荡器产生的正弦信号移相输出。图2所示的是该电阻的伏安特性曲线，可以看出加在此非线性元件上电压与通过它的电流极性是相反的。由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。

图1 图2

图1电路的非线性动力学方程为：

C 2

dt

dUc 2

=G(U C1- U C2)-gU c2 (5-1)

C 1dt

dUc 1

=G(U c2-U c1)+i L (5-2) L

dt

di L

=-U C1 (5-3) 式中，U C1、U C2是C 1、、C 2上的电压，

ｉL 是电感L1上的电流，G=1/R 1电导，ｇ为U 的函数。如果R2是线性的，则g 为常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数，电阻R 1作用是调节C 1和、C 2的位相差，把C 1和C 2两端的电压分别输入到示波器的x ，y 轴，则显示的图形是椭圆。但是如果R2是非线性的则又会看见什么现象呢？

实际电路中R2是非线性元件，它的伏安特性如图4所示，是一个分段线性的电阻，整体呈现为非线性。gU C2一个分段线性函数。由于g 总体是非线性函数，三元非线性方程组(1)没有解析解。若用计算机编程进行数据计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象。

除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图5所示，图5中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的。电路中，LC1并联构成振荡电路，W1、W2和C2的作用是分相，使CH1和CH2 两处输入示波器的信号产生相位差，即可得到x,y 两个信号的合成图形，双运放TL072的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R 3/(W1+W2)、R 4/(W1+W2)有关，负反馈的强弱与比值R 2/R 1，R 5/R 4有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。若调节W1、W2时正反馈就发生变化，TL072就处于振荡状态而表现出非线性。图3就是TL072与六个电阻组成的一个等效非线性电阻，它的伏安特性大致如图4所示。

2、有源非线性负阻元件的实现

有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路采用两个运算放大器和六个电阻来实现，其电路如图3所示，它的伏安特性曲线如图4所示，实验所要研究的是该非线性元件对整个电路的影响，而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。

图3

图4

实际非线性混沌实验电路如图5所示：

图5

3、实验现象的观察

把图5中的CH1和CH2接入示波器，将示波器调至CH1--CH2波形合成档,调节可变电阻器的阻值,我们可以从示波器上观察到一系列现象。最初仪器刚打开时,电路中有一个短暂的稳态响应现象。这个稳态响应被称作系统的吸引子(attractor).这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异,但仍会变化到一个稳态。在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动,各对应于一个正负的稳态。当电导继续平滑增大时,到达某一值时,我们发现响应部分的电压和电流开始周期性地回到同一个值,产生了振荡。这时,我们就说,我们观察到了一个单周期吸引子(penod-one attractor)。它的频率决定于电感与非线性电阻组成的回路的特性。

再增加电导(这里的电导值为1/(W1+W2))时,我们就观察到了一系列非线性的现象,先是电路中产生了一个不连续的变化:电流与电压的振荡周期变成了原来的二倍,也称分岔(bifurcation)。继续增加电导,我们还会发现二周期倍增到四周期。四周期倍增到八周期。如果精度足够,当我们连续地,越来越小地调节时就会发现一系列永无止境的周期倍增,最终在有限的范围内会成为无穷周期的循环,从而显示出混沌吸引(chaotic attractor)的性质。

需要注意的是,对应于前面所述的不同的初始稳态,调节电导会导致两个不同的但却是确定的混沌吸引子,这两个混沌吸引子是关于零电位对称的。

实验中,我们很容易地观察到倍周期和四周期现象。再有一点变化,就会导致一个单漩涡状的混沌吸引子),较明显的是三周期窗口。观察到这些窗口表明了我们得到的是混沌的解,而不是噪声。在调节的最后,我们看到吸引子突然充满了原本两个混沌吸引子所占据的空间,形成了双漩涡混沌吸引子(double scroll chaotic attractor)。由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状态,出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时,相当每一点对应着电路中的每一个状态,出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时,相当于电路处于最初的那个响应状态,最终会到达哪一个状态完全取决于初始条件。

在实验中,尤其需要注意的是,由于示波器的扫描频率选择不符合的原因,可能无法观察到正确的现象。这样,就需仔细分析，可以通过使用示波器的不同的扫描频率档来观察现象,以期得到最佳的扫描图象。

四、实验步骤

1、混沌现象的观察

(1) 按照电路原理图5进行接线，注意运算放大器的电源极性不要接反。

(2) 用同轴电缆将Q9插座CH1连接双踪示波器CH1道(即X轴输入);Q9插座CH2连接双踪示波器CH2通道(即Y轴输入)；可以交换X、Y输入，使显示的图形相差90 。

A、调节示波器相应的旋钮使其在Ｙ—X状态工作，即CH2输入的大小反映在示波器的水平方向；CH１输入的大小反映在示波器的垂直方向。

B、CH2的输入和CH1的输入可放在ＤＣ态或ＡＣ态，并适当调节输入增益V／DIV波段开关，使示波器显示大小适度、稳定的图象。

(3) 检查接线无误后即可电开电源开关，电源指示灯点亮，此时电压表不需要接入电路。

(4) 非线性电路混沌的现象观测：

A、首先先把电感值调到20mH或21mH。

B、右旋细调电位器Ｗ2到底，左旋或右旋Ｗ1粗调多圈电位器，使示波器出现一个圆圈，略斜向的椭圆，如图6-1所示

C、左旋多圈细调电位器Ｗ2少许，示波器会出现二倍周期分岔，如图6-2所示；

D、再左旋多圈细调电位器Ｗ2少许，示波器会出现三倍周期分岔，如图6-3所示；

E、再左旋多圈细调电位器Ｗ2少许，示波器会出现四倍周期分岔，如图6-4所示；

F、再左旋多圈细调电位器Ｗ2少许，示波器会出现双吸引子(混沌)现象，如图6-5所示。

G、观测的同时可以调节示波器相应的旋钮，来观测不同状态下，Ｙ轴输入或Ｘ轴输入的相位、幅度和跳变情况。