第二章线性规划(运筹学讲义)资料
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成本收益平衡问题 （cost-benefit-trade-off）以符号表示的函数约束
为收益约束，形式为收益取得的水平必须大于等于最低可接受水平。收益 约束反映了管理层所规定的目标。如果所有约束均为收益约束，这一问题 为成本收益平衡问题。例3
网络配送问题（distribution-network）以＝符号表示的函数约束称为
下面通过例1详细讲 解其方法：
例2.目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
§2 图解法 画出可行域 满足约束的区域
(1)分别取决策变量x1, x2为坐标向量建立直角坐标系。在直 角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组
值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。
x2 x2≥0
x2 x1≥0
x2=0
x1=0
x1
x1
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中 作直线，然后确定不等式所决定的半平面。
相关数据
原料a 原料b 原料c
销售单价(元) 单位产品利润(元)
产品生产所需原材料
产品A
产品B
6
2
4
10
3
5
120
150
31
22
材料单价
1元 / kg 2.30元 / kg 14.60元 / kg
资源限制 日供给给量kg 180kg 400kg 210kg
产品A利润：120 – (1.00×6 + 2.30×4 + 14.60×3 )(材料) – 30(工资) = 31 (元)
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 非负性
§2 图 解 法
对于只有两个决策 变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系 上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。
每公斤玉米 8 3 1 2
每公斤红薯 4 6 5 1.8
饲料对营养要求 20 18 16
问题：公司应任何采购两种原材料，使即满足营养要求，又使成本最少？
设公司采购用于混合饲料中玉米数量x1 kg ，红薯数量x2 kg 线性规划模型：
目标函数：Min z = 2 x1 + 1.8 x2
约束条件：s.t.
第二章 线性规划问题与计算机求解
§1 问题的提出 §2 图解法 §3 单纯形法 §4 计算机求解
§1 问题的提出
例1(生产计划问题) 某工厂生产A、B两种产品，其成本决定于所用的材 料。已知单位产品所需材料量、材料日供应量及单价如表1-1所示。若 每生产A或B产品一个单位，所费工资同为30元，又A、B的每单位销售 价分别为120元和150元。问：工厂应如何安排生产，才能使所获总利 润最大？
300
200
x1+x2=300
100
100 200 300
x1+x2≤300
数学模型
设工厂日产A、B产品分别为x1,x2单位 （决策变量）
产品A利润：120 –(1.00×6 + 2.30×4 + 14.60×3)(材料) – 30（工资） = 31 (元)
产品A利润：150 –(1.00×2 + 2.30×10 +14.60×5 )(材料) – 30（工资） = 22 (元)
线性规划模型：
目标函数：
Max z = 31 x1 + 22 x2
约束条件(subject to)：s.t.
材料的a约束
6x1 + 2 x2 ≤ 180 4 x1 + 10x2 ≤ 400 3 x1 + 5x2 ≤ 210 x1 , x2 ≥ 0
§1 问题的提出
例2. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
确定需求的约束，它们表示了一定数量的确定的需求，提供的数量等于要 求的数量。网络配送问题的共性就是它们的主要函数约束为一种特定形式 的确定需求的约束。
混合问题（mixed Problem）除以上三类以外的问题
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案；
8 x1 + 4x2 ≥ 20
3x1 + 6 x2 ≥18
x1 + 5x2 ≥ 16
x1 , x2 ≥ 0
线性规划问题主要类型
资源分配问题（resource-allocation）以符号表示的函数约束称为资源
约束，这些限制要求使用的资源必须小于等于所能提供的资源的数量。资 源分配问题的共性就是它们的函数约束全部为资源约束。例1、2
Decision variables 决策变量
3.用决策变量的函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；
Objective function 目标函数
4.用一组决策变量的线性等式或线性不等式表示解决问题过程中必须 遵循的约束条件; Constraints 约束
一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
产品Ⅰ 产品Ⅱ
设备使用成本和单价
资源限制
设备
1
1
10元 / 时
300台时
原料A
1
12元 / kg
400kg
原料B
0
1
18元 / kg
250kg
销售单价(元)
84
140
单位产品利润(元)
50
100
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
设工厂生产产品Ⅰ、Ⅱ分别为x1，x2单位， 则线性规划模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：s.t.
x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
例3. 某饲料公司希望用玉米、红薯两种原料来配置一种混合饲料，已知 两种原料含三种营养成分和混合饲料对营养成分的要求如下表：
营养成分 碳水化合物 蛋白质 维他命 采购成本（元/KG）
为收益约束，形式为收益取得的水平必须大于等于最低可接受水平。收益 约束反映了管理层所规定的目标。如果所有约束均为收益约束，这一问题 为成本收益平衡问题。例3
网络配送问题（distribution-network）以＝符号表示的函数约束称为
下面通过例1详细讲 解其方法：
例2.目标函数：
Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：
s.t.
x1 + 2 x1 +
x2 ≤ 300 (A) x2 ≤ 400 (B) x2 ≤ 250 (C) x1 ≥ 0 (D) x2 ≥ 0 (E)
得到最优解：
x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500
§2 图解法 画出可行域 满足约束的区域
(1)分别取决策变量x1, x2为坐标向量建立直角坐标系。在直 角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组
值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。
x2 x2≥0
x2 x1≥0
x2=0
x1=0
x1
x1
（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中 作直线，然后确定不等式所决定的半平面。
相关数据
原料a 原料b 原料c
销售单价(元) 单位产品利润(元)
产品生产所需原材料
产品A
产品B
6
2
4
10
3
5
120
150
31
22
材料单价
1元 / kg 2.30元 / kg 14.60元 / kg
资源限制 日供给给量kg 180kg 400kg 210kg
产品A利润：120 – (1.00×6 + 2.30×4 + 14.60×3 )(材料) – 30(工资) = 31 (元)
a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2
…… ……
am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn ≤ （ =, ≥ ）bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0 非负性
§2 图 解 法
对于只有两个决策 变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系 上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。
每公斤玉米 8 3 1 2
每公斤红薯 4 6 5 1.8
饲料对营养要求 20 18 16
问题：公司应任何采购两种原材料，使即满足营养要求，又使成本最少？
设公司采购用于混合饲料中玉米数量x1 kg ，红薯数量x2 kg 线性规划模型：
目标函数：Min z = 2 x1 + 1.8 x2
约束条件：s.t.
第二章 线性规划问题与计算机求解
§1 问题的提出 §2 图解法 §3 单纯形法 §4 计算机求解
§1 问题的提出
例1(生产计划问题) 某工厂生产A、B两种产品，其成本决定于所用的材 料。已知单位产品所需材料量、材料日供应量及单价如表1-1所示。若 每生产A或B产品一个单位，所费工资同为30元，又A、B的每单位销售 价分别为120元和150元。问：工厂应如何安排生产，才能使所获总利 润最大？
300
200
x1+x2=300
100
100 200 300
x1+x2≤300
数学模型
设工厂日产A、B产品分别为x1,x2单位 （决策变量）
产品A利润：120 –(1.00×6 + 2.30×4 + 14.60×3)(材料) – 30（工资） = 31 (元)
产品A利润：150 –(1.00×2 + 2.30×10 +14.60×5 )(材料) – 30（工资） = 22 (元)
线性规划模型：
目标函数：
Max z = 31 x1 + 22 x2
约束条件(subject to)：s.t.
材料的a约束
6x1 + 2 x2 ≤ 180 4 x1 + 10x2 ≤ 400 3 x1 + 5x2 ≤ 210 x1 , x2 ≥ 0
§1 问题的提出
例2. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产，已知生产单位产 品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
确定需求的约束，它们表示了一定数量的确定的需求，提供的数量等于要 求的数量。网络配送问题的共性就是它们的主要函数约束为一种特定形式 的确定需求的约束。
混合问题（mixed Problem）除以上三类以外的问题
建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件；
2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值表示一个方案；
8 x1 + 4x2 ≥ 20
3x1 + 6 x2 ≥18
x1 + 5x2 ≥ 16
x1 , x2 ≥ 0
线性规划问题主要类型
资源分配问题（resource-allocation）以符号表示的函数约束称为资源
约束，这些限制要求使用的资源必须小于等于所能提供的资源的数量。资 源分配问题的共性就是它们的函数约束全部为资源约束。例1、2
Decision variables 决策变量
3.用决策变量的函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标；
Objective function 目标函数
4.用一组决策变量的线性等式或线性不等式表示解决问题过程中必须 遵循的约束条件; Constraints 约束
一般形式
目标函数： 约束条件：
Max （Min） z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1
产品Ⅰ 产品Ⅱ
设备使用成本和单价
资源限制
设备
1
1
10元 / 时
300台时
原料A
1
12元 / kg
400kg
原料B
0
1
18元 / kg
250kg
销售单价(元)
84
140
单位产品利润(元)
50
100
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多？
设工厂生产产品Ⅰ、Ⅱ分别为x1，x2单位， 则线性规划模型：
目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2
约束条件：s.t.
x1 + x2 ≤ 300
2 x1 + x2 ≤ 400
x2 ≤ 250
x1 , x2 ≥ 0
例3. 某饲料公司希望用玉米、红薯两种原料来配置一种混合饲料，已知 两种原料含三种营养成分和混合饲料对营养成分的要求如下表：
营养成分 碳水化合物 蛋白质 维他命 采购成本（元/KG）