3-7换元法与分部积分法

0
1
66
0
或2
co5sxsinx
以cosx为 积
dx
分
变 量
2c
o5sxdcoxs
0
0
1 6
cos6
x
|02
1. 6
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5/25
例2 si3 nxsi5 nxdx 0
变形
c
oxssinx2 3d
x
0
去绝对值
2
c
oxs s
inx
3
2d
x
coxssinx23dx
0
2
2 0
(t1a20tn0ax22n010)x 2 1d
x
2
I
I .
4
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13/25
例证明若f(x)是一个以T为周期的
连续函数,则对任意的实数a,有
aT
T
a f(x)dx0 f(x)dx
推论：
n Tf(x )d x nTf(x )d x(n 为 正 整 数 )
0
0
0 2sin 2xdx2 2 sin 2xdx40 2sin2xdx
则 a bf(x)d xF (b)F (a);令(t)F[(t)],
则(t)dF dxf(x)(t)f[(t)](t) ,
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ] ) 的 一 个 原 函 数 .
f[(t) ](t)d t () ()
F (() )F (() )F(b)F(a)
9/25
例6 计算 1 2x2xcoxsdx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
401
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
4.
单位圆的面积
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10/25
例 7 若 f ( x)在[0,1] 上连续，证明
凑分
2
sinx23dsinx
sinx23dsinx
0
2
2
sin
x
5
2
2
2 sin
5
x 2
4.
5
05
5
2
Hale Waihona Puke Baidu
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6/25
3
例3 e4
dx
e x lnx(1lnx)
凑 分
3
e4
d(lnx)
e lnx(1lnx)
3
3
e4
d(lnx)
e4
e lnx (1lnx)2 e
3
2arcslin nx)(e4 e
则(1)有 f((x))(x)d x f((x))d(x)
u(x) ()
f(u)du
b f (u)du或
a
f (u)du;
()
a
b
(2)
b
x(t)
f(x)dx
a
1(b)
f(
1 (a)
(t))d
(t)
f((t))(t)dt或f((t))(t)dt.
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3/25
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
（1） 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx ;
0
0
（2）
xf (sin x)dx
f (sin x)dx .
0
20
由此计算
0
1
x
sin x cos2
x
dx
.
证（1）
2
0
x t 2
f(sinx)dx
0
2
fsin2tdt
2 f(cots)dt 2 f(coxs)dx;
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二、分部积分公式
设u(x)、 v(x)C1[a,b]，则
bu(x)v(x)dx微积分基本公式
20 1c1o 2x sd(cx o)s2arctanx()c0os
2 . 4
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12/25
*例8
计算
I
2 0
1ta12n00x2dx.
解
u x 2
I
0
2
1c1o2t00u2 (du)
2 0
1c1o2t00u2 du
2 0
1 11/ta2n00x2 d
x
2 0
1tatan20n200x20x2 dx
2
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利 用 定 积 分 的 换 元 法 ,可 以 证 明 ：
1. 连 续 的 奇 函 数 原 函 数 必 为 偶 函 数 ;
2. 连 续 的 偶 函 数 原 函 数 仅 有 一 个 为 奇 函 数 ; 但 周 期 函 数 原 函 数 不 一 定 是
周 期 函 数 ;如 dxxc非 周 期
6
.
d lnx 1( lnx)2
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7/25
例4 a
1 dx(a0)
0 x a2x2
去 根 式
2
acots
dt
x a sin t , t[0,2 ] 0 asint a2(1sin2t)
2
cots dt1 2(stin co t) s(cto ssit)n dt
0 sintcots 20
证
a
0
a
f(x ) d xf(x ) d xf(x ) d ,x
a
a
0
xt 0
a
f(t)(dt) f (x)dx
a
0
a
a
a
0
f(x)dx0
f (x)dx (f(x)f(x)d ) x 0
{ a 2 f(x)dx,
f(x)为偶函数；
0
0,
f (x)为奇函数。 证毕。
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b
a
f
(
x)dx
a
或 F(a)F(b) f (x)dx. 证毕 b
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4/25
注意: （1）换元前后，上限对上限、下限对下限；
（2）不引入新的变量记号，积分限不变；引入新的 变量记号，积分限跟着变。
例1
u cos x
2 co5sxsinxdx
0 u5du u 6 1 1 .
0
0
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11/25
（2）
x
xf(sinx)dx
0
t0(t)f[s
int()d ] t
(t)f(sitn )dt f(sitn)dt
tf(sint)dt
0
0
0
x(fsx ) id n x f(sx ) id n .x
0
20
01xscions2xxdx 2 01scio nx2sxdx
sitn co t s
1
2
20
1sciotn t scsiottnsd t 1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
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8/25
例5 证 明 ： 设f(x)在 [a,a]上 连 续 ，
① 若f(x)为 偶 函 数 ， 则 aaf(x)dx20af(x)dx ；
② 若f(x)为 奇 函 数 ， 则 aaf(x)dx0.
第三节 定积分的换元 法和分部积分法
1. 换元公式
2. 分部积分公式
3. 小结
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根据
微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
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2/25
一、换元公式
定理 设1） （ fC[a,b],（2）C1[,],
（ 3 ） 在 [,]上单 ([,调 ] )[且 a,b ].