2基本的推理方法(归结反演系统)

3、基本的推理方法
经典推理－－－归结反演
9）子句变量标准化，即重新命名变量，使每个子句中的变量符号不同， 这是由于合式公式的性质（x）[P(x) Q(x)] （x）P(x) （y）Q(y), 上面的例子转变为 P(x) S(x,f(x)) Q(y) P(w) B(w) 可以证明，如果公式X遵从公式集S，则X逻辑上也应遵从由S转变为子句 形式得到的子句集。因此，用子句表示公式是一个完备的一般形式。
3、基本的推理方法
经典推理－－－归结反演
我们用有序对的集合S＝｛t1/v1,t2/v2…,tn/vn｝表示置换，其中ti/vi表示在表达式 中用ti代替vi。对一个变量在表达式中的每次出现，都应当用同一个置换项来代 替它。而且，一个变量不能用含有同一个变量的置换项来代替，例如用f(x)代 替x是不允许的。上述四个例所用的置换可表示为 P（x,f(y),B） P（z,f(w),B） 变量变量 s1={z/x,w/y} P（x,f(A),B） 常量变量 s2={A/y} P（g(z),f(y),B） 函数变量 s3={g(z)/x} P（C,f(A),B） 常量变量 s4=(C/x,A/y)
(x)( (y)(z) P(x,y,z) (u) Q(x,u)) (1)消去蕴涵符 (x)(((y)(z) P(x,y,z)) (u) Q(x,u)) (2)把否定移到谓词符号前面 (x)(( y)( z) ( P(x,y,z)) (u) Q(x,u)) (3)消去存在量词 (x)(( y) ( P(x,y,f(x,y))) (u) Q(x,u)) (4)公式化为前束形，并略去全称量词 P(x,y,f(x,y)) Q(x,u))
将下列谓词演算公式转化为子句集。
(x){P（x） {（ y）[P（y） P(f(x,y))] （y ） [Q(x,y) P(y)]}}
(x){P（x） {（ y）[P（y） P(f(x,y))] （y ）[Q(x,y) P(y)]}} (x){ P（x） {（ y）[ P（y） P(f(x,y))] （ y ）[Q(x,y) P(y)]}} (x){ P（x） {（ y）[ P（y） P(f(x,y))] （ w ）[Q(x,w) P(w)]}} (x){ P（x） {（ y）[ P（y） P(f(x,y))] [Q(x,g(x)) P(g(x))]}}
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经典推理－－－归结反演
(3)合一（Unify） 一个表达式的项可以是常量、变量或函数，合一就是寻找相对变量的置换，使 两个谓词公式一致。其中，置换可以简单地理解为是在一个谓词公式中用置换 项去置换变量。例如，为了使公式（x）P(x)与P（A）匹配，我们可以用常量 A代替变量x,从而使两个公式一致。置换的结果称为该表达式通过置换得到的 例。例如，表达式P（x,f(y),B）可通过不同的置换得到不同的例： P（z,f(w),B） 变量变量 P（x,f(A),B） 常量变量 P（g(z),f(y),B） 函数变量 P（C,f(A),B） 常量变量 上面最后一个例中没有变量，称为基例。
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经典推理－－－归结反演
1）消去蕴涵符号 2)把否定符号移到每个谓词符号的前面 3)变量标准化 4)消去存在量词 5)将公式化为前束形 6)把母式化为合取范式。 (x)( (y)(z) 7)略去全称量词 (u) Q(x,u)) 8)把母式用子句集表示 9）子句变量标准化
P(x,y,z)
3、基本的推理方法
经典推理
推理就是依据一定的原则从已有事实推出结论的过程 .传统的 推理方法是以一阶谓词逻辑为基础的,其推理过程称为演译.一 个演绎推理系统主要由一个用一阶谓词逻辑表达的前提知识库 (公理)和一个控制并实施演译的推理机构组成. 演译推理主要用于自动定理证明,即从已知公理证明新的定理。 其中，影响最大的一种方法是 Robinson1965 年提出的归结 原理。这是一种简单且逻辑完备的定理证明方法。其核心是下 面的归结推理规则： （AB） （AC）BC
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经典推理－－－归结反演
பைடு நூலகம்
如果存在量词不在任何一个全称量词辖域中，则该存在量词就不依赖于任何其他的变 量，因此可用一个常量代替，该常量应是原合式公式中没有的符号，因此有 （x）P(x) P(A) 根据以上所述，上例Skolem化的结果为 （x）{[P(x) Q(x)] [S(x,f(x))Q(x)]} （w）[P(w) B(w)] 5)将公式化为前束形。所谓前束形，就是把所有的全称量词都移到公式的前部，由于 公式中已无存在量词，且所有的全称量词的约束变量完全不同，因此可以把所有的全 称量词放在公式前面，使每个量词的辖域都包括公式后面的整个部分。前束形的公式 就由全称量词串组成的前缀和称为母式的无量词公式组成。上例的前束形为 （x）（w）{{[P(x) Q(x) ] [S(x,f(x)) Q(x)]} [P(w) B(w)]}
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经典推理－－－归结反演
1.谓词演算基础 （1）概述 本节介绍谓词演算的一些基本操作，作为归结反演系统的基础。 在谓词演算中，利用推理规则可以从已知的一些公式 (公理)推导出新的公式，这 个导出的公式就称为定理。在推理过程中使用的规则序列就构成了该定理的一个 证明。在定理证明过程中，经常需要对量化的公式进行匹配操作，这就需要通过 变量置换使两个公式一致起来，这个过程称为合一。归结是一个重要的推理规则 ，它应用于称为子句的一种公式类。首先将介绍子句表示方法和合一过程，作为 引入归结概念的先导。
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2)把否定符号移到每个谓词符号的前面，应用摩根定律及其他等价关系。 ( X1 X2) X1 X2 (X1 X2) X1X2 上例公式可写成： （x）{[P(x) Q(x)] （y）[S(x,y)Q(x)]} （x）[P(x) B(x)]
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6)把母式化为合取范式。合取范式就是子句的合取式，可以反复应用合式公式的分配 律实现从任一母式向合取范式的转换： X1（X2X3）（X1 X2）（ X1 X3）、X1（X2 X3）（X1 X2） （X1X3） 上例可转化为：（x）（w）{[P(x) S(x,f(x))]Q(x) [P(w) B(w)]} 7)略去全称量词。由于公式中所有的变量都是全称量词量化的变量，因此可以把全称 量词省去，母式中的变量仍然认为是全称量词量化的变量。 8)把母式用子句集表示，即把子句的合取表示为子句的集合，意义不变。上例的子句 形式可以表示为 p(x) S(x,f(x)) Q(x) P(w) B(w)
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经典推理－－－归结反演
3)变量标准化，即使每个量词采用不同的变量，根据量词的性质（x）P(x) （y） P(y)和（x）P(x) （y）P(y),公式中的变量可以用其他变量符号代替，而不影响 公式的真值。因此有 （x）{[P(x) Q(x)] （y）[S(x,y)Q(x)]} （w）[P(w) B(w)] 4)消去存在量词。考虑一个合式公式（y）[(x)P(x,y)]，即对所有的y,总存在一个x 使P(x,y)为真。显然，这里的变量x的取值依赖于变量y的取值。因此可以把x记为 g(y),这个函数称为Skolem函数，用Skolem函数代替每一个存在量词量化的变量的过 程称为Skolem化。这里的函数g应是原合式公式没有的符号。因此有 （y）[(x)P(x,y)] （y）P(g(y),y)
置换的合成 ={t1 /x1， t2 /x2，… tn /xn， u1/y1,u2/y2…,un/yn} 若ti =xi，则删去ti /xi 当yi{x1,x2,…xn}时，删去ui/yi 例如： ＝｛g(x,y)/z｝, ＝｛A/x,B/y,C/w,D/z｝ 用置换 ={g(A,B)/z,A/x,B/y,C/w,D/z} 去掉D/z,有 ={g(A,B)/z,A/x,B/y,C/w}
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经典推理－－－归结反演
用置换s作用于表达式E所得到的例记为ES ,如P（z,f(w),B）=P（x,f(y),B）s1 当用两个置换s1和 s2依次作用于一个表达式时，可以将两个置换组合为一个置 换称为s1和 s2的合成，记为s1 s2
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置换的合成： 设＝｛t1/x1,t2/x2…,tn/xn｝和 ＝｛u1/y1,u2/y2…,un/yn｝
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经典推理－－－归结反演
P T T F F
Q T F T F
PQ T F T T
永真性和可满足性 如果一个公式对所有可能的解释都取值为真，则称它是永真的。例如 使用真值表可以证明，公式P(A) [P(A)P(B)]无论谓词 P的解释如何， 取值均为真，因此永远是真的。 设I是一个解释，它使公式集合S中的所有公式均取值为真，则称I满足 公式集合S,或称I适用于公式集合S. 例如有公式集合S＝{P(A)，P(A) P(B)}，如果解释I1使P(A)＝T，P（ B）=T，则称I1适用于S；如果解释I2使P(A)=F,P(B)=T,则称I2不适用于S。 如果每一个适用于公式集合S的解释I也适用于公式X，则称X逻辑上遵从 公式集S。 对于一组规则，如果任何一个从公式集合 S推导出来的定理也是从逻 辑上遵从S的，则称这组规则是有效的。如果所有逻辑上遵从 S的公式都 可以从S中推导出来，则称这组规则是完备的。
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经典推理－－－归结反演
(2)子句（Clause） 子句定义为由文字(一个原子公式和一个原子公式的否定 )的析取组成的公式。由 于归结方法应用于子句，因此首先介绍任何一个谓词演算公式如何化为一个子句 集。 设有一个谓词演算公式 （x）{[P(x) Q(x)] （y）[S(x,y)Q(x)]} （x）[P(x) B(x)] 转化为子句的过程如下， 1)消去蕴涵符号，应用性质X1X2 X1 X2 ，上例公式变为： （x）{ [P(x) Q(x)] （y）[S(x,y)Q(x)]} （x）[P(x) B(x)]
将下列谓词演算公式转化为子句集。
(x){ P（x） {（ y）[ P（y） P(f(x,y))] [Q(x,g(x)) P(g(x))]}} x y { P（x） { [ P（y） P(f(x,y))] [Q(x,g(x)) P(g(x))]}} x y {[ P（x） [ P（y） P(f(x,y))]] [ P（x） [Q(x,g(x)) P(g(x))]} [ P（x） P（y） P(f(x,y))] [ P（x） Q(x,g(x)) ] [ P（x） P(g(x))] P（x） P（y） P(f(x,y)), P（w） Q(w,g(w)) , P（z） P(g(z))
xy z u v w P(x,y,z,u,v,w)
xy z u v w P(x,y,z,u,v,w) y z v P(A,y,z,f(y,z),v,g(y,z,v))
将下列谓词演算公式转化为子句集。
(x){P（x） {（ y）[P（y） P(f(x,y))] （y ） [Q(x,y) P(y)]}}