第7章高阶微分方程,微分方程的代数解法习题集及答案

第七章 习题二

高阶微分方程，微分方程的代数解法

一．选择题

1．设线性无关的函数1y 、2y 、3y 均是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''（其中0)(≠x f ）的特解，则该方程的通解是（ D ）

（A ）32211y y C y C ++； （B ）3212211)(y C C y C y C +-+； （C ）3212211)1(y C C y C y C ---+； （D ）3212211)1(y C C y C y C --++． 2．设1y 、2y 为二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，则2211y C y C + （1C 、2C 为任意常数）是该方程通解的充分条件是（ C ）

（A ）0122

1='+'y y y y ； （B ）01221='-'y y y y ； （C ）0122

1≠'-'y y y y ； （D ）01221≠'+'y y y y ． 3．已知3和3-是常系数线性微分方程0=+'+''qy y p y 的特征方程的两个根，则该方程是（ D ）

（A ）09='+''y y ； （B ）09='-''y y ； （C ）09=+''y y ； （D ）09=-''y y ． 4．微分方程21sin y y x x ''+=++的一个特解应具有的形式是（ C ） （A ）2(sin cos )ax bx c x A x B x ++++； （B ）2(sin cos )x ax bx c A x B x ++++； （C ）2sin ax bx c A x +++； （D ）2cos ax bx c A x +++． 5．微分方程1+=-''x e y y 的一个特解应具有的形式是（ D ）

（A ）b ae x +； （B ）bx axe x +； （C ）bx ae x +； （D ）b axe x +． 6．在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++为通解的是（ D ） （A ）'''''4'40y y y y +--= （B ）'''''4'40y y y y +++= （C ）'''''4'40y y y y --+= （D ）'''''4'40y y y y -+-=

7．设函数()f x 满足方程''()'()f x f x x +=，且'(0)0f =，则（ C ） （A ）(0)f 是()f x 的极大值 （B ）(0)f 是()f x 的极小值 （C ）(0,(0))f 是()y f x =的拐点

（D ）(0)f 不是()f x 的极值，而且(0,(0))f 也不是()y f x =的拐点 二．计算题

1．求方程21y y '+=''的通解。 解：

22''

1(')arctan ''tan()1(')

dy dy y dx y x C y x C dx y =+⇒=⇒=+⇒=++。

所以sin()

tan()ln cos()cos()

x C y x C dx dx x C D x C +=+==-+++⎰⎰。

2．求方程1111-=--'-+

''x y x

y x x y 的通解。 解 因为,011

11=---+

x

x x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解

2y dx e e e

dx x x

x

x

⎰--⎰

=121,x = 从而对应齐次方程的通解为

,

21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为

,11*x e u x u y +=

由常数变易法,

21,u u 满足下列方程组

⎪⎩⎪⎨

⎧-='+'='+'1021

21

x u e u u e u x x x ⇒,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得

,1

x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为

.1221---+=x x e C x C y x

3．求方程x dx dy

x dx

y d =-122的通解。

解：由已知条件可得：222

111d y dy x dx x dx -=；即1'1dy x dx ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

。 由此可知：

()dy

x x C dx

=+。 解得：32

32

x C y x D =++。

4．求''3'0xy y +=的通解

解：等式两边同时乘以2x ，可得：()3''0x y =。进而3

'C y x =。 解得：2

2C

y D x -=+。

5．求20yy y '''+=满足10==x y 、012

x y ='=的特解．

解：根据已知条件：(')'0yy =，所以'yy C =，进而22y Cx D =+。 再根据初值条件：1D =，12

C =。所以特级是：21y x =+ 6．求02sin 2=-''y y 满足20π

==x y 、10='=x y 的特解．

解：令p y ='，则dy

dp p

y =''，原方程化为02sin 2=-y dy dp

p ．分离变量，得

ydy pdp 2sin 2=．积分，得122cos 21C y p +-=，即122cos 21

C y y +-='．由20π==x y 、

10='=x y ，有21

1=

C ，y y 2cos 2

1212-='∴，即y y sin ='．分离变量，得dx y dy =sin ．两边积分，得22

tan ln C x y

+=．由2

0π

==x y ，有02=C ，得所求特解为x y =2

tan ln ，

即x e y arctan 2=．

7．求2(')'y x y y ''+=满足(1)'(1)1y y ==的特解． 解：令'y p =，则原方程化为：

dx x

p dp p

-=，解得：2x p Cp =+，将初值代入可得：2x p =。

所以3221

33

y x =+。