混沌理论 综述 很全ppt

混沌的特点
2. 内在随机性
确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
混沌的概念
n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自 然数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
n周期轨道的定义：当x0为f 的一个n周期点时，称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
相对于简单吸引子（不动点、极限环、环面） 相空间的子集合 又称混沌吸引子。由无限层的条带经过伸长和折叠的几何图像。它
表示系统的状态随时间呈无规则的非周期变化; 具有混沌的一切特征，对初始条件的敏感性，具有非整数的维数，
即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇怪吸引子的结构也不是 连续随参数变化，而往往是在参数变化的过程中其整体结构会发生 突变，奇怪吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。
3. 任一混沌轨道不趋于任一周期轨道。
混沌的特点
1. 对初值的敏感性
混沌对初值具有敏感依赖性，初值的微小差别会导致未 来的混沌轨道的巨大差别,正是所谓“失之毫厘，谬以千 里”。
1963年，荷兰科学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorenz)在 《大气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”的著 名论文。该论文以一个底部加热、顶部冷却的两维运动 流 体 块 中 的 对 流 为 模 型 ， 提 出 了 著 名 的 Lorenz 方 程 。 Lorenz用数值方法揭示了该模型中存在混沌运动，并发 现系统初值的微小变化会导致轨道在长时间以后完全不 同，即解对初值的极端敏感性，就是著名的蝴蝶效应。
n
lim sup f (n) (x) f (n) ( p) 0, x S, p为周期点
n
混沌的概念
Li-Yorke定理给出了混沌数学上的定义，它说明混沌系 统应该具有三种性质：
1. 存在所有周期的周期轨道；
2. 存在一个不可数集，此集只含有混沌轨道，任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，两种状态交替出现；
绕中间物体做圆周运动。
ຫໍສະໝຸດ Baidu 拉格朗日
三个等质量的物体，排成等边三角形绕三角形的中心 做圆周运动。
近代计算机运算
三个等质量的物体在一条“8”字形轨道上运动。 ------宇宙中还没找到。
混沌与分岔的起源与发展
混沌现象发现以后，关于分岔与混沌之间联系的研 究得到迅速发展，如：
Rulle和Takens发现环面分岔通向混沌； Feigenbaum发现倍周期分岔通向混沌； Pomeou等发现伴随鞍结分岔的阵发性通向混沌。
混沌的特点
5. 普适性
普适性包括两种，即结构的普适性和测度的普适性。 当系统趋于混沌时，所表现出的特征具有普适意义，其
特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化。
混沌的特点
6. 遍历性
遍历性也称为混杂性，混沌运动在有限时间内能够到达混 沌区域内任何一点。
混沌的特点
7. 奇怪吸引子
混沌与分岔
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
混沌与分岔的起源与发展
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
混沌的概念
混沌，英文为chaos，意思是混乱，紊乱。混沌是指发生 在确定系统中貌似随机的无规则或不规则运动。然而混沌 作为一门科学发展至今，仍没有一个准确、完整、科学的 定义，不同领域的科学家往往对其有不同的理解。混沌一 词由李天岩（Tian-yan Li）和约克（Yorke）于1975年首 先提出。
分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot) 在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词。
所谓分形是指n维空间一个点集的一种几何性质，它们具 有无限精细的结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体 相似性质，具有小于所在空间维数的非整数维数，这种点 集叫分形体。
分维就是用非整数维-分数维来定量地描述分形的基本特 性。
直到20世纪六十年代后，混沌现象才引起学术界的广泛 注意，到七十年代才诞生了还不大成熟的“混沌学”。 其后，“混沌学”得到了迅速发展，到了八十年代，更 在世界上掀起了混沌现象研究的热潮。
三体问题的进展 16世纪以来科学家就在寻找这一问题的简单特解即
特殊情况下的简单稳定运动轨道。
欧拉 三个质量相同的物体呈直线等距离排列，两端物体
正如我们前面所说的，系统的混沌运动在相空间中无 穷地缠绕、折叠和扭结，构成了具有无穷层次的自相似 结构，这种结构称为奇异吸引子。典型的有：
混沌是确定性非线性系统的内在随机性，这是混沌的重 要特征之一。
混沌的特点
3. 长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差 异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可能长 期预测将来某一时刻之外的动力学特性，即混沌系统的长 期演化行为是不可预测的。
4. 分形性
混沌的特点
Li-Yorke定理：
设连续自映射 f : I I R
间，如果：
，I 是 R 的一个闭区
① 存在一切周期的周期点；
②存lim在s不up可f 数(n) 子(x)集Sf，(n)S(不y)含周0,期x, y点，S使, x得 y 118 n
lim inf f (n) (x) f (n) ( y) 0, x, y S, x y