半导体物理习题课-第九章
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2 d 由泊松方程： V , e N a 2 dx 0 r
1 e Na V ( x) ( x x0 )2 A( x x0 ) B 2 0 r
A0 B0
V ( x0 ) 0 dV ( x ) 0 dx x x0
1 e Na V ( x) ( x x0 )2 2 0 r
9.2 一个均匀掺杂的P型半导体（图），受主浓度为Na, 相对价电常数为 r 。 （ 1 ）利用耗尽层近似。求出表面空间电荷区中的电 势场分布V(x)。 （ 2 ）证明：空间电荷面密度 Qsp 和空间电荷区宽度 x0 分别为 2 r 0 1 / 2 1/ 2 x0 ( Vs ) Qsp (2eNa r0Vs ) e Na 解 :(1) 耗尽近似：认为空间电荷区静电荷为离化的施 主或者受主 ，这里静电荷密度为： e Na
x1 x0
Ec
Eis
E1 Ef E2 Ei
E1 E 2 强反型
Ev
1 e Nd V ( x) ( x x0 )2 2 0 r
1 e Nd V ( x1 ) ( x1 x0 )2 2 0 r 1 V ( x1 ) ( E f Ei ) e
1 e Na ( x0 )2 (2) 表面势 Vs V ( x 0) 2 0 r
2 r 0 1 / 2 x0 ( Vs ) e Na
得证
空间电荷的面密度： Qtot S x0 ( e N a ) 2 r 0 1/ 2 e N a ( Vs ) (2 r 0eNaVs )1/ 2 S S e Na
9.3 设P型硅中受主浓度Na=1.5X1016 cm-3。试计算开始 出现强反型层时的表面势和空间电荷区宽度。 （硅的相对介电常数为12）。 Ei E f 解：在P型硅中
p0 ni exp( kT )
(1) 因为强反型，表面电子浓度等于体空穴浓度。
E f Eis Ei E f ns ni exp( ) p0 ni exp( ) kT kT
4 2 N a r 0kT (ln N a ln Ni ) Ns kT (2 ln ni ln N c N v )
1 1 1 Vs ( Eis Ei ) ( Eis E f E f Ei ) 2 ( E f Ei ) e e e 1 Vs ( Eis Ei ) 0.718V 0 e
（2）空间电荷区宽度 x0
2 r 0 1/ 2 2 8.854 1012 12 0.718 1/ 2 7 x0 ( Vs ) ( ) 2 . 52 10 m 19 16 6 e Na 1.6 10 1.5 10 10
Ec
DOS( surface)
Ecs
Eis
Evs
Ei
Ef Ev
Ev Ei Ec
E
表面恰好为本征半导体 思路 电中性条件
1 Vs ( E f Ei ) e
Q( surface) Q( spce)
Q( surface) e Ns ( Ecs Eis )
Q(space) eNa x0 (2eNa r0Vs )1/ 2
9.4 对于施主浓度为Nd的N型半导体。试证明：开始出 现强反型时，表面空间电荷区中恰好变为本征半 导体的位置与空间电荷区边界的距离为
2 r 0 N d 1/ 2 d ( 2 ln ) e Nd ni
证明:对于N型半导体，在耗尽层近似下（根据泊松方 程）： 1 e Nd V ( x) ( x x0 )2 2 0 r
（2）强反型层出现要求：半导体表面处的电子浓度 等于体内的多子浓度。
E f Eis Ei E f ns ni exp( ) p0 ni exp( ) kT kT
E f Eis Ei E f
1 1 Vs ( Eis Ei ) ( Eis E f E f Ei ) e e 1 1 2 ( E f Ei ) 2 ( e ) 2 e e
1 2 2 0 r ( E f Ei ) ( x x ) 1 0 N d e2
E f Ei N d ni exp( ) kT
2 r 0 N d 1/ 2 xo x1 ( 2 ln ) e Nd ni
得证
9.5 一个P型半导体，在表面存在施主型表面态，他们 均匀地分布在导带底和本征费米能级之间，表面 态密度为Ns (cm-2eV-1)是常数，在表面态使半导体 表面恰好为本征时，求出 Ns 与受主浓度 Na 之间的 函数关系。
9.1 对于金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管。要利用 半导体表面附近形成的强反型层作为电导沟道。 以P型半导体为例，强反型层开始出现的条件是： 表面处的电子浓度等于体内的空穴浓度。 （1）画出这种情况下的能带图； （2）证明：开始出现强反型层，表面势 Vs 为 Vs 2 f 这里 e f 表示半导体内部本征费米能级 Ei 与费米能 Ec 级 EF 之差。 解：（1）能带图： Ei Ef Eis Ev
1 e Na V ( x) ( x x0 )2 A( x x0 ) B 2 0 r
A0 B0
V ( x0 ) 0 dV ( x ) 0 dx x x0
1 e Na V ( x) ( x x0 )2 2 0 r
9.2 一个均匀掺杂的P型半导体（图），受主浓度为Na, 相对价电常数为 r 。 （ 1 ）利用耗尽层近似。求出表面空间电荷区中的电 势场分布V(x)。 （ 2 ）证明：空间电荷面密度 Qsp 和空间电荷区宽度 x0 分别为 2 r 0 1 / 2 1/ 2 x0 ( Vs ) Qsp (2eNa r0Vs ) e Na 解 :(1) 耗尽近似：认为空间电荷区静电荷为离化的施 主或者受主 ，这里静电荷密度为： e Na
x1 x0
Ec
Eis
E1 Ef E2 Ei
E1 E 2 强反型
Ev
1 e Nd V ( x) ( x x0 )2 2 0 r
1 e Nd V ( x1 ) ( x1 x0 )2 2 0 r 1 V ( x1 ) ( E f Ei ) e
1 e Na ( x0 )2 (2) 表面势 Vs V ( x 0) 2 0 r
2 r 0 1 / 2 x0 ( Vs ) e Na
得证
空间电荷的面密度： Qtot S x0 ( e N a ) 2 r 0 1/ 2 e N a ( Vs ) (2 r 0eNaVs )1/ 2 S S e Na
9.3 设P型硅中受主浓度Na=1.5X1016 cm-3。试计算开始 出现强反型层时的表面势和空间电荷区宽度。 （硅的相对介电常数为12）。 Ei E f 解：在P型硅中
p0 ni exp( kT )
(1) 因为强反型，表面电子浓度等于体空穴浓度。
E f Eis Ei E f ns ni exp( ) p0 ni exp( ) kT kT
4 2 N a r 0kT (ln N a ln Ni ) Ns kT (2 ln ni ln N c N v )
1 1 1 Vs ( Eis Ei ) ( Eis E f E f Ei ) 2 ( E f Ei ) e e e 1 Vs ( Eis Ei ) 0.718V 0 e
（2）空间电荷区宽度 x0
2 r 0 1/ 2 2 8.854 1012 12 0.718 1/ 2 7 x0 ( Vs ) ( ) 2 . 52 10 m 19 16 6 e Na 1.6 10 1.5 10 10
Ec
DOS( surface)
Ecs
Eis
Evs
Ei
Ef Ev
Ev Ei Ec
E
表面恰好为本征半导体 思路 电中性条件
1 Vs ( E f Ei ) e
Q( surface) Q( spce)
Q( surface) e Ns ( Ecs Eis )
Q(space) eNa x0 (2eNa r0Vs )1/ 2
9.4 对于施主浓度为Nd的N型半导体。试证明：开始出 现强反型时，表面空间电荷区中恰好变为本征半 导体的位置与空间电荷区边界的距离为
2 r 0 N d 1/ 2 d ( 2 ln ) e Nd ni
证明:对于N型半导体，在耗尽层近似下（根据泊松方 程）： 1 e Nd V ( x) ( x x0 )2 2 0 r
（2）强反型层出现要求：半导体表面处的电子浓度 等于体内的多子浓度。
E f Eis Ei E f ns ni exp( ) p0 ni exp( ) kT kT
E f Eis Ei E f
1 1 Vs ( Eis Ei ) ( Eis E f E f Ei ) e e 1 1 2 ( E f Ei ) 2 ( e ) 2 e e
1 2 2 0 r ( E f Ei ) ( x x ) 1 0 N d e2
E f Ei N d ni exp( ) kT
2 r 0 N d 1/ 2 xo x1 ( 2 ln ) e Nd ni
得证
9.5 一个P型半导体，在表面存在施主型表面态，他们 均匀地分布在导带底和本征费米能级之间，表面 态密度为Ns (cm-2eV-1)是常数，在表面态使半导体 表面恰好为本征时，求出 Ns 与受主浓度 Na 之间的 函数关系。
9.1 对于金属 - 氧化物 - 半导体场效应晶体管。要利用 半导体表面附近形成的强反型层作为电导沟道。 以P型半导体为例，强反型层开始出现的条件是： 表面处的电子浓度等于体内的空穴浓度。 （1）画出这种情况下的能带图； （2）证明：开始出现强反型层，表面势 Vs 为 Vs 2 f 这里 e f 表示半导体内部本征费米能级 Ei 与费米能 Ec 级 EF 之差。 解：（1）能带图： Ei Ef Eis Ev