5-6二次曲线方程的化简与分类

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解析几何
定理5.6.2 通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总 可以写成下面九种标准方程的一种形式：
x y [1] 2 2 1 (椭圆) a b
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2
x2 y 2 [2] 2 2 1 (虚椭圆) a b
x y [3] 2 2 1 (双曲线) a b x2 y 2 [4] 2 2 0 (点或相交于实点的共轭虚直线) a b
y' y P x' j' O j i' i
x x cos y sin y x sin y cos
( 为坐标轴的旋转角 )

x
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3.平面直角一般坐标变换
x x cos y sin x0 y x sin y cos y0
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2
2
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x2 y 2 [5] 2 2 0 (两相交直线) a b
[6] y 2 2 px (抛物线) [7] y a (两平行直线)
2 2
[8] y a (两平行共轭虚直线)
2 2
[9] y 0 (两重合直线)
2
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或
x x cos y sin ( x0 cos y0 sin ) y x sin y cos ( x0 sin y0 cos )
为转轴公式，其中α 为坐标轴的旋转角.
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y y' P j j O i i O' (x0 , y0 ) x' x
x x x0 y y y0
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2．转轴 标架 {O；i, j } 和 {O‘；i’, j‘} 的原点相同，即O = O’， 但坐标基向量不同，且有∠(i，i‘ ) = ，则标架 {O‘；i’，j‘} 可以看成是由标架 {O；i，j } 绕O点旋转 角而得来的.这种由标架 {O；i，j } 到标架 {O'；i'，j'} 的坐标变换叫做转轴
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§5.6 二次曲线方程的化简与分类
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1.平面直角坐标变换 标架 {O；i, j } 和 {O‘；i, j’ } 的原点O与O‘ 不同，O’ 在 {O；i, j }中的坐标为 (x0,y0)，但两标架的坐标基向量相 同，即i‘ = i， j’ = j那么标架 {O‘；i’, j‘} 可以看成是由标 架 {O；i, j } 将原点平移到O‘点而得来的这种坐标变换叫 做移轴（坐标平移）． 设P是平面内任意一点，它对标架 {O；i, j} 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与 (x’,y’)，则有
4.二次曲线方程的化简和分类
定理5.6.1 适当选取坐标系，二次曲线的方程 总可以化 成下列三个简化方程中的一个：
( I ) a11 x 2 a22 y 2 a33 0, a11a22 0; ( II ) a22 y 2 2a13 x 0, a22 a13 0; ( III ) a22 y 2 a33 0, a22 0.
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5x 2 4 xy 2 y 2 24x 12 y 18 0
例1 已知两垂直的直线 l1 : 2x y 3 0 与 l2 : x 2 y 3 0 ，取 l2 为 O' y' 轴，求坐标变换公式。 l1 为 O' x' 轴， 例2 化简二次曲线方程 x2 4xy 4 y2 12x y 1 0 ， 并画出它的图形． 例3 化简二次曲线方程 5x2 4xy 2 y2 24x 12 y 18 0 并画出它的图形．