一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用

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本科生毕业论文（设计）题目：一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用

作者单位：物理学与信息技术学院

作者姓名：王乐

专业班级：物理学（2）班

指导教师（职称）：张林（副教授）

论文完成时间：二〇〇八年五月

一维周期势垒中粒子的隧道效应的计算及应用

王乐

（陕西师范大学物理学信息技术学院 物理系 陕西 西安710062） 摘 要：隧道效应是经典物理学中不能理解的量子现象。本文进一步对一维势垒遂穿问题进行了详细讨论，考察了一维势垒遂穿在隧道扫描显微镜上的应用。论文最后利用传递矩阵的方法对双势垒和多层势垒的隧道效应问题进行了讨论，给出了n 个势垒遂穿的严格结果。 关键词：势垒，隧道效应，双势垒

1 引言

隧道效应是微观世界独特的现象，它发生的机制，前人虽然已经做了很好的分析和完美的解释，但隧道效应真正的产生机制还不是很清楚，例如粒子在势垒中究竟如何隧穿，粒子隧穿的渡越时间，隧穿共振的机制等。人们从量子力学的理论发现无论粒子的能量是E > U 还是E < U ，粒子都会既有反射又有透射：R ≠0，D ≠0，而且根据几率守恒有R+D=1。虽然这个问题的解答从物理上并不令人满意，但1982年，Binning 和Rohrer 依据隧道效应原理却成功制造出扫瞄隧道显微镜，使人类直接观察和操纵原子成为现实。

隧道效应是应用非常广泛的重要效应，它在集成电路，冷电子发射，核衰变，超灵敏电磁探测器等方面都有一定的应用。近来又发现了隧道效应中的超光速现象，如果能加以应用，将极大的提高信号传递的速度。可见隧道效应在微观世界是极为普遍的现象，其在实际应用中有重要价值。近年来，人们发现一些宏观量，如微颗粒的磁化强度、量子相干器件中的磁通量等也具有隧道效应。宏观量子效应的研究对基础研究及实用都有着重要意义，它限定了磁带、磁盘进行信息存储的时间极限和器件进一步微型化的极限。

为了更为清晰地认识隧道效应在各种势垒中的隧穿行为，我将从薛定谔方程出发，进一步讨论此类问题。

2 一维矩形势垒中粒子的隧道效应

对于一维矩形势垒，其势场函数可以表示为：

⎪⎩

⎪⎨⎧><≤≤=),0(,0)

0(,)(0a x x a x U x U

如图1所示。具有一定能量E 的粒子由

方形势垒左方（1区）向右运动，粒子波函数所满足的薛定谔方程是

22

120k x ψψ∂+=∂（x<0,x>a ）

其中1k =22

220k x ψψ∂+=∂ (0< x

其中2k =2.1 当E>0U 时

在x<0的区域内，波函数 1ψ=1A 1ik x e +1B 1ik x e - 在0

e

- (1)

在x>a 的区域内，波函数 3ψ=2A 1ik x e +2B 1ik x e -

易看出此三个波函数右边第一项表示右行波，第二项是左行波，由于在x>a 的区域内，无左行波，则2B =0。 利用波函数的连续性可得： 在x=0处：1A +1B = C +D

1k 1A —1k 1B =2k C —2k D (2)

在x=a 处：C 2ik a e +D 2ik a e =2A 1ik a e

2k C 2ik a e —2k D 2ik a e -=1k 2A 1ik a e (3) 解上式可得：

1221221

2212124()()ik a ik a ik a k k e A A k k e k k e

--=+-- 2222

122

112212122()sin ()()ik a ik a

i k k ak B A k k e k k e --=--+

则透射系数为：

222

212

22222

112212

||4||()sin 4A k k D A k k ak k k ==-+ (4) 反射系数为：

22222112222222

112212

||()sin ||()sin 4B k k k a R A k k k a k k -==-+=1—D (5) 现在我们从粒子几率流来探讨这个问题。

由连续性原理我们可以知道：

=

⋅

∇

+

∂

∂

J

t

ω

(6)

()*

*

2

ψ

ψ

ψ

ψ

μ

∇

-

∇

-

=

i

J(7)将（1）代入（7）中有：

在x<0的区域内：

1

||

J

=22

1

11

(||||)

k

A B

μ

-

在0

2

||

J

=22

2(||||)

k

C D

μ

-

(8)

在x>a的区域内：

3

||

J

=2

1

2

||

k

A

μ

由连续性应有

1

||

J

=

2

||

J

=

3

||

J

22

11

||||

A B

-=2

2

||

A

22

21

(||||)

k C D k

-=2

2

||

A(9) 即有

2

2

2

1

||

||

A

A

+

2

1

2

1

||

||

B

A

=1 ⇒R+D=1

2.2当E<

U

对于上的两种方法，也同样适用。此时

2

k是虚数，可令

2

k=i

3

k，3

k

1

13

21

22

133133

2

()2

ik a

ik k e

A A

k k shk a ik k chk a

-

=

-+

(10)

22

13

222222

13313

4

()4

k k

D

k k sh k a k k

=

++

(11)

如果粒子的能量E很小，以至

3

k a>>1，则3k a

e>>3k a

e-，2

3

sh k a可以近似的用3

2

1

4

k a

e代替。故（11）可以改写为：

3

2

2

3

1

21

4

1

(4

4

k a

D

k

k

e

k k

=

++