Nim游戏(博弈论中的组合数学问题)

Nim游戏——博弈论中的经典问题（组合数学里的知识）Nim取子游戏

Nim取子游戏的解依赖于奇偶性，是组合数学里的一个重要问题

Nim取子游戏就是两个人面对若干堆硬币（石子、豆粒……）进行的游戏。设有k>=1堆硬币，各堆分别含有n1，n2……nk枚硬币，按下列规则取，直到最后没硬币可取，那个人就判输！！

规则：

1、有两名选手，分别为I 和II

2、两名选手交替进行取硬币活动，至少在一堆中取一枚硬币

3、对于任何一种局面，和局面的过去与未来无关

4、最后无硬币可取的人判输！！

推理证明：

假设两个游戏人I 、II。假设有两堆硬币n1、n2。游戏人I先去，游戏人I能否获胜与n1、n2的值的大小无关，而取决于n1是否等于n2.

假设n1 不等于n2，先游戏人I取较大的堆中使其与较小的堆中硬币数目相等。然后游戏人II取任意一堆中的任意枚硬币，然后游戏人I取另外一堆中与游戏人II相同的数目，直到最后，可以看出最后游戏人I 获胜。

若n1 == n2，则游戏人I先取，游戏人II按上面的游戏人I的取法去取，最终可以看出游戏人II 获胜。

举个例子：

(8 , 5) ---- 游戏人I ---→ (5 , 5) ----游戏人II ---→ (5 , 2) ---- I -→ (2 , 2) --- II —>(0,2) ---- I --→ (0,0)

从两堆石子的取法可以推广到k堆石子的取法，先来看一下，两堆石子的具体取法是怎样进行的？

先将n1和n2表示成二进制的数的形式!!!

例如57 = 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^0 = 111001

这样我们就可以将一堆硬币看成有2的幂数的子堆组成，于是57就可以看成有2^5 ，2^4 ，2^3 ，2^0的各子堆组成。在两堆Nim取石子游戏中，各种大小的子堆的总数只能是0,1,2。各种子堆的总堆数是偶数当且仅当游戏中的2堆具有相同的大小，也就是说，游戏人II获胜。反之，游戏人I获胜。

现在考虑各堆大小分别为n1，n2，……nk的一般的Nim取子游戏。将数ni表示成二进制数：N1 = as……a1 a0

N2 = bs……b1 b0

…………

Nk = es……e1 e0

当且仅当

as + bs + ….+es = 偶数

ai + bi + …. + ei = 偶数

a0 + b0 + ….＋e0 = 偶数

Nim 取子游戏才是平衡的，否则，就是不平衡的

于是我们有：

游戏人I能够在非平衡的Nim取子游戏中获胜，而游戏人II能够在平衡Nim取子游戏中获胜。

{为了判断是否是平衡的，可以运用位运算中的异或操作来实现} Input(n); sum = 0;

For(I = 1;I <= n;I ++)

Do: Input(num);

Sum ^= num;

If(sum > 0) //非平衡状态

Printf(“游戏人I获胜”);

Else

Printf（“游戏人II获胜”）；<参考poj2234 hdu 1730>

举个例子：

7、9、12、15

2^3=8 2^2=4 2^1=2 2^0=1

_______________________________________________________________________________大小为7的堆0 1 1 1

大小为9的堆 1 0 0 1

大小为12的堆 1 1 0 0

大小为15的堆 1 1 1 1

由此可以看到这局游戏是非平衡的，其中3号位、2号位、0号位都是非平衡的。游戏人I 可以选择大小为12的堆并取走11枚硬币，只剩下1枚硬币，1 = 0001，使其变成平衡的。同理，也可以选择大小为9的堆取走5枚硬币剩下4枚，或者，选择大小为15的堆取走13枚，剩下2枚硬币。

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