电磁场的数值计算方法

电磁场的数值计算方法

物理系0702班学生杜星星

指导老师任丽英摘要：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。

关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法

引言

自从1864年Maxwell 建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell 方程以来，经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段, 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短,将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。

1电磁场数值计算方法的发展历史

在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz法[1]，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。1964年美国加州大学学者Winslow以矢量位为求解变量，用有限差分法在计算机上成

功地解算了二维非线性磁场

[1]，此后有限差分法在工程电磁场计算领域大为发展。

1965年，Winslow首先将有限元法从力学界引入电气工程中，1969年加拿大MeGill大学P. P. Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算[2]；七十年代初，P. P. Silvester和M. V. K. Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场。此后有关有限元法探讨的论文越来越多，有限元法运用的范围由静态场到涡流场到辐射场，由线性场到非线性场，由各向同性媒质到各向异性、要考虑磁滞损耗，由工程电磁场到生物电磁场等等。有人认为有限元法是求解工程电磁场的最有效最成功的方法。

有限元法和有限差分法都是求解边值问题的方法，属于微分方程法。对于开区域或要求求解连续分布场量的区域，这类方法就会受到自身的限制。1972年英国卢瑟福实验室的C.W.Trowbridge等人提出了积分方程法的思想，给出了二维、三维场问题的离散形式[2]，由于此种方法只需离散源区，不需考虑边界条件，所以它较好地解决了无界开域场和要求连续计算场量的问题。该方法计算精度高，但计算量很大。该实验室Sinkin等人又在积分方程法基础上提出了边界积分方程法(又称边界元法)，用此解决线性场的计算，计算量大为减小。此后该室的学者们将积分方程与微分方程法结合起来，提出了求解三维静磁场的双标量位法等。

在解决天线辐射场、散射场问题中，矩量法是一个很重要的数值计算方法。1968年R. F. Harrington发表了专著“Field computation by Moment Method”，对散射场、天线辐射场、波导场等方面的问题起了很好的推进作用。

除以上所介绍的方法外，随着电磁场数值分析的不断发展，各种新方法不断涌现，如计算电场的模拟电荷法，最小二乘配点法，求解磁场的模拟电流法，以及计算场的图论模型法，快速Fourier变换法、有限体元法、无网格计算法等等。各种方法互相配合，出现了一些混合方法，如：矩量法—模拟电荷法、模拟电荷法—有限元法、有限元法—边界元法等，有效地解决了一些实际问题。近年来人工神经网络，小波理论[3]等也引入了电磁场的数值计算中，瞬态电磁场计算如时域有限差分法的应用有了长足的发展。总之随着现有的电磁场数值计算方法的不断深入发展、提高和完善，新的方法不断产生。

在电磁场的数值解法不断发展的同时，人们并没有忘记长期以来所运用的解

析方法。解析法计算结果精确，且可以用解析式表达计算结果，受这些特点吸引，

解析法与数值计算方法相结合形成的半解析法应运而生，也成为了一种主流解算

方法，并还在不断发展。

电磁场数值计算方法发展走向成熟的一个重要标志是：成熟的方法越来越多

地应用于工程实际问题中，商业化通用软件包不断出现[4]。一个商业化软件包通

常由下面几部分组成：

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧网格图形显示

生、节点形成空调剖分、网格自动产模拟化：数、边界条件几何尺寸、材料性能参数据定义：前处理

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧非线性叠代

求解代数方程组成离散方程组系数矩阵形数据处理

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧算与显示局部场域分布的精细计

显示受力和损耗计算与图形质区含线性媒质和非线性媒场图显示按要求输出计算结果后处理)(

以上三部分中前、后处理占用了软件包语句的90%以上，编程的主要工作量

在此，而数据处理，也就是我们目前正在学习的数值计算方法仅占软件语句的

10%以内，但它却是占用计算机内存量和消耗CPU 时间的主要部分。

2 电磁场数值计算方法的分类

求解电磁问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell 方程的解，借助

于计算数学中的数值算法能够得到大多数电磁问题的近似解。数值算法的基本思

想[5]就是把连续变量函数离散化，把微分方程化为差分方程；把积分方程化为有

限和的形式，从而建立起收敛的代数方程组，然后利用计算机技术进行求解。