(完整版)各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例

目录
摘要 (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
Key words (1)
前言 (1)
1. 预备知识 (1)
2.Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 (2)
2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 (2)
2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 (4)
2.3 Holder积分不等式 (5)
2.4 Minkowski积分不等式 (9)
3. 实例应用 (10)
3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 (10)
3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 (12)
3.3 Holder积分不等式的应用 (12)
3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 (13)
4. 结束语 (13)
参考文献 (14)
各种Schwarz 积分不等式的归纳及其应用举例
学生姓名： 学号：
数学与信息科学学院 数学与应用数学
指导老师： 职称：
摘 要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz 积分不等式，然后对其进行证明，并举例说明它在一些实际问题中的应用.
关键词：Cauchy-Schwarz 积分不等式；行列式；Holder 积分不等式；Minkowski 积分不等式
The examples of application and induction on some forms of
Schwarz integration inequalities
Abstract ：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.
Key words ：Cauchy-Schwarz integral inequality; D eterminant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality
前言
本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz 积分不等式，首先我们给出了Schwarz 积分不等式的一般形式、Schwarz 积分不等式的形式推广和Schwarz 积分不等式最出名的推广就是Holder 积分不等式以及Minkowski 积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.
1. 预备知识
定理1.1 (Cauchy 不等式)
[3]
已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为实数，则
2
22111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. (1)
等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,
,i n =.
这是最常见的Cauchy 不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家grange . Cauc-
hy 不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数z x iy =+
，其长度z =(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.
定理1.2 (Cauchy 不等式)
[3]
已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为复数, 则
2221
11n
n n
i i
i i i i i a b
a b ===⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑ (2) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,
,i n =，λ为复数.
定理1.3 (Cauchy 不等式)
[3]
已知i a ,i b ∈C ,则
11
2
2
22,111i j i j i j i j a b a b ∞
∞∞
===⎛
⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑ (3) 等式成立当且仅当i i a b λ=,1,2,
,i n =，λ∈C .如果2
1
i i a ∞
=<∞∑、2
1
i i b ∞
=<∞∑，则
1
i i
i a b
∞
=<∞∑.
从Cauchy 不等式的角度而言，无穷数列{}1i i a ∞=的平方和收敛，2
1
i i a ∞
=<∞∑，是很
自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为2l 空间. 这是n 维实数空间n R 最自然的推广，它是一个Hilbert 空间，最重要的应用就是量子力学.
在数学中尤其是分析学的思考过程通常是
有限和⇔无穷级数⇔积分 (4)
因此想当然Cauchy 不等式是可以推广至积分.
2. Cauchy-Schwarz 积分不等式及其推广
2.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式
定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz 积分不等式)[1]
已知()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则
()
2
22()()()()b
b b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx ≤⎰
⎰⎰. (5)
证明 （法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设[],a b 上有1n -个点，依次为
0121n n a x x x x x b -=<<<
<<=，
它们把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i i x x -∆=，i =1,2,…,n. i b a
n
-∆=
，记{}12,,,n T =∆∆∆. 这些分点构成对[],a b 的一个分割.在每个小区间i ∆上任取一点
i ξ，作以()()i i f g ξξ为高，i ∆为底的小矩形.
因为()f x ,()g x 均在[],a b 上连续，则()f x ,()g x 均在[],a b 上可积，有
2
221
11()()()()n
n n i i i i i i i b a b a b a f g f g n n n ξξξξ===---⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 两边求极限，()
2
2
01lim ()()()()n
b
i i a
T i b a f g f x g x dx n ξξ→=-⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑⎰
，
2222
01
1lim ()()()()n n b i i a T i i b a b a f g f x g x dx n n ξξ→==--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰， 则
()2
2
2()()()()b
b
b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx ≤⎰
⎰
⎰.
(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.
因为
[]()
2
222()()()2()()()b
b b b
a a a a xf t g t dt f t dt x f t g t dt x g t dt ⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰， 可视为x 的二次方程式，由于[]2
()()0b a
xf t g t dt +≥⎰
，而且2
()0b a f t dt ≥⎰,所以上式表
示的是开口向上而且在轴x 上方的抛物线，由于和x 轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.
判别式()()()2
2
24
()()4()()0b
b
b
a
a
a
f t
g t dt
f t dt
g t dt ∆=-≤⎰
⎰
⎰，
整理得
()
2
22()()()()b
b b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx ≤⎰
⎰⎰.
(法三:半正定)注意到关于1t ，2t 的二次型
[]2
2222121122()()()2()()()b
b
b
b
a
a
a
a
t f x t g x dx t f x dx t t f x g x dx t g x dx +=++⎰⎰⎰⎰
为非负二次型，从而系数行列式
()()()()()()()()b
b
a a b
b
a
a
f x f x dx f x
g x dx f x g x dx
g x g x dx
⎰
⎰
⎰
⎰
=2
()b
a
f x dx
⎰2
()b
a
g x dx ⎰
-
()2
()()0b
a
f x
g x dx
≥⎰
，
即
()2
2
2()()()()b
b
b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx ≤⎰
⎰
⎰，
从而定理2.2.1得证.
从实变函数论的角度而言，我们仅需要求()f x 、()g x 是平方可积分函数([]2,L a b )则Cauchy-Schwarz 积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):
2
2
2
R l L ⇔⇔. (6)
2.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式上的推广
根据上面的Cauchy-Schwarz 积分不等式
()
2
22()()()()b
b b
a
a
a
f x
g x dx
f x dx
g x dx ≤⎰
⎰⎰
的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:
()()()()()()()()b
b
a a b
b
a
a
f x f x dx f x
g x dx f x g x dx
g x g x dx
⎰⎰
⎰
⎰
0≥ .
以这种形式给出的好处在于形式便于推广.
定理2.2.1 (Schwarz 积分不等式形式推广)[2]
设()f x ，()g x ，()h x 均在[],a b 上
可积，则有
()()()()()()()()()()()()0()()()()()()b
b
b
a a a b
b
b
a a a b
b
b
a
a
a
f x f x dx f x
g x dx f x
h x dx
f x
g x dx g x g x dx
h x g x dx f x h x dx
h x g x dx
h x h x dx
≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
. (7) 证明 注意到关于1t ，2t ，3t 的二次型
[]2
123()()()b
a
t f x t g x t h x dx ++⎰
222222123()()()b b b
a
a
a
t t f x dx t t g x dx t t h x dx
=++⎰⎰⎰1213232()()2()()2()()b b b
a
a
a
t t f x g x dx t t f x h x dx t t g x h x dx +++⎰⎰⎰
为非负二次型，从而其系数行列式
()()()()()()()()()()()()0()()()()()()b
b
b
a a a b
b
b
a a a b
b
b
a
a
a
f x f x dx f x
g x dx f x
h x dx f x g x dx g x g x dx h x g x dx f x h x dx
h x g x dx
h x h x dx
≥⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
⎰
⎰
， 从而定理2.2.1得证. 2.3 Holder 积分不等式
定理2.3.1 (Holder 不等式)
[3]
已知12,,...,,n a a a 12,,...,n b b b 为任意复数，且p ，q 1≥，
11
1p q
+=，则 11111n n
n
p
q
p q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑. (8) 证明 令
1
1i
i n p
p i i a a a ==
⎛⎫
⎪⎝⎭
∑ ， 1
1i
i n q
q i i b b b ==
⎛⎫
⎪⎝⎭
∑，
利用几何平均不等式①，得到
11p q
i i i i a b a b p q
≤
+， 或
1
11
1
111111p q i i
i i n n
n n p
q
p
q
p q p q i i i i i i i i a b a b p
q
a b a b ====≤+⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
∑∑∑∑，
取有限和，得
1
1
1
111
1
1111111n
n
n
p
q i i
i
i i i i n n n n p
q
p
q
p q p q i i i i i i i i a b a b p
q
a b a b =======≤
+
=⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
∑∑∑∑∑∑∑，
因此可得
11111n n
n
p
q
p q i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑. 注 ①几何平均不等式
2211
()22
a b ab a b ≤+⇔≤+.
当2p q ==时就是Cauchy-Schwarz 不等式.Holder 不等式对n =∞也成立.另外最著名的就是积分不等式.
定理2.3.2 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)
[3]
已知()f x ，()g x [],C a b ∈，
11
1p q
+=，且p ，q 1≥则
()()11()()()()b
b
b
p
q
p
q
a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx
≤
⎰
⎰
⎰
. (9)
或更一般的形式
定理2.3.3 ([],C a b 上的Holder 积分不等式)
[3]
已知1()f x ，2()f x ，…，
()n f x [],C a b ∈，且
1211p p ++ (1)
p =1，1i p ≥ 则 ()()()
12
1
2
1
111212()()()()()
()
n
n
b
b
b
b
p
p p p p p n n a
a
a
a
f x f x f x dx f x dx
f x dx
f x dx
≤
⎰
⎰
⎰
⎰
. (10)
证明 (定理2.3.2) 设()f x ，()g x [],C a b ∈，则当()0f x ≡或()0g x ≡时，上式(10)显然成立.令 i b a
x a i
a i x n
-=+=+∆， (0,1,,i n =)
则由Holder 不等式(9)可知
11111()()()()n n n
p
q
p q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑， 上式两边同时乘以1
n ，有
1
111111()()()()n n
n
p
q
p q i i i i i i i f x g x f x g x n
n ===⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑，
上式右端=11111()()n
n
p
q
p q i i i i n f x g x -==⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑=1
11111()()n
n
p
q
p q p q i i i i n
f x
g x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
==⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑ =1
11
1()()n
n
p
q
p q i i i i f x g x n n ==⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑，
于是
1
1111()()()()n
n
n
p
q
p q i i i i i i i f x g x f x g x ===⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑可转化为 1
11
1
1()()
()()n
n
n
p
q
p q i
i
i i i i i f x g x f x g x n
n n ===⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑∑∑ ，
而b a x n -∆=，故b a
n x
-=∆，将n 代入
11
1
1
1()()()()n
n
n
p
q
p q i i i i i i i f x g x f x g x n
n n ===⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
∑
∑∑，
得 1
1
111()()()()n n
n
p
q
p q i i i i i i i x x x f x g x f x g x b a b a b a ===∆∆∆⎛⎫⎛⎫
≤ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
∑∑∑， 即
1
1111111()()()()n n n
p
q
p q
i i i i i i i f x g x x f x x g x x b a b a b a ===⎛⎫⎛⎫∆≤∆∆ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ， 对上式两端取极限，当n →∞时，0x ∆→，得
()()
1
111()()()()b
b
b
p
q
p
q
a a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx b a b a
≤
--⎰⎰
⎰
，
化简上式，即得
()()
11()()()()b
b
b
p
q
p
q
a a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx ≤
⎰
⎰
⎰
，
又由 ()()()()b
b a
a
f x
g x dx f x g x dx ≤⎰
⎰，
故
()()11()()()()b
b
b
p
q
p
q
a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx
≤
⎰
⎰
⎰
，
从而定理2.3.2得证.
定理2.3.4 (p
L 上的Holder 积分不等式)
[5]
设1p >，
11
1p q
+=,()[,]p f x L a b ∈，()[,]p g x L a b ∈，那么()()f x g x 在[,]a b 上L 可积，并且成立
()()
11()()()()b
b
b
p
q
p
q
a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx ≤
⎰⎰
⎰
. (11)
证明 首先证明当1p >，111p q +=时，对任何正数A 及B ，有1
1
p q A B
A B p q
≤+.(12)
事实上，作辅助函数 ()x x x αϕα=-(0)x <<∞，01α<<，则 '1()(1)x x αϕα-=-，所以在(0,1)上'()0x ϕ>，在(1,)∞上'()0x ϕ<，因而(1)ϕ是函数()x ϕ在(0,)∞上的最大值，即 ()(1)1x ϕϕα≤=-，(0,)x ∈∞. 由此可得(1)x x ααα≤+-，(0,)x ∈∞.
令 A
x B =，代入上面不等式，那么 (1)A A B B αααα≤+-.
两边乘以B ，得到 1(1)A A B B
α
ααα-≤+- .
令1p α=，则 11q α-=，于是上式成为 1
1
p q A B A B p q
≤+.
如果
()
1
()0b
p
p
a
f x dx
=⎰
或
()
1()0b
q
q
a
g x dx
=⎰
，则()0f x =..a e 于[,]a b 或 ()0g x =..
a e 于[,]a
b ，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设
()
1()0b
p
p
a
f x dx
>⎰
，
()
1()0b
q
q
a
g x dx
>⎰
.
作函数 ()
1()
()()b
p
p
a
f x x f x dx
ϕ=
⎰
， ()
1()
()()b
q
q
a
g x x g x dx
ψ=
⎰
.
令()p
A x ϕ= ， ()q
B x ψ=，代入不等式(12)，得到
()
()
()()p
q
x x x x p
q
ϕψϕψ≤
+
. (13)
由(13)立即可知()()x x ϕψ在[,]a b 上L 可积，由此可知)(()f x g x 也L 可积，对(13)的两边积分，得到 ()
()
()()1p
q
b
b
b
a a
a
x x x x dx dx dx p
q
ϕψϕψ≤+=⎰⎰
⎰
.
因此()()
11()()()()b
b
b
p
q
p
q
a
a
a
f x
g x dx f x dx
g x dx ≤
⎰⎰
⎰
，
证毕.
2.4 Minkowski 积分不等式
定理2.4.1 ([,]p
L a b 上的Minkowski 积分不等式)
[5]
设1p ≥，()f x , ()g x ∈
[,]p L a b ，那么()()[,]p f x g x L a b +∈，并且成立不等式
1
11()()()()p
p
p
p
p
p
b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰. (14) 证明 当1p =时，因()()()()f x g x f x g x ≤+，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果1p >，因为(),()[,]p
f x
g x L a b ∈，所以()()[,]p q q
f x
g x L a b ∈，
由Holder 积分不等式，有
()
11()()()()()()p
p
p
b
b
b
p
q
q
a
a a
f x f x
g x dx f x dx f x g x dx ⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
⎰
⎰⎰，
类似对()g x 也有
()11()()()()()()p
q
q
b
b
b
p
q
q
a
a a
g x f x g x dx g x dx f x g x dx
⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰
，
因而 1
()()()()()()
p
b
b
p a
a
f x
g x dx f x g x f x g x dx -=⎰⎰
()()()()()()p p
b
b
q
q
a
a
f x f x
g x dx g x f x g x dx ≤+⎰⎰
()
11
1()()()()p q p q b b b
p
q
a a a
f x dx
g x dx f x g x dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎢⎥
≤+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎰⎰⎰
(15)
若()()0b
p
a f x g x dx =⎰，则
()1()()b
p
p
a
f x
g x dx
⎰
，(14)式显然成立， 若()()0b
p
a
f x
g x dx ≠⎰，则在(15)式两边除以
()
1()()b p
q
a
f x
g x dx ⎰
，
得到
()
1
111()()
()()p
p
p
p
b
b b p
q
a
a a f x g x f x dx g x dx -
⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰⎰. 由
11
1p q
+=，得到 111()()()()p
p
p
p
p
p
b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰， 证毕.
无论是Holder 积分不等式，还是Minkowski 积分不等式，当2p q ==时，就是Cauc- hy- Schwarz 积分不等式.上面我们从空间R 和p L 空间上说明Holder 积分不等式和Min- kowski 积分不等式，对于p l 空间也有类似的Holder 积分不等式和Minkowski 积分不等式，
1
11
11
p
q
p
q
i i i i i i i ξηξη∞
∞
∞
===⎛
⎫⎛
⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑， (Holder 积分不等式)
其中1p >，
11
1p q
+=，()123,,,p l ξξξ∈，()123,,,q l ηηη∈.
p
p p x y
x y +≤+， (Minkowski 积分不等式)
其中1p ≥，()123,,,
x ξξξ=，()123,,,p y l ηηη=∈，11
p
p
i
p i x ξ∞
=⎛
⎫
= ⎪⎝⎭
∑，1
1q
q i p
i y η∞
=⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑.由此可知p l 按范数p x 成赋范线性空间.
3. 实例应用
3.1 Cauchy-Schwarz 积分不等式的实例
例1. 设()f x 在[],a b 上连续，且()0f x ≥，()1b a f x dx =⎰. 证明:k R ∀>，有
()()2
2
()cos ()sin 1b
b
a
a
f x kxdx f x kxdx
+
≤⎰
⎰
.
证明 因为()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积，有
()()
2
2
()cos b
a
a
f x kxdx
kxdx =⎰⎰
，
()()
22
()()cos ()cos b
b b a
a a
f x dx
f x kxdx f x kxdx =⎰⎰
⎰，
因为Cauchy-Schwarz 积分不等式，有
()()()
2
2()()cos b
b
a
a
a
kxdx
f x dx
f x kxdx ≤⎰
⎰
⎰
，
从而
()
2
2()cos ()cos b
b
a
a f x kxdx
f x kxdx ≤⎰
⎰，
同理
()22()sin ()sin b
b
a
a
f x kxdx
f x kxdx ≤⎰
⎰
，
()()
2
2
22()cos ()sin ()(cos sin )1b
b b
a
a
a
f x kxdx f x kxdx
f x kx kx dx +
≤+=⎰
⎰
⎰.
例2. 设()f x 在[]0,a 上连续可导，(0)0g =,证明:
2
0()()()2
a a a g x g x dx g x dx ≤
⎰
⎰′′. 等号成立()g x cx ⇔=(c 为常数).
证明 设0
()()x
f x
g t dt =⎰′，()()f x g t =′′，(0)0f =，
因为
()()(0)()()()x
x
g x g x g g t dt g t dt f x =-=
≤=⎰
⎰′′，
()
222
2
()
()1()()()()1()()2
22
2a
a
a
a a
f x f a a
g x g x dx f x f x dx g x dx
g x dx ≤=
==
⋅≤
⎰
⎰
⎰
⎰′
′
′′， 当()g x cx =时，左边=222
2a
a c c xdx =⎰，右边=22
2022
a a a c c dx =⎰，
则左边=右边.
由Schwarz 积分不等式，()g x c =′，[]0,x a ∈
()g x c =′或()g x c =-′，0
()()x x
g t dt cdt g x cx =⇒=⎰⎰′
. 3.2 Cauchy-Schwarz 积分不等式形式推广的运用
例3.[4]
设()f x ，()g x 均在[],a b 上可积且满足: 1) ()0f x m ≥>， 2) ()0b
a g x dx =⎰，
则有:
2
2222()()()()()()b b b b a a
a a f x g x dx f x dx g x dx m
b a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.
证明 利用(7)，取()1h x =，并注意到()0b
a
g x dx =⎰，则
()()()()()()()()()()0
b
b
b
a a a
b
b
a
a
b
a
f x f x dx f x
g x dx f x dx f x g x dx
g x g x dx
o f x dx
b a
-⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
2
2
2
2
2
()()()()()()()()b
b
b
b
b
a
a
a a
a b a f x dx g x dx f x dx g x dx b a f x g x dx ⎡⎤
⎡⎤=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰
⎰⎰
⎰
0≥， 由此得到:
22
2221()()()()()()b b b b b a a a a a f x g x dx f x dx g x dx f x dx g x dx b a ⎡⎤⎡⎤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦-⎰⎰⎰⎰⎰，
注意到定理中的条件1): ()0f x m ≥>,于是
22()()b
a
f x dx m b a ≥-⎰
，
从而
2
2222()()()()()()b b b b a a
a a f x g x dx f x dx g x dx m
b a g x dx ⎡⎤≤--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 3.3 Holder 积分不等式的应用
例4. 设()f x ，()g x 为区间[],a b 上的可积函数，m N ∈，则:
()()
1
1()()
()
()m b m b
a m
m a
b a
f x dx f x dx
g x g x dx ++≥
⎰⎰
⎰.
证明 把区间[],a b 分成n 等分，每个小区间长为x ∆，在每个小区间上取一点i ξ，则有
1
111
1
()()
()
()n
m m i n
i i n m m
i i i
i f x
f x
g g x
ξξξξ++===∆∆≥
∆∑
∑
∑
因为()f x ，()g x 可积
所以上式0x ∆→两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有
()()
1
1()()
()
()m b m b
a m
m
a
b a
f x dx f x dx
g x g x dx ++≥⎰⎰⎰
结论得证.
3.4 运用Minkowski 积分不等式证明范数
例5.[5]
当1p ≥时，证明[,]p L a b 按1
()()p
p
b
p
a f x f x dx ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
⎰定义中的范数()p f x 成为赋范线性空间.
证明 由 1
()()0p
p
b p
a f x f x dx ⎛⎫
=≥ ⎪⎝⎭
⎰，且()0f x =等价于()0f x =， ()
()p
p f x f x αα=，其中α为任意实(复)数.
又由 Minkowski 积分不等式，当1p ≥时，对任何(),()[,]p f x g x L a b ∈，有 1
()()
()()p
p
b p
a f x g x f x g x dx ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰11()()p
p
p
p
b b a a f x dx g x dx ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰
()()p p f x g x =+，
所以[,]p L a b 按()p f x 成为赋范线性空间.
4. 结束语
本文主要给出了各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.
参考文献:
【1】华东师范大学数学系编，数学分析上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.
【2】匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.
【3】林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)：p26-42.
【4】张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.
【5】程其襄魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.。